Спектральная последовательность Гротендика

В математике , в области гомологической алгебры , спектральная последовательность Гротендика , представленная Александром Гротендиком в его статье Тохоку , представляет собой спектральную последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции двух функторов на основе знания производных функторов от F и G. .${\ Displaystyle G \ circ F}$

Если и являются двумя аддитивными и точными слева функторами между абелевыми категориями , так что оба и имеют достаточно инъективных и переводят инъективные объекты в -ациклические объекты, то для каждого объекта из существует спектральная последовательность:${\ Displaystyle F \ двоеточие {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle G \ двоеточие {\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\displaystyle E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),}$

где обозначает p -й правый производный функтор функции и т. д.${\displaystyle {\rm {R}}^{p}G}$${\displaystyle G}$

Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются примерами спектральной последовательности Гротендика, например спектральной последовательности Лерэ .

Точная последовательность низких степеней читает

${\displaystyle 0\to {\rm {R}}^{1}G(FA)\to {\rm {R}}^{1}(GF)(A)\to G({\rm {R}}^{1}F(A))\to {\rm {R}}^{2}G(FA)\to {\rm {R}}^{2}(GF)(A).}$

Примеры [ править ]

Спектральная последовательность Лере [ править ]

Если и - топологические пространства , пусть ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$и - категория пучков абелевых групп на X и Y соответственно и${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Ab} }$ - категория абелевых групп.

Для непрерывной карты

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

существует (точный слева) функтор прямого изображения

${\displaystyle f_{*}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)}$.

У нас также есть глобальные функторы сечения

${\displaystyle \Gamma _{X}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} }$,

а также

${\displaystyle \Gamma _{Y}\colon \mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .}$

Тогда, поскольку

${\displaystyle \Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}}$

и функторы и удовлетворяют гипотезам (так как у функтора прямого изображения есть точный левый сопряженный , прямые инъекции инъективны и, в частности, ацикличны для глобального функтора сечения), последовательность в этом случае становится:${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle \Gamma _{Y}}$${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})}$

для пучка абелевых групп на , и это в точности спектральная последовательность Лерэ .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

Спектральная последовательность от локального к глобальному Ext [ править ]

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучок Ext: пусть F , G - пучки модулей над окольцованным пространством ; например, схема. потом${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).}$^[1]

Это пример спектральной последовательности Гротендика: действительно,

${\displaystyle R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)}$, и .${\displaystyle R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)}$${\displaystyle R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)}$

Более того, отправляет инъективные -модули в пучки фляги ^[2], которые являются -ациклическими. Следовательно, гипотеза выполняется.${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Вывод [ править ]

Мы будем использовать следующую лемму:

Доказательство: Позвольте быть ядро ​​и образ . У нас есть${\displaystyle Z^{n},B^{n+1}}$${\displaystyle d:K^{n}\to K^{n+1}}$

${\displaystyle 0\to Z^{n}\to K^{n}{\overset {d}{\to }}B^{n+1}\to 0,}$

который раскалывается. Это означает, что каждый инъективен. Далее мы смотрим на${\displaystyle B^{n+1}}$

${\displaystyle 0\to B^{n}\to Z^{n}\to H^{n}(K^{\bullet })\to 0.}$

Он расщепляется, откуда следует первая часть леммы, а также точность

${\displaystyle 0\to G(B^{n})\to G(Z^{n})\to G(H^{n}(K^{\bullet }))\to 0.}$

Точно так же мы имеем (используя предыдущее разбиение):

${\displaystyle 0\to G(Z^{n})\to G(K^{n}){\overset {G(d)}{\to }}G(B^{n+1})\to 0.}$

Теперь следует вторая часть. ${\displaystyle \square }$

Построим спектральную последовательность. Пусть быть F -ацикличны разрешение A . Написав для , мы имеем:${\displaystyle A^{0}\to A^{1}\to \cdots }$${\displaystyle \phi ^{p}}$${\displaystyle F(A^{p})\to F(A^{p+1})}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {ker} \phi ^{p}\to F(A^{p}){\overset {\phi ^{p}}{\to }}\operatorname {im} \phi ^{p}\to 0.}$

Возьмем инъективные резольвенты и первого и третьего ненулевых членов. По лемме о подкове их прямая сумма является инъективной резольвентой . Таким образом, мы нашли инъективное разрешение комплекса:${\displaystyle J^{0}\to J^{1}\to \cdots }$${\displaystyle K^{0}\to K^{1}\to \cdots }$${\displaystyle I^{p,\bullet }=J\oplus K}$${\displaystyle F(A^{p})}$

${\displaystyle 0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to \cdots .}$

такая, что каждая строка удовлетворяет условию леммы (ср. резольвенту Картана – Эйленберга ).${\displaystyle I^{0,q}\to I^{1,q}\to \cdots }$

Теперь двойной комплекс порождает две спектральные последовательности, горизонтальную и вертикальную, которые мы сейчас исследуем. С одной стороны, по определению,${\displaystyle E_{0}^{p,q}=G(I^{p,q})}$

${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))}$,

которая всегда равна нулю , если Q = 0 , так как это G -ацикличны по условию. Следовательно, и . С другой стороны, по определению и лемме${\displaystyle F(A^{p})}$${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)}$${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}={}^{\prime \prime }E_{\infty }}$

${\displaystyle {}^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p})).}$

Поскольку является инъективной резольвентой (это резольвента, поскольку ее когомологии тривиальны),${\displaystyle H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots }$${\displaystyle H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)}$

${\displaystyle {}^{\prime }E_{2}^{p,q}=R^{p}G(R^{q}F(A)).}$

Поскольку и имеют один и тот же предельный член, доказательство завершено.${\displaystyle {}^{\prime }E_{r}}$${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{r}}$${\displaystyle \square }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, MR  0345092
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .

Вычислительные примеры [ править ]

• Шарп, Эрик (2003). Лекции о D-бранах и связках (страницы 18–19) , arXiv : hep-th / 0307245

Эта статья включает материал из спектральной последовательности Гротендика на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .