Историческая мотивация
Отображение Кодаиры – Спенсера изначально было построено в контексте комплексных многообразий. Для комплексного аналитического многообразия с графиками и биголоморфные отображения отправка Склеивая карты вместе, идея теории деформации состоит в том, чтобы заменить эти переходные карты с помощью параметризованных карт переходов над какой-то базой (которое может быть реальным многообразием) с координатами , такое что . Это означает, что параметры деформировать комплексную структуру исходного комплексного многообразия . Тогда эти функции также должны удовлетворять условию коцикла, которое дает 1-коцикл насо значениями в его касательном расслоении. Поскольку основание можно считать полидиском, этот процесс дает карту между касательным пространством основания иназывается картой Кодаира – Спенсера. [1]
Исходное определение
Более формально, карта Кодаиры- Спенсер является [2]
где
- является гладким собственным отображением между комплексными пространствами [3] (т. е. деформацией специального слоя .)
- - связующий гомоморфизм, полученный взятием длинной точной последовательности когомологий сюръекции ядром которого является касательное расслоение .
Если в , то его изображение называется класс Кодаиры- Спенсер из.
Поскольку теория деформации была распространена на множество других контекстов, таких как деформации в теории схем или кольцевые топои, для этих контекстов существуют конструкции карты Кодаира – Спенсера.
В теории схем над базовым полем характерных , существует естественная биекция между классами изоморфизмов а также .
Использование бесконечно малых
Условие коцикла при деформациях
Сверх характеристики построение отображения Кодаиры – Спенсера [4] может быть выполнено с использованием инфинитезимальной интерпретации условия коцикла. Если у нас есть комплексное многообразие покрыто конечным числом графиков с координатами и переходные функции
где
Напомним, что деформация задается коммутативной диаграммой
где это кольцо двойных чисел и вертикальные отображения являются плоскими, деформация имеет когомологическую интерпретацию как коциклы на где
Если удовлетворяют условию коцикла, то они приклеиваются к деформации . Это можно прочитать как
Используя свойства двойственных чисел, а именно , у нас есть
а также
следовательно, условие коцикла на следующие два правила
Преобразование в коциклы векторных полей.
Коцикл деформации легко преобразовать в коцикл векторных полей следующим образом: учитывая коцикл мы можем сформировать векторное поле
которая является 1-коцепью. Тогда правило для карт переходов дает эту 1-коцепь как 1-коцикл, следовательно, класс .
Использование векторных полей
Одна из оригинальных конструкций этой карты использовала векторные поля в настройках дифференциальной геометрии и комплексного анализа. [1] С учетом приведенных выше обозначений переход от состояния деформации к условию коцикла прозрачен на малой базе размерности один, поэтому существует только один параметр. Тогда условие коцикла можно прочитать как
Тогда производная от относительно можно рассчитать из предыдущего уравнения как
Обратите внимание, потому что а также , то производная имеет вид
Изменяя координаты части предыдущего голоморфного векторного поля, имеющего эти частные производные в качестве коэффициентов, можно записать
Следовательно, мы можем записать приведенное выше уравнение как следующее уравнение векторных полей
Переписывая это как векторные поля
где
дает условие коцикла. Следовательно имеет связанный класс в от исходной деформации из .
В теории схем
Деформации гладкого многообразия [5]
имеют когомологически построенный класс Кодаиры-Спенсера. С этой деформацией связана короткая точная последовательность
(где ), который при натяжении -модуль дает короткую точную последовательность
Используя производные категории , это определяет элемент в
обобщение карты Кодаира – Спенсера. Обратите внимание, что это можно обобщить на любую гладкую карту. в используя котангенс последовательность, давая элемент в .
Кольчатых топоев
Одна из самых абстрактных конструкций карт Кодаира – Спенсера происходит от котангенсных комплексов, связанных с композицией карт окольцованных топосов.
Тогда с этой композицией ассоциирован выделенный треугольник
и это граничное отображение образует отображение Кодаиры – Спенсера [6] (или класс когомологий, обозначаемый). Если два отображения в композиции являются гладкими отображениями схем, то этот класс совпадает с классом в.
С аналитическими микробами
Отображение Кодаиры – Спенсера при рассмотрении аналитических ростков легко вычислимо с использованием касательных когомологий в теории деформаций и ее версальных деформаций. [7] Например, для ростка многочлена, его пространство деформаций может быть задано модулем
Например, если то его версальные деформации даются выражением
следовательно, произвольная деформация задается формулой . Тогда для вектора, имеющий основу
там карта отправка
Об аффинных гиперповерхностях с кокасательным комплексом
Для аффинной гиперповерхности над полем определяется полиномом , есть связанный фундаментальный треугольник
Затем, применяя дает длинную точную последовательность
Напомним, что существует изоморфизм
из общей теории производных категорий, а группа ext классифицирует деформации первого порядка. Затем эта группа может быть вычислена путем ряда сокращений. Во-первых, посколькуэто бесплатный модуль, . Также из-за, существуют изоморфизмы
Последний изоморфизм происходит от изоморфизма , и морфизм в
Отправить
дающий желаемый изоморфизм. Из котангенсной последовательности
(который является усеченной версией фундаментального треугольника) связующее отображение длинной точной последовательности является двойственным к , что дает изоморфизм
Обратите внимание, что это вычисление может быть выполнено с использованием последовательности котангенса и вычисления . [8] Затем карта Кодаира – Спенсера отправляет деформацию
к элементу .