В математике , то абсолютная группа Галуа G K из поля K является группой Галуа из K сны над K , где K сентябрем является сепарабельным замыканием из K . Альтернативно, группа всех автоморфизмов алгебраического замыкания из K , что исправление K . Абсолютная группа Галуа определена с точностью до внутреннего автоморфизма . Это бесконечная группа .
(Когда К является совершенным поле , К сентябрю такого же , как алгебраический замыкание K ALG из K . Это имеет место , например , для K от нулевой характеристики , или K конечного поля .)
Примеры
- Абсолютная группа Галуа алгебраически замкнутого поля тривиальна.
- Абсолютная группа Галуа действительных чисел - это циклическая группа из двух элементов (комплексное сопряжение и тождественное отображение), поскольку C - сепарабельное замыкание R и [ C : R ] = 2.
- Абсолютная группа Галуа конечного поля K изоморфна группе
(Обозначения см. В разделе Обратный предел .)
- Автоморфизм Фробениус Fr является каноническим (топологическим) генератор G K . (Напомним, что Fr ( x ) = x q для всех x в K alg , где q - количество элементов в K. )
- Абсолютная группа Галуа поля рациональных функций с комплексными коэффициентами свободна (как проконечная группа). Этот результат принадлежит Адриену Дуади и восходит к теореме существования Римана . [1]
- В более общем смысле, пусть C - алгебраически замкнутое поле, а x - переменная. Тогда абсолютная группа Галуа К = С ( х ) является свободным ранг , равный мощности C . Этот результат был получен Дэвидом Харбэтером и Флорианом Попом , и позже он был доказан Дэном Хараном и Моше Джарденом с использованием алгебраических методов. [2] [3] [4]
- Пусть K является конечным расширением в р-адических чисел Q р . При p ≠ 2 ее абсолютная группа Галуа порождается [ K : Q p ] + 3 элементами и имеет явное описание образующими и соотношениями. Это результат Уве Яннсена и Кая Вингберг. [5] [6] Некоторые результаты известны в случае p = 2, но структура Q 2 неизвестна. [7]
- Другой случай, в котором была определена абсолютная группа Галуа, - это наибольшее вполне вещественное подполе поля алгебраических чисел. [8]
Проблемы
- Нет прямого описания абсолютной группы Галуа рациональных чисел . В этом случае, как следует из теоремы Белого в том , что абсолютная группа Галуа имеет точное действие на Dessins струкциями из Гротендиком (отображений на поверхности), что позволяет нам «видеть» теорию Галуа полей алгебраических чисел.
- Пусть K - максимальное абелево расширение рациональных чисел. Тогда гипотеза Шафаревича утверждает, что абсолютная группа Галуа группы K является свободной проконечной группой. [9]
Некоторые общие результаты
- Каждая проконечная группа встречается как группа Галуа некоторого расширения Галуа [10], однако не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа. Например, теорема Артина – Шрайера утверждает, что единственные конечные абсолютные группы Галуа либо тривиальны, либо имеют порядок 2, то есть только два класса изоморфизма.
- Каждая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля . Это результат Александра Любоцкого и Лу ван ден Дриса . [11]
Рекомендации
- ^ Дуади 1964
- ^ Harbater 1995
- ^ Поп 1995
- ^ Харан и Джарден 2000
- ^ Яннсена & Wingberg 1982
- ^ Нойкирх, Шмидт и Вингберг 2000 , теорема 7.5.10
- ^ Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000 , §VII.5
- ^ "qtr" (PDF) . Проверено 4 сентября 2019 .
- ^ Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000 , стр. 449.
- ↑ Fried & Jarden (2008), стр.12
- ^ Fried & Жарден (2008) pp.208,545
Источники
- Дуади, Адриан (1964), «Détermination d'un groupe de Galois», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 258 : 5305–5308, MR 0162796
- Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008), Полевая арифметика , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11 (3-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145,12001
- Харран, Дан; Жарден, Моше (2000), "Абсолютная Галуа группа С ( х )", Тихоокеанский журнал математики , 196 (2): 445-459, DOI : 10,2140 / pjm.2000.196.445 , МР 1800587
- Харбатер, Дэвид (1995), "Фундаментальные группы и задачи вложения в характеристику p ", Последние разработки в обратной задаче Галуа (Сиэтл, Вашингтон, 1993) , Contemporary Mathematics, 186 , Providence, Rhode Island : American Mathematical Society , стр. 353 –369, Руководство по ремонту 1352282
- Яннсен, Уве; Вингберг, Кей (1982), "Die Struktur der Absoluten Galoisgruppe"-adischer Zahlkörper ", Inventiones Mathematicae , 70 : 71–78, Bibcode : 1982InMat..70 ... 71J , doi : 10.1007 / bf01393199
- Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, Руководство по ремонту 1737196 , Zbl 0948.11001
- Поп, Флориан (1995), «Этальные покрытия Галуа аффинных гладких кривых. Геометрический случай гипотезы Шафаревича. О гипотезе Абхьянкара », Inventiones Mathematicae , 120 (3): 555–578, Bibcode : 1995InMat.120..555P , DOI : 10.1007 / bf01241142 , МР 1334484