В математике , А детский рисунок d'Enfant представляет собой тип графа вложения используется для изучения Римана поверхностей и обеспечить комбинаторные инварианты для действия абсолютной группы Галуа из рациональных чисел . Название этих вложений по- французски означает «детский рисунок»; его множественное число либо детских рисунков d'Enfant , «рисунки ребенка», или детские рисунки струкциями , «детские рисунки».
Детский рисунок - это граф , вершины которого окрашены попеременно в черный и белый цвета, вложенный в ориентированную поверхность, которая во многих случаях является просто плоскостью . Чтобы раскраска существовала, граф должен быть двудольным . Грани вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием системы вращения , циклического порядка ребер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором ребра будут пересекаться путем, который движется по поверхности по часовой стрелке в небольшом цикле вокруг вершины.
Любой рисунок может придать поверхности, в которую он встроен, структуру, подобную римановой поверхности. Естественно спросить, какие римановы поверхности возникают таким образом. Ответ дает теорема Белого , которая утверждает, что римановы поверхности, которые могут быть описаны рисунками, - это в точности те, которые можно определить как алгебраические кривые над полем алгебраических чисел . Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и, таким образом, также трансформирует лежащие в основе рисунки.
Для более подробного рассмотрения этого вопроса см. Schneps (1994) или Lando & Zvonkin (2004) .
История
19 век
Ранние прото-формы Dessins струкциями появились еще в 1856 году в икосианы от Уильяма Роуэна Гамильтона ; [1], говоря современным языком, это гамильтоновы пути на графе икосаэдра.
Узнаваемые современные детские рисунки и функции Белого использовал Феликс Клейн ( 1879 ). Кляйн назвал эти диаграммы Linienzüge (нем., Множественное число от Linienzug «линия-путь», также используется как термин для обозначения многоугольника ); он использовал белый кружок для прообраза 0 и '+' для прообраза 1, а не черный кружок для 0 и белый кружок для 1, как в современных обозначениях. [2] Он использовал эти диаграммы для построения 11-кратного покрытия самой сферы Римана с группой монодромии PSL (2,11), следуя более ранним конструкциям 7-кратного покрытия с монодромией PSL (2,7), связанным с квартика Клейн в (Klein , 1878-1879a , 1878-1879b ). Все они были связаны с его исследованиями геометрии уравнения квинтики и группы A 5 ≅ PSL (2,5), собранными в его знаменитых лекциях 1884/88 г. об икосаэдре . Много позже было показано, что три поверхности, построенные таким образом из этих трех групп, тесно связаны посредством феномена троичности .
20 век
Затем, более века спустя, детские детские изделия в их современном виде были заново открыты и названы Александром Гротендиком в 1984 году в его программе Esquisse d'un . [3] Заппони (2003) цитирует Гротендика относительно его открытия действия Галуа на детских рисунках :
Это открытие, столь простое в техническом отношении, произвело на меня очень сильное впечатление и представляет собой решающий поворотный момент в моих размышлениях, в частности, сдвиг центра моего интереса к математике, который внезапно оказался сильно сфокусированным. Я не верю, что математический факт когда-либо поражал меня так сильно, как этот, и не имел сопоставимого психологического воздействия. Это, несомненно, из-за очень знакомого, нетехнического характера рассматриваемых объектов, из которых любой рисунок ребенка, нацарапанный на клочке бумаги (по крайней мере, если рисунок сделан, не поднимая карандаш), дает совершенно ясный пример. С таким рисунком мы находим связанные тонкие арифметические инварианты, которые полностью переворачиваются, как только мы добавляем еще один штрих.
Часть теории была независимо разработана Jones & Singerman (1978) незадолго до Гротендика. Они очерчивают соответствие между отображениями на топологических поверхностях, отображениями на римановых поверхностях и группами с некоторыми выделенными образующими, но не рассматривают действие Галуа. Их понятие карты соответствует конкретному экземпляру детской одежды. В более поздней работе Bryant & Singerman (1985) обработка распространяется на поверхности с границей.
