Гомология пересечения

В топологии , одном из разделов математики , гомологии пересечений являются аналогом сингулярных гомологий, особенно хорошо подходящих для изучения особых пространств , открытых Марком Горески и Робертом Макферсоном осенью 1974 года и разработанных ими в течение следующих нескольких лет.

Когомологии пересечений использовались для доказательства гипотез Каждана – Люстига и соответствия Римана – Гильберта . Он тесно связан с когомологиями L ² .

Подход Горески – Макферсона [ править ]

В гомологии из А компактных , ориентированных , связанных , п - мерных многообразия X имеют фундаментальное свойство двойственности Пуанкаре : существует совершенное спаривание

${\ displaystyle H_ {i} (X, \ mathbb {Q}) \ times H_ {ni} (X, \ mathbb {Q}) \ to H_ {0} (X, \ mathbb {Q}) \ cong \ mathbb {Q}.}$

Классически - восходя, например, к Анри Пуанкаре - эту двойственность понимали в терминах теории пересечений . Элемент

${\ displaystyle H_ {j} (X)}$

представлен j- мерным циклом. Если i -мерный и -мерный цикл находятся в общем положении , то их пересечение является конечным набором точек. Используя ориентацию X, можно присвоить каждой из этих точек знак; другими словами, пересечение дает 0- мерный цикл. Можно доказать, что класс гомологии этого цикла зависит только от классов гомологии исходных i- и -мерных циклов; кроме того, можно доказать, что это соединение идеально .${\ displaystyle (ni)}$${\ displaystyle (ni)}$

Когда у X есть особенности, то есть когда в пространстве есть места, которые не похожи друг на друга, эти идеи рушатся. Например, для циклов уже невозможно понять понятие «общее положение». Горески и Макферсон ввели класс «допустимых» циклов, для которых имеет смысл общее положение. Они ввели отношение эквивалентности для допустимых циклов (где только «допустимые границы» эквивалентны нулю) и назвали группу${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle IH_ {i} (X)}$

из I - мерные допустимые циклы по модулю эквивалентности отношения «пересечение гомологии». Более того, они показали, что пересечение i- и -мерного допустимых циклов дает (обычный) нулевой цикл, класс гомологии которого хорошо определен.${\ displaystyle (ni)}$

Стратификации [ править ]

Первоначально гомологии пересечения были определены на подходящих пространствах со стратификацией , хотя группы часто оказываются независимыми от выбора стратификации. Есть много разных определений стратифицированных пространств. Удобным для гомологий пересечений является n- мерное топологическое псевдомногообразие . Это ( паракомпактное , хаусдорфово ) пространство X , обладающее фильтрацией

${\ displaystyle \ emptyset = X _ {- 1} \ subset X_ {0} \ subset X_ {1} \ subset \ cdots \ subset X_ {n} = X}$

из X с помощью замкнутых подпространств таким образом, что:

• Для каждого I и для каждой точки х из , существует окрестность из х в X , компакт - мерном пространстве стратифицированной L , и фильтрации , сохраняющих гомеоморфизм . Здесь есть открытый конус на L .${\ displaystyle X_ {i} \ setminus X_ {i-1}}$${\ Displaystyle U \ подмножество X}$${\ displaystyle (ni-1)}$${\ Displaystyle U \ cong \ mathbb {R} ^ {i} \ times CL}$${\ displaystyle CL}$
• ${\ Displaystyle X_ {n-1} = X_ {n-2}}$.
• ${\displaystyle X\setminus X_{n-1}}$плотно в X .

Если X является топологическим Псевдомногообразием, то я - мерный слой из X есть пространство .${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$

Примеры:

• Если X - n -мерный симплициальный комплекс такой, что каждый симплекс содержится в n -симплексе, а n - 1 симплекс содержится ровно в двух n -симплексах, то основное пространство X является топологическим псевдомногообразием.
• Если X - любое комплексное квазипроективное многообразие (возможно, с особенностями), то его базовое пространство является топологическим псевдомногообразием со всеми слоями четной размерности.

Извращения [ править ]

Группы гомологий пересечения зависят от выбора извращенности , которая измеряет, насколько циклам разрешено отклоняться от трансверсальности. (Происхождение названия «извращенность» было объяснено Гореским (2010) .) Извращенность - это функция${\displaystyle I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)}$${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z} }$

от целых чисел к целым таким, что${\displaystyle \geq 2}$

• ${\displaystyle \mathbf {p} (2)=0}$.
• ${\displaystyle \mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}}$.

