Соответствие Римана – Гильберта

В математике соответствие Римана – Гильберта является обобщением двадцать первой проблемы Гильберта на более высокие измерения. Первоначальная установка была для сферы Римана, где речь шла о существовании регулярных дифференциальных уравнений с заданными группами монодромии . Сначала риманова сфера может быть заменена произвольной римановой поверхностью, а затем, в более высоких измерениях, римановы поверхности заменены комплексными многообразиями размерности> 1. Существует соответствие между некоторыми системами дифференциальных уравнений в частных производных (линейными и имеющими особые свойства для их решения) и возможные монодромии их решений.

Такой результат был независимо доказан для алгебраических связностей с регулярными особенностями Пьером Делинем (1970) и в более общем плане для регулярных голономных D-модулей Масаки Кашивара (1980, 1984) и Зогман Мебхаут (1980, 1984).

Заявление [ править ]

Предположим, что X - гладкое комплексное алгебраическое многообразие.

Соответствие Римана – Гильберта (для регулярных особых связностей): существует функтор Sol, называемый функтором локальных решений, который является эквивалентностью категории плоских связностей на алгебраических векторных расслоениях на X с регулярными особенностями категории локальных систем конечных мерные комплексные векторные пространства на X . Для X связно, категория локальных систем также эквивалентна категории комплексных представлений фундаментальной группы из X .

Условие регулярных особенностей означают , что локально постоянные сечения расслоения (по отношению к плоской связности) имеют умеренный рост в точках Y - X , где Y представляет собой алгебраическая компактификация X . В частности, когда X компактно, условие регулярных особенностей пусто.

В более общем плане существует

Риман-Гильберт соответствие (для регулярных голономных D-модулей): существует функтор DR называется де Рама функтор, то есть эквивалентность из категории голономных D-модули на X с регулярными особенностями в категорию извращенных пучков на X .

Рассматривая неприводимые элементы каждой категории, это дает соответствие 1: 1 между классами изоморфизма

• неприводимые голономные D-модули на X с регулярными особенностями,

а также

• комплексы когомологий пересечений неприводимых замкнутых подмногообразий X с коэффициентами в неприводимых локальных системах .

D-модуль представляет собой нечто вроде системы дифференциальных уравнений на X , а локальная система на подмногообразия что - то вроде описания возможных монодромий, так это соответствия можно рассматривать как описания некоторых систем дифференциальных уравнений в терминах монодромий их решений.

В случае, когда X имеет размерность один (комплексная алгебраическая кривая), то существует более общее соответствие Римана – Гильберта для алгебраических связностей без предположения регулярности (или для голономных D-модулей без предположения регулярности), описанное в Malgrange (1991), Соответствие Римана – Гильберта – Биркгофа .

Примеры [ править ]

Примером применения теоремы является дифференциальное уравнение

${\ displaystyle {\ frac {df} {dz}} = {\ frac {a} {z}} f}$

на проколотой аффинной прямой A ¹  - {0} (то есть на ненулевых комплексных числах C - {0}). Здесь a - фиксированное комплексное число. Это уравнение имеет регулярные особенности в точках 0 и ∞ на проективной прямой P ¹ . Локальные решения уравнения имеют вид cz ^a для постоянных c . Если a не является целым числом, то функция z ^a не может быть четко определена на всем C - {0}. Это означает, что уравнение имеет нетривиальную монодромию. Явно монодромия этого уравнения есть одномерное представление фундаментальной группыπ ₁ ( A ¹  - {0}) =  Z, в котором образующая (петля вокруг начала координат) действует умножением на e ^{2 π ia} .

