Когомологии алгебры Ли

В математике , алгебра Ли когомологий является когомологическим теория алгебр Ли . Впервые он был введен в 1929 году Эли Картаном для изучения топологии групп Ли и однородных пространств ^[1] , связав когомологические методы Жоржа де Рама со свойствами алгебры Ли. Позднее он был расширен Клодом Шевалле и Самуэлем Эйленбергом ( 1948 ) на коэффициенты в произвольном модуле Ли . ^[2]

Мотивация [ править ]

Если это компактная односвязная группа Ли, то она определяется своей алгеброй Ли, поэтому должно быть возможно вычислить ее когомологии из алгебры Ли. Это можно сделать следующим образом. Его когомологии - это когомологии де Рама комплекса дифференциальных форм на . Используя процесс усреднения, этот комплекс можно заменить комплексом левоинвариантных дифференциальных форм . Между тем левоинвариантные формы определяются своими значениями в единице, так что пространство левоинвариантных дифференциальных форм можно отождествить с внешней алгеброй алгебры Ли с помощью подходящего дифференциала. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$

Построение этого дифференциала на внешней алгебре имеет смысл для любой алгебры Ли, поэтому оно используется для определения когомологий алгебры Ли для всех алгебр Ли. В более общем смысле можно использовать аналогичную конструкцию для определения когомологий алгебры Ли с коэффициентами в модуле.

Если - односвязная некомпактная группа Ли, когомологии алгебры Ли ассоциированной алгебры Ли не обязательно воспроизводят когомологии де Рама группы . Причина этого в том, что переход от комплекса всех дифференциальных форм к комплексу левоинвариантных дифференциальных форм использует процесс усреднения, который имеет смысл только для компактных групп. ${\ displaystyle G}$ ${\mathfrak {g}}$ $G$

Определение [ править ]

Пусть будет алгеброй Ли над коммутативным кольцом R с универсальным обертывающим , и пусть M является представление о ( что эквивалентно, -модуле). Рассматривая R как тривиальное представление , можно определить группы когомологий ${\mathfrak {g}}$ $U{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $U{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

\mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)

(определение Ext см. в функторе Ext). Эквивалентно, это правые производные функторы левого точного инвариантного подмодульного функтора

M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.

Аналогичным образом можно определить гомологии алгебр Ли как

\mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)

(см Tor функтор для определения Tor), что эквивалентно левых производных функторов правого точного коинвариантов функторе

M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.

Некоторые важные основные результаты о когомологиях алгебр Ли включают леммы Уайтхеда , теорему Вейля и теорему о разложении Леви .

Комплекс Шевалле-Эйленберга [ править ]

Пусть - алгебра Ли над полем с левым действием на -модуле . Элементы комплекса Шевалле – Эйленберга ${\mathfrak {g}}$ $k$ ${\mathfrak {g}}$ $M$

\mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)

называются коцепями от до . Таким образом, однородная -cochain от до является переменной- полилинейной функцией . Когда конечно порожден как векторное пространство, комплекс Шевалле – Эйленберга канонически изоморфен тензорному произведению , где обозначает двойственное векторное пространство к . ${\mathfrak {g}}$ $M$ $n$ ${\mathfrak {g}}$ $M$ $k$ $f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M$ ${\mathfrak {g}}$ $M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak {g}}$

Скобка Ли на индуцирует транспонированное приложение по двойственности. Последнего достаточно, чтобы определить вывод комплекса коцепей от к путем расширения согласно градуированному правилу Лейбница. Из тождества Якоби следует, что оно удовлетворяет и фактически является дифференциалом. В этой настройке рассматривается как тривиальный -модуль, тогда как его можно рассматривать как константы. $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ $d_{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $k$ $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}$ $d_{\mathfrak {g}}$ $d_{\mathfrak {g}}^{2}=0$ $k$ ${\mathfrak {g}}$ $k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})$

В общем, let обозначает левое действие on и рассматривает его как приложение . Тогда дифференциал Шевалле – Эйленберга является единственным выводом, продолжающим и, согласно градуированному правилу Лейбница , условием нильпотентности, следующим из гомоморфизма алгебр Ли от до и тождества Якоби в . $\gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))$ ${\mathfrak {g}}$ $M$ $d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}$ $d$ $d_{\gamma }^{(0)}$ $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}$ $d^{2}=0$ ${\mathfrak {g}}$ $\mathrm {End} (M)$ ${\mathfrak {g}}$

Явно, дифференциалом -cochain является -cochain, заданный следующим образом: ^[3] $n$ $f$ $(n+1)$ $df$

${\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}$

где каретка означает пропуск этого аргумента.

