Смешанная структура Ходжа

В алгебраической геометрии , А смешанная структура Ходжа является алгебраической структуры , содержащей информацию о когомологиях общих алгебраических многообразий . Это обобщение структуры Ходжа , которая используется для изучения гладких проективных многообразий .

В смешанной теории Ходжа, где разложение группы когомологий может иметь подпространства разного веса, то есть как прямая сумма структур Ходжа${\ Displaystyle Н ^ {к} (Х)}$

${\ displaystyle H ^ {k} (X) = \ bigoplus _ {i} (H_ {i}, F_ {i} ^ {\ bullet})}$

где каждая из структур Ходжа имеет вес . Один из первых намеков на то, что такие структуры должны существовать, исходит из длинной точной последовательности пары гладких проективных многообразий . Группы когомологий (для ) должны иметь разные веса, исходящие от обоих и .${\ displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle Y \ подмножество X}$${\ displaystyle H_ {c} ^ {i} (U)}$${\displaystyle U=X-Y}$${\displaystyle H^{i}(X)}$${\displaystyle H^{i+1}(Y)}$

Мотивация [ править ]

Первоначально структуры Ходжа были введены как инструмент для отслеживания абстрактных разложений Ходжа на группах когомологий гладких проективных алгебраических многообразий . Эти структуры дали геометрам новые инструменты для изучения алгебраических кривых , такие как теорема Торелли , абелевы многообразия и когомологии гладких проективных многообразий. Одним из основных результатов для вычисления структур Ходжа является явное разложение групп когомологий гладких гиперповерхностей с использованием связи между якобиевым идеалом и разложением Ходжа гладкой проективной гиперповерхности с помощью теоремы Гриффитса о вычетах. Перенос этого языка на гладкие непроективные многообразия и особые многообразия требует концепции смешанных структур Ходжа.

Определение [ править ]

Смешанная структура Ходжа ^[1] (MHS) является тройной таким образом, что${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })}$

1. ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$является -модулем конечного типа${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle W_{\bullet }}$возрастающая - фильтрация на ,${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle \cdots \subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}\subset \cdots }$
3. ${\displaystyle F^{\bullet }}$это убывающая -фильтрация ,${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=F^{0}\supset F^{1}\supset F^{2}\supset \cdots }$

где индуцированная фильтрация на градуированных кусках${\displaystyle F^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Gr}}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {Q} }={\frac {W_{k}H_{\mathbb {Q} }}{W_{k-1}H_{\mathbb {Q} }}}}$

являются чистыми весовыми структурами Ходжа .${\displaystyle k}$

Замечание о фильтрации [ править ]

Обратите внимание, что, подобно структурам Ходжа, смешанные структуры Ходжа используют фильтрацию вместо разложения в прямую сумму, поскольку группы когомологий с антиголоморфными членами, где , не меняются голоморфно. Но фильтрации могут меняться голоморфно, давая более определенную структуру.${\displaystyle H^{p,q}}$${\displaystyle q>0}$

Морфизмы смешанных структур Ходжа [ править ]

Морфизмы смешанных структур Ходжа определяются отображениями абелевых групп

${\displaystyle f:(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })\to (H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

такой, что

${\displaystyle f(W_{l})\subset W'_{l}}$

а индуцированное отображение -векторных пространств обладает свойством${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(F^{p})\subset F'^{p}}$

Дополнительные определения и свойства [ править ]

Числа Ходжа [ править ]

Числа Ходжа MHS определяются как размеры

${\displaystyle h^{p,q}(H_{\mathbb {Z} })=\dim _{\mathbb {C} }{\text{Gr}}_{F^{\bullet }}^{p}{\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$

поскольку - весовая структура Ходжа, и${\displaystyle {\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle (p+q)}$

${\displaystyle {\text{Gr}}_{p}^{F^{\bullet }}={\frac {F^{p}}{F^{p+1}}}}$

является -компонентой весовой структуры Ходжа.${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle (p+q)}$

Гомологические свойства [ править ]

Существует абелева категория ^[2] смешанных структур Ходжа, которая имеет исчезающие -группы всякий раз, когда когомологическая степень больше, чем : то есть, учитывая смешанные структуры Ходжа, группы${\displaystyle {\text{Ext}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MHS}^{p}((H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet }))=0}$

для ^{[2] стр. 83} .${\displaystyle p\geq 2}$

Смешанные структуры Ходжа на би-фильтрованных комплексах [ править ]