Римановы поверхности и пары Белого
В комплексных числах , вместе с особой точкой , обозначенной в качестве ∞, образуют топологическое пространство , известное как сфера Римана . Любой многочлен и вообще любая рациональная функция р ( х )/д ( х )где p и q - многочлены, преобразует сферу Римана, отображая ее в себя. Рассмотрим, например, [4] рациональная функция
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/e2/Dessin-LZ109.svg/240px-Dessin-LZ109.svg.png)
В большинстве точек сферы Римана это преобразование является локальным гомеоморфизмом : оно взаимно однозначно отображает небольшой диск с центром в любой точке в другой диск. Однако в некоторых критических точках отображение усложняется и отображает диск с центром в точке k- к-одному на свое изображение. Число k известно как степень критической точки, а преобразованное изображение критической точки известно как критическое значение . В приведенном выше примере f есть следующие критические точки и критические значения. (Некоторые точки сферы Римана, которые сами по себе не являются критическими, но соответствуют одному из критических значений, также включены; они обозначены степенью один.)
критическая точка x критическое значение f ( x ) степень 0 ∞ 1 1 0 3 9 0 1 3 + 2 √ 3 ≈ 6,464 1 2 3 - 2 √ 3 ≈ −0,464 1 2 ∞ ∞ 3
Детский рисунок можно создать из f , поместив черные точки в прообразы 0 (то есть в точках 1 и 9), белые точки в прообразы 1 (то есть в 3 ± 2 √ 3 ) и дуги в прообразах отрезка [0, 1]. Этот сегмент линии имеет четыре прообраза, два вдоль сегмента линии от 1 до 9 и два, образующие простую замкнутую кривую, которая петляет от 1 до самого себя, окружая 0; Полученный рисунок показан на рисунке.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/d/db/Dessin-glue.svg/240px-Dessin-glue.svg.png)
В другом направлении, из этого рисунка, описанного как комбинаторный объект без указания местоположения критических точек, можно сформировать компактную риманову поверхность и карту с этой поверхности на сферу Римана, эквивалентную карте, из которой рисунок изначально был построен. Для этого поместите точку с меткой ∞ в каждой области рисунка (показаны красными точками на втором рисунке) и выполните триангуляцию каждой области, соединив эту точку с черной и белой точками, образующими границу области, соединив несколько раз к одной и той же черной или белой точке, если она появляется несколько раз на границе области. Каждый треугольник в триангуляции имеет три вершины, помеченные 0 (для черных точек), 1 (для белых точек) или ∞. Для каждого треугольника замените полуплоскость , либо верхнюю полуплоскость на треугольник, в котором 0, 1 и ∞ в порядке против часовой стрелки, либо нижнюю полуплоскость на треугольник, в котором они расположены по часовой стрелке, и для каждого соседнего пара треугольников склеивает соответствующие полуплоскости вдоль части их границ, обозначенной метками вершин. Результирующая риманова поверхность может быть отображена на сферу Римана с помощью тождественного отображения в каждой полуплоскости. Таким образом, детского рисунка, образованного из f , достаточно для описания самого f с точностью до биголоморфизма . Однако эта конструкция идентифицирует риманову поверхность только как многообразие со сложной структурой; он не строит вложения этого многообразия как алгебраической кривой в комплексную проективную плоскость , хотя такое вложение всегда существует.
Та же самая конструкция применяется в более общем случае, когда X - любая риманова поверхность, а f - функция Белого ; то есть голоморфная функция f из X в сферу Римана, имеющая только 0, 1 и ∞ в качестве критических значений. Пара ( X , f ) этого типа называется парой Белого . Из любой пары Белого ( X , f ) можно составить детский рисунок, нарисованный на поверхности X , черные точки которого находятся в прообразах f −1 (0) 0, а белые точки - в прообразах f −1 (1) из 1 и его ребра, расположенные вдоль прообразов f −1 ([0, 1]) отрезка [0, 1]. Наоборот, любой детский рисунок на любой поверхности X можно использовать для определения инструкций склейки для набора полупространств, которые вместе образуют риманову поверхность, гомеоморфную X ; отображение каждого полупространства единицей на сферу Римана дает функцию Белого f на X и, следовательно, приводит к паре Белого ( X , f ). Любые две пары Белого ( X , f ), которые приводят к комбинаторно эквивалентным детским рисункам, являются биголоморфными, и из теоремы Белого следует, что для любой компактной римановой поверхности X, определенной над алгебраическими числами , существуют функция Белого f и рисунок d ' enfant, который обеспечивает комбинаторное описание как X, так и f .
