В математике , р Теория -адической Ходдж теория , что обеспечивает способ классификации и изучение р -адического представления Галуа из характерных 0 локальных полей [1] с остаточным характерным р (такие как Q р ). Теория берет свое начало в Жан-Пьер Серр и Джон Тэйт исследования «s из модулей Тейта из абелевых многообразий и понятия представления Ходж-Тейт . Представления Ходжа – Тейта связаны с некоторыми разложениями p -адических когомологийтеории, аналогичные разложению Ходжа , отсюда и название p -адическая теория Ходжа. Дальнейшие разработки были вдохновлены свойствами р -адических представлений Галуа , вытекающих из этальных когомологий из разновидностей . Жан-Марк Фонтен представил многие из основных понятий в этой области.
Общая классификация p -адических представлений
Пусть K - локальное поле с полем вычетов k характеристики p . В этих статьях, р-адическое представление о K (или G K , с абсолютной группой Галуа из K ) будет непрерывное представление р: G K → GL ( V ), где V представляет собой конечномерное векторное пространство над Q стр . Совокупность всех p -адических представлений K образуют абелеву категорию, обозначаемуюв этой статье. p -адическая теория Ходжа предоставляет подколлекции p -адических представлений в зависимости от того, насколько они хороши, а также предоставляет точные функторы для категорий линейных алгебраических объектов, которые легче изучать. Основная классификация выглядит следующим образом: [2]
где каждая коллекция является полной подкатегорией, правильно содержащейся в следующей. По порядку это категории кристаллических представлений , полустабильных представлений , представлений де Рама, представлений Ходжа – Тейта и всех p -адических представлений. Кроме того, могут быть введены две другие категории представлений: потенциально кристаллические представления Rep pcris ( K ) и потенциально полустабильные представления Rep pst ( K ). Последний строго содержит первый, который, в свою очередь, обычно строго содержит Rep cris ( K ); кроме того, Rep pst ( K ) обычно строго содержит Rep st ( K ) и содержится в Rep dR ( K ) (с равенством, когда поле вычетов K конечно, утверждение, называемое теоремой p -адической монодромии ).
Кольца периодов и изоморфизмы сравнения в арифметической геометрии
Общая стратегия р -адической теории Ходжи, введенный Фонтэн, состоит в построении некоторых так называемый период колец [3] , такие как B Д.Р. , B - го , B CRIS и B HT , которые имеют как действие на G K , и некоторых линейная алгебраическая структура и рассмотреть так называемые модули Дьедонне
(где B представляет собой период кольцо, а V представляет собой р -адическое представление) , которое больше не имеют G K -действие, но наделены линейных алгебраических структур , унаследованных от кольца B . В частности, это векторные пространства над фиксированным полем. [4] Эта конструкция укладывается в формализм B- допустимых представлений, введенный Фонтеном. Для кольца периодов, подобных упомянутым выше B ∗ (для ∗ = HT, dR, st, cris), категория p -адических представлений Rep ∗ ( K ), упомянутая выше, является категорией B ∗ -допустимых , т. Е. Тех p -адические представления V, для которых
или, что то же самое, морфизм сравнения
является изоморфизмом .
Этот формализм (и название кольца периодов) вырос из нескольких результатов и предположений относительно изоморфизмов сравнения в арифметике и сложной геометрии :
- Если X является собственно гладкая схема над С , существует классическое сравнение изоморфизма между алгебраическими когомологий де Рама из X над C и сингулярных когомологий из X ( C )
- Этот изоморфизм может быть получен путем рассмотрения спаривания, полученного интегрированием дифференциальных форм в алгебраических когомологиях де Рама по циклам в особых когомологиях. Результат такого интегрирования называется периодом и обычно представляет собой комплексное число. Это объясняет, почему особые когомологии должны быть преобразованы к C , и с этой точки зрения можно сказать , что C содержит все периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с сингулярными когомологиями, и, следовательно, может быть названо кольцом периодов в этой ситуации. .