Второе условие используется для демонстрации инвариантности групп гомологий пересечений при изменении стратификации.

Дополняют друг друга Извращенность из является одним с${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2}$.

Группы гомологий пересечения дополнительной размерности и дополнительной извращенности попарно попарно.

Примеры извращений [ править ]

• Минимальная извращенность . Его дополнение - максимальная извращенность с .${\displaystyle p(k)=0}$${\displaystyle q(k)=k-2}$
• (Нижняя) средняя Извращенность м определяется , в целой части из . Его дополнение - извращенность верхнего среднего уровня с ценностями . Если извращенность не указана, то обычно подразумевают извращенность ниже среднего. Если пространство может быть стратифицировано всеми стратами четной размерности (например, любым комплексным многообразием), то группы гомологий пересечений не зависят от значений извращенности на нечетных целых числах, поэтому верхняя и нижняя средняя извращения эквивалентны.${\displaystyle m(k)=[(k-2)/2]}$${\displaystyle (k-2)/2}$${\displaystyle [(k-1)/2]}$

Особые гомологии пересечения [ править ]

Зафиксируем топологическое псевдомногообразие X размерности n с некоторой стратификацией и извращенность p .

Отображение σ из стандартного i -симплекса в X (особый симплекс) называется допустимым, если${\displaystyle \Delta ^{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(X_{n-k}\setminus X_{n-k-1}\right)}$

содержится в скелете .${\displaystyle i-k+p(k)}$${\displaystyle \Delta ^{i}}$

Комплекс является подкомплексом комплекса особых цепей на X, который состоит из всех особых цепей, таких, что и цепь, и ее граница являются линейными комбинациями допустимых особых симплексов. Группы гомологий особых пересечений (с извращенностью p )${\displaystyle I^{p}(X)}$

${\displaystyle I^{p}H_{i}(X)}$

- группы гомологий этого комплекса.

Если X имеет триангуляцию, совместимую со стратификацией, то группы гомологий симплициальных пересечений могут быть определены аналогичным образом и естественно изоморфны группам гомологий особых пересечений.

Группы пересечения гомологии не зависят от выбора стратификации X .

Если X - топологическое многообразие, то группы гомологий пересечений (для любой извращенности) такие же, как и обычные группы гомологий.

Маленькие разрешения [ править ]

Разрешение особенностей

${\displaystyle f:X\to Y}$

комплексного многообразия Y называется малым разрешением, если для любого r > 0 пространство точек Y, в которых слой имеет размерность r, имеет коразмерность больше 2 r . Грубо говоря, это означает, что большинство волокон мелкие. В этом случае морфизм индуцирует изоморфизм гомологий (пересечений) X в гомологии пересечений Y (со средней извращенностью).

Существует множество с двумя разными малыми резольвентами, которые имеют разные кольцевые структуры на своих когомологиях, что показывает, что в общем случае нет естественной кольцевой структуры на (ко) гомологиях пересечений.

Теория связок [ править ]

Формула Делиня для когомологий пересечений утверждает, что

${\displaystyle I^{p}H_{n-i}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))}$

где - некоторый комплекс конструктивных пучков на X (рассматриваемый как элемент производной категории, поэтому когомологии справа означают гиперкогомологии комплекса). Комплекс задается, начиная с постоянного пучка на открытом множестве и многократно расширяя его до более крупных открытых множеств, а затем усекая его в производной категории; точнее это дается формулой Делиня${\displaystyle IC_{p}(X)}$${\displaystyle IC_{p}(X)}$${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$

${\displaystyle IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}Ri_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}Ri_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}Ri_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$

где - функтор усечения в производной категории, - включение в , - постоянный пучок на . ^[1]${\displaystyle \tau _{\leq p}}$${\displaystyle i_{k}}$${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$${\displaystyle X\setminus X_{n-k-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Заменив постоянный пучок на локальную систему, можно использовать формулу Делиня для определения когомологий пересечения с коэффициентами в локальной системе.${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Примеры [ править ]

Для гладкой эллиптической кривой, определенной кубическим однородным многочленом ^{[2], стр. 281-282} , например , аффинный конус${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$