Карты и гиперкарты
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/220px-Icosahedral_reflection_domains.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/7/7c/3-7_kisrhombille.svg/220px-3-7_kisrhombille.svg.png)
Вершина рисунка имеет теоретико-графовую степень , количество инцидентных ребер, равную ее степени как критической точки функции Белого. В приведенном выше примере все белые точки имеют степень два; рисунки со свойством, что каждая белая точка имеет два ребра, называются чистыми , а соответствующие им функции Белого называются чистыми . Когда это происходит, рисунок можно описать более простым встроенным графом, который имеет только черные точки в качестве вершин и имеет ребро для каждой белой точки с концами на двух черных соседях белой точки. Например, рисунок, показанный на рисунке, можно было бы проще нарисовать таким образом, как пару черных точек с ребром между ними и петлю на одной из точек. Обычно рисовать только черные точки на чистом рисунке и оставлять белые точки неотмеченными; можно полностью восстановить рисунок, добавив белую точку в середине каждого края карты.
Таким образом, любое вложение графа в поверхность, каждая грань которой является диском (то есть топологической картой), приводит к рисунку, если рассматривать его вершины как черные точки рисунка и помещать белые точки в середину рисунка. каждое ребро вложенного графа. Если отображение соответствует функции Белого f , ее двойственное отображение (рисунок, сформированный из прообразов отрезка [1, ∞]) соответствует мультипликативному обратному1/ж. [5]
Нечистый рисунок можно превратить в чистый рисунок на той же поверхности, перекрасив все его точки в черный цвет и добавив новые белые точки на каждом из его краев. Соответствующее преобразование пар Белого состоит в замене функции Белого β чистой функцией Белого γ = 4 β (1 - β ) . Критические точки γ можно вычислить непосредственно по этой формуле: γ −1 (0) = β −1 (0) ∪ β −1 (1) , γ −1 (∞) = β −1 (∞) и γ −1 (1) = β −1 ( 1/2) . Таким образом, γ −1 (1) является прообразом под β середины отрезка [0,1], а края рисунка, образованного из γ, разделяют края рисунка, образованного из β .
Согласно интерпретации чистого рисунка как карты, произвольный рисунок - это гиперкарта : то есть рисунок гиперграфа, в котором черные точки представляют вершины, а белые точки - гиперребра.
Регулярные карты и группы треугольников
Пять Платоновых тел - правильный тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр - рассматриваемые как двумерные поверхности, обладают тем свойством, что любой флаг (тройка вершины, ребра и грани, которые пересекаются друг с другом) может быть переходят к любому другому флагу симметрией поверхности. В более общем смысле карта, встроенная в поверхность с тем же свойством, что любой флаг может быть преобразован в любой другой флаг с помощью симметрии, называется регулярной картой .
Если обычная карта используется для создания чистого рисунка, а полученный рисунок используется для создания триангулированной римановой поверхности, то края треугольников лежат вдоль линий симметрии поверхности, а отражения по этим линиям создают группу симметрии. называется группой треугольников , для которой треугольники образуют фундаментальные области. Например, на рисунке показан сгенерированный таким образом набор треугольников, начиная с правильного додекаэдра. Когда регулярное отображение лежит на поверхности, род которой больше единицы, универсальное покрытие поверхности является гиперболической плоскостью , а группа треугольников в гиперболической плоскости, образованная из поднятой триангуляции, является (кокомпактной) фуксовой группой, представляющей дискретное множество изометрий гиперболической плоскости. В этом случае стартовой поверхностью является фактор гиперболической плоскости по подгруппе конечного индекса Γ в этой группе.
И наоборот, если дана риманова поверхность, которая является частным от мозаики (2, 3, n ) (мозаика сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости треугольниками с углами π/2, π/3, а также π/п) ассоциированный рисунок - это граф Кэли, заданный образующими группы второго и третьего порядка, или, что то же самое, замощение одной и той же поверхности n -угольниками, встречающимися по три на вершину. Вершины этой мозаики дают черные точки рисунка, центры ребер дают белые точки, а центры граней дают точки над бесконечностью.
Деревья и многочлены Шабата
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Sextic-monomial-dessin.svg/160px-Sextic-monomial-dessin.svg.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Chebyshev-dessins.svg/240px-Chebyshev-dessins.svg.png)
Простейшие двудольные графы - это деревья . Любое вложение дерева имеет единственную область и, следовательно, по формуле Эйлера лежит на сферической поверхности. Соответствующая пара Белого образует преобразование сферы Римана, которое, если поместить полюс в точку ∞, можно представить в виде полинома . И наоборот, любой многочлен с 0 и 1 в качестве его конечных критических значений образует функцию Белого от сферы Римана к себе, имеющую единственную бесконечнозначную критическую точку и соответствующую детскому рисунку, который является деревом. Степень полинома равна количеству ребер в соответствующем дереве. Такая полиномиальная функция называются Белой как полином Шабата , [6] после того, как Джордж Шабата.