- В середине шестидесятых годов Тейт предположил [5], что аналогичный изоморфизм должен выполняться для собственных гладких схем X над K между алгебраическими когомологиями де Рама и p -адическими этальными когомологиями ( гипотеза Ходжа – Тейта , также называемая C HT ). В частности, пусть С К будет пополнение из алгебраического замыкания из K , пусть C K ( я ) обозначает C K , где действие G K является через г · г = χ ( г ) я г · г (где χ есть р -адический циклотомический символ , i - целое число), и пусть. Тогда существует функториальный изоморфизм
- из градуированных векторных пространств с G K -действия (когомологий де Рама оснащена фильтрацией Ходжа , и является его ассоциированным градуированным). Эта гипотеза была доказана Гердом Фалтингсом в конце 80-х годов [6] после частичных результатов, полученных несколькими другими математиками (включая самого Тейта).
- Для абелева многообразия X с хорошей редукцией над р -адических полями К , Гротендик переформулируется теорема Тейта сказать , что кристаллический когомологий Н 1 ( Х / Ш ( к )) ⊗ Q р специального волокна (с Фробениусом эндоморфизм на этой группе и фильтрация Ходжа на этой группе, тензорной с K ), и p -адические этальные когомологии H 1 ( X , Q p ) (с действием группы Галуа группы K ) содержат ту же информацию. Оба эквивалентны p -делимой группе, ассоциированной с X , с точностью до изогении. Гротендик предположил, что должен быть способ перейти непосредственно от p -адических этальных когомологий к кристаллическим когомологиям (и обратно) для всех многообразий с хорошей редукцией над p -адическими полями. [7] Это предложенное соотношение стало известно как загадочный функтор .
Для того, чтобы улучшить гипотезу Ходжа-Tate к одному с участием когомологию де Рама ( а не только его ассоциированное градуированное), Фонтэн построили [8] фильтруют кольцо В дК , присоединенное градуированное является B НТ , и высказано предположение [9] следующее ( так называемый С дК ) для любой гладкой собственной схемы X над K
как фильтрованные векторные пространства с G K- действием. Таким образом, можно сказать , что B dR содержит все ( p -адические) периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с p -адическими этальными когомологиями, точно так же, как приведенные выше комплексные числа использовались для сравнения с сингулярными когомологиями. Отсюда B dR получил название кольца p-адических периодов .
Аналогичным образом , сформулировать гипотезу , объясняющую таинственное функтор Гротендик, Фонтэн ввел кольцо В Cris с G K -действием, в ф «фробениусовой», и фильтрацией после расширения скаляров от K 0 до K . Он предположил [10] следующее (названное C cris ) для любой гладкой собственной схемы X над K с хорошей редукцией
как векторные пространства с φ-действием, G K- действием и фильтрацией после расширения скаляров на K (здесьдается его структура как K 0 -векторное пространство с φ-действием, заданным путем сравнения с кристаллическими когомологиями). Гипотезы C dR и C cris были доказаны Фалтингсом. [11]
Сравнивая эти две гипотезы с понятием B ∗ -допустимых представлений, приведенным выше, видно, что если X - собственная гладкая схема над K (с хорошей редукцией), а V - p -адическое представление Галуа, полученное, как и его i- е p -адическая этальная группа когомологий, то
Другими словами, модули Dieudonne следует рассматривать как предоставление других когомологии , связанные с V .
В конце восьмидесятых Фонтейн и Уве Яннсен сформулировали другую гипотезу об изоморфизме сравнения, C st , на этот раз позволив X иметь полустабильную редукцию . Фонтен построил [12] кольцо B st с G K- действием, «Фробениусом» φ, фильтрацией после расширения скаляров с K 0 на K (и фиксацией расширения p -адического логарифма ) и «оператором монодромии» N . Когда X имеет полустабильную редукцию, когомологии де Рама можно снабдить φ-действием и оператором монодромии путем его сравнения с лог-кристаллическими когомологиями, впервые введенными Осаму Хёдо. [13] Гипотеза утверждает, что
как векторные пространства с ф-действием, G K -действия, фильтрации после расширения скаляров до K и оператора монодромии N . Это предположение было доказано в конце девяностых годов Такеши Цудзи. [14]
Заметки
- ^ В этой статье локальное поле - это полное поле дискретной оценки, поле вычетов которого является совершенным .