Многие смешанные структуры Ходжа могут быть построены из бифильтрованного комплекса. Сюда входят дополнения к гладким многообразиям, определяемым дополнением к нормальному кроссинговому многообразию, и лог-когомологии . Учитывая комплекс пучков абелевых групп и фильтрации ^[1] комплекса, имея в виду${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle W_{\bullet },F^{\bullet }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(W_{i}A^{\bullet })&\subset W_{i}A^{\bullet }\\d(F^{i}A^{\bullet })&\subset F^{i}A^{\bullet }\end{aligned}}}$

На группах гипергомологий существует индуцированная смешанная структура Ходжа

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,A^{\bullet }),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

из двухфильтрованного комплекса . Такой би-фильтрованный комплекс называется смешанным комплексом Ходжа ^{[1] : 23}${\displaystyle (A^{\bullet },W_{\bullet },F^{\bullet })}$

Логарифмический комплекс [ править ]

Учитывая гладкое многообразие , где есть нормальный делитель пересечения (т.е. всех пересечений компонентов полные пересечения ), есть фильтрации на журнал когомологии комплекса дается${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle D=X-U}$${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{m}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}i\leq m\\\Omega _{X}^{i-m}\wedge \Omega _{X}^{m}(\log D)&{\text{ if }}0\leq m\leq i\\0&{\text{ if }}m<0\end{cases}}\\[6pt]F^{p}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}p\leq i\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Оказывается, эти фильтрации определяют естественную смешанную структуру Ходжа на группе когомологий из смешанного комплекса Ходжа, определенного на логарифмическом комплексе .${\displaystyle H^{n}(U,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$

Плавные компактификации [ править ]

Вышеупомянутая конструкция логарифмического комплекса распространяется на все гладкие многообразия; и смешанная структура Ходжа изоморфна при любом таком компактификате. Обратите внимание, что гладкая компактификация гладкого многообразия определяется как гладкое многообразие и такое вложение , которое является нормальным перекрестным дивизором. То есть для данных компактификаций с граничными делителями существует изоморфизм смешанной структуры Ходжа${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\hookrightarrow X}$${\displaystyle D=X-U}$${\displaystyle U\subset X,X'}$${\displaystyle D=X-U,{\text{ }}D'=X'-U}$

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)),W_{\bullet },F^{\bullet })}$${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X',\Omega _{X'}^{\bullet }(\log D')),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

показывающий, что смешанная структура Ходжа инвариантна относительно гладкой компактификации. ^[2]

Пример [ править ]

Например, на кривой рода плоскости логарифмические когомологии с нормальным делителем пересечения с могут быть легко вычислены ^[3], поскольку члены комплекса равны${\displaystyle 0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle \Omega _{C}^{\bullet }(\log D)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C}\xrightarrow {d} \Omega _{C}^{1}(\log D)}$

оба ациклические. Тогда Гиперкогомология просто

${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})\xrightarrow {d} \Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}(\log D))}$

первое векторное пространство - это просто постоянные секции, следовательно, дифференциал - это нулевая карта. Во-вторых, векторное пространство изоморфно векторному пространству, натянутому на

${\displaystyle \mathbb {C} \cdot {\frac {dx}{x-p_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} {\frac {dx}{x-p_{k-1}}}}$

Тогда имеет весовую смешанную структуру Ходжа и имеет весовую смешанную структуру Ходжа.${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{0}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$${\displaystyle 0}$

Примеры [ править ]

Дополнение гладкого проективного многообразия замкнутым подмногообразием [ править ]

Для гладкого проективного многообразия размерности и замкнутого подмногообразия существует длинная точная последовательность в когомологиях ^{[4] pg7-8}${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(Y;\mathbb {Z} )\to H_{c}^{m+1}(U;\mathbb {Z} )\to \cdots }$

исходящий из выделенного треугольника

${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}\mathbb {Z} _{U}\to \mathbb {Z} _{X}\to i_{*}\mathbb {Z} _{Y}\xrightarrow {[+1]} }$

из конструируемых пучков . Есть еще одна длинная точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H_{2n-m}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H_{2n-m-1}^{BM}(U;\mathbb {Z} )(-n)\to \cdots }$

из выделенного треугольника

${\displaystyle i_{*}i^{!}\mathbb {Z} _{X}\to \mathbb {Z} _{X}\to \mathbf {R} j_{*}\mathbb {Z} _{U}\xrightarrow {[+1]} }$

всякий раз, когда гладко. Обратите внимание, что группы гомологий называются гомологиями Бореля – Мура , которые двойственны когомологиям для общих пространств, а тензорное усреднение со структурой Тейта добавляет веса фильтрации весов. Гипотеза гладкости требуется, потому что двойственность Вердье подразумевает , и всякий раз , когда она гладкая. Кроме того, дуализирующий комплекс для имеет , следовательно, вес . Кроме того, карты из гомологий Бореля-Мура должны быть скручены до веса , чтобы они имели отображение . Кроме того, существует идеальное сопряжение двойственности.${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{k}^{BM}(X)}$${\displaystyle (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} (1)^{\otimes n}}$${\displaystyle -2n}$${\displaystyle i^{!}D_{X}=D_{Y}}$${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n](n)}$${\displaystyle (n)}$${\displaystyle H^{m}(X)}$

${\displaystyle H_{2n-m}^{BM}(Y)\times H^{m}(Y)\to \mathbb {Z} }$

давая изомофизм двух групп.