Чтобы увидеть необходимость гипотезы регулярных особенностей, рассмотрим дифференциальное уравнение

${\ displaystyle {\ frac {df} {dz}} = f}$

на аффинной прямой A ¹ (то есть на комплексных числах C ). Это уравнение соответствует плоской связности на тривиальном алгебраическом линейном расслоении над A ¹ . Решения уравнения имеют вид ce ^z для постоянных c . Поскольку эти решения не имеют полиномиального роста на некоторых секторах вокруг точки ∞ проективной прямой P ¹ , уравнение не имеет регулярных особенностей в точке ∞. (Это также можно увидеть, переписав уравнение в терминах переменной w  : = 1 / z , где оно принимает вид

${\ displaystyle {\ frac {df} {dw}} = - {\ frac {1} {w ^ {2}}} f.}$

Полюс порядка 2 в коэффициентах означает, что уравнение не имеет регулярных особенностей при w = 0 согласно теореме Фукса .)

Поскольку функции ce ^z определены на всей аффинной прямой A ¹ , монодромия этой плоской связности тривиальна. Но эта плоская связность не изоморфна очевидной плоской связности на тривиальном линейном расслоении над A ¹ (как алгебраическое векторное расслоение с плоской связностью), поскольку ее решения не имеют умеренного роста на ∞. Это показывает необходимость ограничиться плоскими связностями с регулярными особенностями в соответствии Римана – Гильберта. С другой стороны, если мы работаем с голоморфными (а не алгебраическими) векторными расслоениями с плоской связностью на некомпактном комплексном многообразии, таком как A ¹ = C, то понятие регулярных особенностей не определяется. Гораздо более элементарная теорема, чем соответствие Римана – Гильберта, утверждает, что плоские связности на голоморфных векторных расслоениях определяются с точностью до изоморфизма своей монодромией.

В характеристике р [ править ]

Для схем в характеристике р > 0, Бхатты & Лурье (2019) установить Риман-Гильберт соответствие, утверждает , в частности , что этальны когомологии из этальных пучков с Z / р -коэффициентами могут быть вычислены с точкой зрения действия эндоморфизма Фробениуса на когерентном когомологии .

См. Также [ править ]

• Проблема Римана – Гильберта

Ссылки [ править ]

• Бхатт, Бхаргав; Лурье, Яков (2019), "Римана-Гильберта соответствие в положительной характеристике", Кембридж Журнал математики , 7 (1-2): 71-217, Arxiv : +1711,04148 , DOI : 10,4310 / CJM.2019.v7.n1. А3 , Руководство по ремонту  3922360 , S2CID  119147066
• Димка, Александру, Пучки в топологии , стр. 206–207. (Дает явное представление соответствия Римана – Гильберта для слоя Милнора изолированной гиперповерхностной особенности)
• Борел, Арманд (1987), Алгебраические D-модули , Перспективы в математике, 2 , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-117740-9, MR  0882000
• Делинь, Пьер (1970), Équations différentielles à points singuliers réguliers , Lecture Notes in Mathematics, 163 , Springer-Verlag , ISBN 3540051902, Руководство по ремонту  0417174 , OCLC  169357
• Кашивары, Masaki (1980), "Faisceaux constructibles и др Systèmes holonômes d'УРАВНЕНИЙ Окс dérivées partielles linéaires à Опорные точки singuliers Регулирсдварсстраат", Seminaire Гулауик-Шварц, 1979-80, Exposé 19 , Палезо: Политехническая школа, MR  0600704
• Кашивары, Masaki (1984), "О задаче Римана-Гильберта для голономных систем" , публикации научно - исследовательского института математических наук , 20 (2): 319-365, DOI : 10,2977 / Призмы / 1195181610 , MR  0743382
• Мальгранж, Бернар (1991), Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами , Прогресс в математике, 96 , Биркхойзер , ISBN 0-8176-3556-4, Руководство по ремонту  1117227
• Мебхаут, Зогман (1980), "Sur le problėme de Hilbert-Riemann", Комплексный анализ, микролокальное исчисление и релятивистская квантовая теория (Les Houches, 1979) , Lecture Notes in Physics, 126 , Springer-Verlag , pp. 90–110, ISBN 3-540-09996-4, Руководство по ремонту  0579742
• Мебхаут, Зогман (1984), "Une autre équivalence de catégories" , Compositio Mathematica , 51 (1): 63–88, MR  0734785