- Перейти ↑ Fontaine 1994 , p. 114
- ^ Эти кольца зависят от рассматриваемого локального поля K , но это соотношение обычно опускается из обозначений.
- ^ Для B = B HT , B dR , B st и B cris ,это К , К , К 0 , и К 0 , соответственно, где K 0 = гидроразрыва ( Ш ( к )), то доля поля из векторов Витта из к .
- ^ См. Серр 1967
- ^ Фалтингс 1988
- ^ Гротендик 1971 , стр. 435
- Перейти ↑ Fontaine 1982
- ↑ Фонтейн, 1982 , гипотеза A.6.
- ↑ Fontaine 1982 , гипотеза A.11
- ^ Фалтингс 1989
- ↑ Fontaine 1994 , Exposé II, раздел 3
- ^ Hyodo 1991
- ↑ Цудзи, 1999.
Рекомендации
Основные источники
- Тейт, Джон (1966), « p -Делимые группы», в Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer, 1967. doi: 10.1007 / 978-3-642-87942-5
- Фалтингсом, Герд (1988), " р -адическая теория Ходжа", журнал Американского математического общества , 1 (1): 255-299, DOI : 10,2307 / 1990970 , MR 0924705
- Фалтингс, Герд , «Кристаллические когомологии и p -адические представления Галуа», в Игуса, Джун-Ичи (ред.), Алгебраический анализ, геометрия и теория чисел , Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, стр. 25–80, ISBN 978-0-8018-3841-5, Руководство по ремонту 1463696
- Фонтен, Жан-Марк (1982), "Sur certains типа де ЗАЯВЛЕНИЙ р -adiques дю GROUPE де Галуа d'ООН корпус местного, строительство d'ООН ANNEAU де Barsotti-Tate", Анналы математики , 115 (3): 529- 577, DOI : 10,2307 / 2007012 , МР 0657238
- Гротендик, Александр (1971), "Groupes de Barsotti – Tate et cristaux", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , 1 , стр. 431–436, MR 0578496
- Хиодо, Осаму (1991), «О комплексе де Рама – Витта, присоединенном к полустабильному семейству», Compositio Mathematica , 78 (3): 241–260, MR 1106296.
- Серр, Жан-Пьер (1967), «Резюме курсов, 1965–66», Annuaire du Collège de France , Париж, стр. 49–58.
- Цуджи, Такеши (1999), « p -адические этальные когомологии и кристаллические когомологии в случае полустабильной редукции», Inventiones Mathematicae , 137 (2): 233–411, Bibcode : 1999InMat.137..233T , doi : 10.1007 / s002220050330 , Руководство по ремонту 1705837
Вторичные источники
- Бергер, Лоран (2004), «Введение в теорию p -адических представлений», Геометрические аспекты теории Дворка , I , Берлин: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv : math / 0210184 , Bibcode : 2002math .. ... 10184B , ISBN 978-3-11-017478-6, MR 2023292
- Бринон, Оливье; Конрад, Брайан (2009), Заметки летней школы CMI по p-адической теории Ходжа (PDF) , извлечено 05.02.2010 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Фонтен, Жан-Марк , изд. (1994), Périodes p-adiques , Astérisque, 223 , Париж: Société Mathématique de France, MR 1293969
- Иллюзи, Люк (1990), "Cohomologie de de Rham et cohomologie étale p -adique (d'après G. Faltings, J.-M. Fontaine et al.) Exp. 726", Séminaire Bourbaki. Vol. 1989/90. Exposés 715–729 , Astérisque, 189–190, Париж: Société Mathématique de France, стр. 325–374, MR 1099881