Алгебраический тор [ править ]

Одномерный алгебраический тор изоморфен многообразию , поэтому его группы когомологий изоморфны${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}-\{0,\infty \}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(\mathbb {T} )\oplus H^{1}(\mathbb {T} )&\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Затем длинная точная последовательность читается как

${\displaystyle {\begin{matrix}&H_{0}^{BM}(Y)(1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{2}(\mathbb {G} _{m})\to 0\\&H_{1}^{BM}(Y)(1)\to H^{1}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{2}^{BM}(Y)(1)\to H^{0}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{0}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\\end{matrix}}}$

Поскольку и это дает точную последовательность${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1})=0}$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {G} _{m})=0}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to H_{0}^{BM}(Y)(1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to 0}$

поскольку существует скручивание весов для корректно определенных отображений смешанных структур Ходжа, существует изоморфизм

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {G} _{m})\cong \mathbb {Z} (-1)}$

Поверхность Quartic K3 за вычетом кривой рода 3 [ править ]

Для поверхности K3 квартики и кривой рода 3, определяемой множеством исчезающих точек общего сечения , она изоморфна кривой степени на плоскости, имеющей род 3. Тогда последовательность Гайсина дает длинную точную последовательность${\displaystyle X}$${\displaystyle i:C\hookrightarrow X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \to H^{k-2}(C)\xrightarrow {\gamma _{k}} H^{k}(X)\xrightarrow {i^{*}} H^{k}(U)\xrightarrow {R} H^{k-1}(C)\to }$

Но это результат того, что карты переводят класс типа Ходжа в класс типа Ходжа . ^[5] Структуры Ходжа как для поверхности K3, так и для кривой хорошо известны и могут быть вычислены с использованием идеала Якоби . В случае кривой есть два нулевых отображения${\displaystyle \gamma _{k}}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle (p+1,q+1)}$

${\displaystyle \gamma _{3}:H^{1,0}(C)\to H^{2,1}(X)=0}$ ${\displaystyle \gamma _{3}:H^{0,1}(C)\to H^{1,2}(X)=0}$

следовательно, вес содержит одну штуку . Потому что имеет размерность , но класс Leftschetz уничтожается картой.${\displaystyle H^{2}(U)}$${\displaystyle H^{1,0}(C)\oplus H^{0,1}(C)}$${\displaystyle H^{2}(X)=H_{\text{prim}}^{2}(X)\oplus \mathbb {C} \cdot \mathbb {L} }$${\displaystyle 22}$${\displaystyle \mathbb {L} }$

${\displaystyle \gamma _{2}:H^{0}(C)\to H^{2}(X)}$

посылая класс в к классу в . Тогда примитивная группа когомологий - это кусок веса 2 . Следовательно,${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle H^{0}(C)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle H^{2}(X)}$${\displaystyle H_{\text{prim}}^{2}(X)}$${\displaystyle H^{2}(U)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Gr}}_{2}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H_{\text{prim}}^{2}(X)\\{\text{Gr}}_{1}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H^{1}(C)\\{\text{Gr}}_{k}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=0&k\neq 1,2\end{aligned}}}$

Индуцированные фильтрации на этих градуированных частях - это фильтрации Ходжа, исходящие от каждой группы когомологий.

См. Также [ править ]

• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Якобианский идеал
• Волокно Милнора
• Смешанный модуль Ходжа

Ссылки [ править ]

• Филиппини, Сара Анджела; Руддат, Хельге; Томпсон, Алан (2015). «Введение в структуры Ходжа». Разновидности Калаби-Яу: арифметика, геометрия и физика . Монографии Института Филдса. 34 . С. 83–130. arXiv : 1412,8499 . DOI : 10.1007 / 978-1-4939-2830-9_4 . ISBN 978-1-4939-2829-3. S2CID  119696589 .

Примеры [ править ]

• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Введение в предельные смешанные структуры Ходжа
• Смешанная структура Ходжа Делиня для проективных многообразий только с нормальными пересекающимися особенностями

В зеркальной симметрии [ править ]

• Локальная B-модель и смешанная структура Ходжа