${\displaystyle \mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}}$

имеет изолированную особенность в нуле, поскольку и все частные производные обращаются в нуль. Это связано с тем, что он однороден по степени , а производные - со степенью 2. При задании и отображении включения комплекс пересечений задается как${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle \partial _{i}f(0)=0}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle U=\mathbb {V} (f)-\{0\}}$${\displaystyle i:U\to X}$${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$

${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {R} f_{*}\mathbb {Q} _{U}}$

Это можно вычислить явно, посмотрев на стебли когомологий. В, где производным прямым направлением является тождественное отображение на гладкой точке, следовательно, единственные возможные когомологии сосредоточены по степени . Для когомологий интереснее, так как${\displaystyle p\in \mathbb {V} (f)}$${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{i}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}={\underset {V\subset U}{\text{colim}}}H^{i}(V;\mathbb {Q} )}$

для которых замыкание содержит начало координат. Поскольку любой может быть уточнен, рассматривая пересечение открытого диска с , мы можем просто вычислить когомологии . Это можно сделать, наблюдая , как расслоение над эллиптической кривой , гиперплоское расслоение , а последовательность Ванга дает группы когомологий${\displaystyle V}$${\displaystyle i(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H^{i}(U;\mathbb {Q} )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H^{0}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{0}(E;\mathbb {Q} )\\H^{1}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{1}(E;\mathbb {Q} )\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{1}(E;\mathbb {Q} )\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )\cong H^{2}(E;\mathbb {Q} )\\\end{matrix}}}$

следовательно, пучки когомологий на ножке равны${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}(\mathbf {R} ^{2}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0})&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}(\mathbf {R} ^{2}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}(\mathbf {R} ^{2}f_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0})&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}}$

усечение этого дает нетривиальные пучки когомологий , следовательно, пучок когомологий пересечения равен${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}}$

${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}=\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\oplus \mathbb {Q} _{p=0}[-1]}$

Последнее разложение следует из теоремы о разложении .

Свойства комплекса IC ( X ) [ править ]

Комплекс IC _p ( X ) обладает следующими свойствами

• В дополнении к некоторому замкнутому множеству коразмерности 2 имеем

${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$равно 0 при i + m ≠ 0, а при i = - m группы образуют постоянную локальную систему C

• ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$равно 0 для i  +  m  <0
• Если i  > 0, то равен нулю, за исключением множества коразмерности не менее a для наименьшего a с p ( a ) ≥  m  -  i.${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$
• Если i > 0, то равен нулю, за исключением набора коразмерности не менее a для наименьшего a с q ( a ) ≥ ( i )${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})}$

Как обычно, q - дополнительная извращенность к p . Более того, комплекс однозначно характеризуется этими условиями с точностью до изоморфизма в производной категории. Условия не зависят от выбора стратификации, поэтому это показывает, что когомологии пересечений также не зависят от выбора стратификации.

Двойственность Вердье переводит IC _p в IC _q, сдвинутую на n  = dim ( X ) в производной категории.

См. Также [ править ]

• Теорема разложения
• Гомологии Бореля – Мура
• Топологически стратифицированное пространство
• Теория пересечения
• Извращенная связка
• Смешанная структура Ходжа

Ссылки [ править ]

• Арман Борел , Когомология пересечений (Прогресс в математике (Биркхаузер, Бостон)) ISBN 0-8176-3274-3 
• Марк Горески и Роберт Макферсон, Двойник Пуанкаре для особых пространств. CR Acad. Sci. т. 284 (1977), стр. 1549–1551, Серия А.
• Гореский, Марк (2010), Какова этимология термина «извращенный пучок»?
• Гореский, Марк; Макферсон, Роберт, Теория гомологии пересечений , Топология 19 (1980), вып. 2, 135–162. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (80) 90003-8
• Гореский, Марк; Макферсон, Роберт, Гомология пересечений. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), вып. 1, 77–129. 10.1007 / BF01389130 MR 0696691 Это дает теоретико- пучковый подход к когомологиям пересечений.
• Фрэнсис Кирван, Джонатан Вульф Введение в теорию гомологии пересечения, ISBN 1-58488-184-4 
• Клейман, Стивен. Развитие теории гомологии пересечений. Век математики в Америке, Часть II, Hist. Математика. 2, амер. Математика. Soc., 1989, стр. 543–585.
• "Гомология пересечений" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки [ править ]

• Какова этимология термина «извращенная связка»? (включает обсуждение этимологии термина «гомология пересечения») - MathOverflow