Например, возьмем p как моном p ( x ) = x d, имеющий только одну конечную критическую точку и критическое значение, оба равные нулю . Хотя 1 не является критическим значением для p , все же можно интерпретировать p как функцию Белого от сферы Римана к самой себе, потому что все ее критические значения лежат в множестве {0,1, ∞}. Соответствующий детский рисунок - это звезда, имеющая одну центральную черную вершину, соединенную с d белыми листами ( полный двудольный граф K 1, d ).
В более общем смысле полином p ( x ), имеющий два критических значения y 1 и y 2, можно назвать полиномом Шабата. Такой многочлен может быть нормирован в функцию Белого с его критическими значениями в 0 и 1 по формуле
но может быть удобнее оставить p в ненормированной форме. [7]
Важным семейством примеров многочленов Шабата являются многочлены Чебышева первого рода, T n ( x ), которые имеют −1 и 1 в качестве критических значений. Соответствующие рисунки имеют форму графов путей , чередующихся между черными и белыми вершинами, с n ребрами на пути. Из-за связи между полиномами Шабата и полиномами Чебышева сами полиномы Шабата иногда называют обобщенными полиномами Чебышева. [7] [8]
Разные деревья, как правило, соответствуют разным полиномам Шабата, как и разные вложения или раскраски одного и того же дерева. Вплоть до нормализации и линейных преобразований аргумента полином Шабата однозначно определяется из раскраски вложенного дерева, но не всегда просто найти полином Шабата, имеющий данное вложенное дерево в качестве детского рисунка.
Абсолютная группа Галуа и ее инварианты
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Conjugate-dessins.svg/240px-Conjugate-dessins.svg.png)
Полином
может быть преобразован в полином Шабата , выбрав [9]
Эти два варианта в приводят к двум функциям Белого F 1 и F 2 . Эти функции, хотя и тесно связаны друг с другом, не эквивалентны, поскольку описываются двумя неизоморфными деревьями, показанными на рисунке.
Однако, поскольку эти полиномы определены над полем алгебраических чисел Q ( √ 21 ), они могут быть преобразованы в действие по абсолютной Галуа группы Г рациональных чисел. Элемент Γ, который преобразует √ 21 в - √ 21 , преобразует f 1 в f 2 и наоборот, и, таким образом, можно также сказать, что он преобразует каждое из двух деревьев, показанных на рисунке, в другое дерево. В более общем плане, из-за того, что критические значения любой функции Белого являются чистыми рациональными числами 0, 1 и ∞, эти критические значения не изменяются действием Галуа, поэтому это действие переводит пары Белого в другие пары Белого. Можно определить действие группы Γ на любой детской одежде с помощью соответствующего действия на парах Белого; это действие, например, переставляет два дерева, показанных на рисунке.
Согласно теореме Белого действие Γ на рисунках точное (то есть каждые два элемента Γ определяют разные перестановки на множестве рисунков) [10], поэтому изучение детских рисунков может многое рассказать нам о самом Γ. . В этом свете представляет большой интерес понять, какие рисунки могут быть преобразованы друг в друга под действием Γ, а какие - нет. Например, можно заметить, что два показанных дерева имеют одинаковые последовательности степеней для своих черных узлов и белых узлов: оба имеют черный узел со степенью три, два черных узла со степенью два, два белых узла со степенью два и три белых. узлы со степенью один. Это равенство не случайно: всякий раз, когда Γ преобразует один рисунок в другой, оба будут иметь одинаковую последовательность степеней. Последовательность степеней - это один из известных инвариантов действия Галуа, но не единственный инвариант.