Когда - вещественная группа Ли с алгеброй Ли , комплекс Шевалле – Эйленберга также можно канонически отождествить с пространством левоинвариантных форм со значениями в , обозначаемых через . Дифференциал Шевалье-Эйленберг затем может рассматриваться как ограничение ковариантной производной на тривиальном расслоении , оснащенное эквивариантной связью , связанную с левым действием на на . В частном случае, когда наделено тривиальным действием , дифференциал Шевалле – Эйленберга совпадает с ограничением дифференциала де Рама на подпространство левоинвариантных дифференциальных форм. $G$ ${\mathfrak {g}}$ $M$ $\Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}$ $G\times M\rightarrow G$ ${\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))$ $\gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))$ ${\mathfrak {g}}$ $M$ $M=k=\mathbb {R}$ ${\mathfrak {g}}$ $\Omega ^{\bullet }(G)$

Когомологии в малых измерениях [ править ]

Группа нулевых когомологий - это (по определению) инварианты алгебры Ли, действующей на модуле:

H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.

Первая группа когомологий - это пространство $Der$ дифференцирований по модулю пространства $Ider$ внутренних дифференцирований

H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,

,

где вывод - это отображение алгебры Ли в такое, что $d$ $M$

d[x,y]=xdy-ydx~

и называется внутренним, если он задается

dx=xa~

для некоторых в . $a$ $M$

Вторая группа когомологий

H^{2}({\mathfrak {g}};M)

- пространство классов эквивалентности расширений алгебры Ли

0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0

алгебры Ли модулем . $M$

Точно так же любой элемент группы когомологий дает класс эквивалентности способов расширения алгебры Ли до « -алгебры Ли » с нулевым классом и классом . ^[4] -алгебра Ли - это гомотопическая алгебра Ли с ненулевыми членами только в степенях от 0 до . $H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)$ ${\mathfrak {g}}$ $n$ ${\mathfrak {g}}$ $M$ $n$ $n$ $n$

См. Также [ править ]

Формализм БРСТ в теоретической физике.
Когомологии Гельфанда – Фукса

Ссылки [ править ]

↑ Картан, Эли (1929). "Sur les invariants intégraux de specifics espaces homogènes clos". Annales de la Société Polonaise de Mathématique . 8 : 181–225.
^ Кошу, Жан-Луи (1950). "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie" . Бюллетень математического общества Франции . 78 : 65–127. DOI : 10,24033 / bsmf.1410 . Архивировано 21 апреля 2019 года . Проверено 3 мая 2019 .
^ Weibel, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета . п. 240.
^ Баэз, Джон С .; Кранс, Алисса С. (2004). "Многомерная алгебра VI: 2-алгебры Ли". Теория и приложения категорий . 12 : 492–528. arXiv : math / 0307263 . Bibcode : 2003math ...... 7263B . CiteSeerX 10.1.1.435.9259 .

Шевалле, Клод ; Эйленберг, Самуэль (1948), "Теория когомологий групп Ли и алгебр Ли", Труды Американского математического общества , Providence, RI: Американское математическое общество , 63 (1): 85-124, да : 10,2307 / 1990637 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1990637 , Руководство по ремонту 0024908
Хилтон, Питер Дж .; Stammbach, Urs (1997), Курс гомологической алгебры , Тексты для выпускников по математике, 4 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546
Кнапп, Энтони В. (1988), группы Ли, алгебры Ли и когомологии , Mathematical Notes, 34 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08498-5, Руководство по ремонту 0938524

Внешние ссылки [ править ]

«Введение в когомологии алгебры Ли» . Scholarpedia .

[1] Картан, Эли (1929). "Sur les invariants intégraux de specifics espaces homogènes clos". Annales de la Société Polonaise de Mathématique . 8 : 181–225.

[2] Кошу, Жан-Луи (1950). "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie" . Бюллетень математического общества Франции . 78 : 65–127. DOI : 10,24033 / bsmf.1410 . Архивировано 21 апреля 2019 года . Проверено 3 мая 2019 .

[3] Weibel, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета . п. 240.

[4] Баэз, Джон С .; Кранс, Алисса С. (2004). "Многомерная алгебра VI: 2-алгебры Ли". Теория и приложения категорий . 12 : 492–528. arXiv : math / 0307263 . Bibcode : 2003math ...... 7263B . CiteSeerX 10.1.1.435.9259 .

[1]