Стабилизатор из эскиза , является подгруппой группы Г , состоящей из элементов группы , которые оставляют DESSIN без изменений. Из-за соответствия Галуа между подгруппами Γ и полями алгебраических чисел стабилизатор соответствует полю - полю модулей рисунка . Орбита из эскиза , есть множество всех других детских рисунков , в которую он может быть трансформированными; из-за инварианта степени орбиты обязательно конечны, а стабилизаторы имеют конечный индекс . Аналогичным образом можно определить стабилизатор орбиты (подгруппу, фиксирующую все элементы орбиты) и соответствующее поле модулей орбиты, еще один инвариант рисунка. Стабилизатор орбиты - это максимальная нормальная подгруппа группы Γ, содержащаяся в стабилизаторе рисунка, а поле модулей орбиты соответствует наименьшему нормальному расширению Q , содержащему поле модулей рисунка. Например, для двух сопряженных рисунков, рассмотренных в этом разделе, поле модулей орбиты равно Q ( √ 21 ). Две функции Белого f 1 и f 2 этого примера определены над полем модулей, но существуют рисунки, для которых поле определения функции Белого должно быть больше, чем поле модулей. [11]
Заметки
- ^ Гамильтон (1856) . См. Также Jones (1995) .
- ^ le Bruyn (2008) .
- ↑ Гротендик (1984)
- ^ Этот пример был предложен Ландо и Звонкин (2004) , стр. 109–110.
- ↑ Ландо и Звонкин (2004) , стр. 120–121.
- ^ Girondo & Гонсалес-Diez (2012) с.252
- ^ a b Ландо и Звонкин (2004) , стр. 82.
- ^ Джонс, Г. и Стрейт, М. "Группы Галуа, группы монодромии и картографические группы",стр. 43 в Schneps & Lochak (2007) стр.25-66. Zbl 0898,14012
- ↑ Ландо и Звонкин (2004) , стр. 90–91. Для целей этого примера игнорируем паразитное решение a = 25/21 год.
- ^ Γ действует точно даже в том случае, если оно ограничено рисунками, которые являются деревьями; см. Ландо и Звонкин (2004) , теорема 2.4.15, стр. 125–126.
- ↑ Ландо и Звонкин (2004) , стр. 122–123.
Рекомендации
- Ле Брюн, Ливен (2008), детские рисунки Кляйна и бакибол.
- Bryant, Robin P .; Singerman, Дэвид (1985), "Основы теории отображений на поверхности с краем", Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 36 (141): 17-41, DOI : 10,1093 / qmath / 36.1.17 , MR 0780347.
- Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диез, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки , Тексты студентов Лондонского математического общества, 79 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253,30001.
- Гротендик, А. (1984), программа Esquisse d'un
- Гамильтон, WR (17 октября 1856 г.), Письмо Джону Т. Грейвсу «Об икосианской». Собран в Halberstam, H .; Ingram, RE, ред. (1967), Математические статьи, т. III, Алгебра , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 612–625..
- Джонс, Гарет (1995), « Детское творчество : двудольные карты и группы Галуа» , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B35d : 4, заархивировано из оригинала 8 апреля 2017 г. , извлечено 2 июня 2010 г..
- Джонс, Гарет; Singerman, Дэвид (1978), "Теория отображений на ориентируемых поверхностях" , Труды Лондонского математического общества , 37 (2): 273-307, DOI : 10.1112 / ПНИЛ / s3-37.2.273[ мертвая ссылка ] .
- Кляйн, Феликс (1878–79), «Uber die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (О преобразовании эллиптических функций и ...)» , Mathematische Annalen , 14 : 13–75 (in Oeuvres, Tome 3), doi : 10.1007 / BF02297507 , заархивировано из оригинала 19 июля 2011 г. , извлечено 2 июня 2010 г..
- Кляйн, Феликс (1878–79), «Uber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen (О преобразовании седьмого порядка эллиптических функций)» , Mathematische Annalen , 14 : 90–135 (in Oeuvres, Tome 3), doi : 10.1007 / BF01677143.
- Кляйн, Феликс (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (О преобразовании одиннадцатого порядка эллиптических функций)" , Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007 / BF02086276 , собранные как С. 140–165 в Oeuvres, Tome 3 .CS1 maint: postscript ( ссылка )
- Ландо, Сергей К .; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их приложения , Энциклопедия математических наук: низкоразмерная топология II, 141 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00203-1, Zbl 1040,05001. См. Особенно главу 2, «Dessins d'Enfants», стр. 79–153.
- Шнепс, Лейла , изд. (1994), The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants , London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN. 978-0-521-47821-2.
- Шнепс, Лейла ; Лочак, Пьер, ред. (1997), Геометрические действия Галуа II. Обратная задача Галуа, пространства модулей и группы классов отображений. Труды конференции по геометрии и арифметике пространств модулей, Люмини, Франция, август 1995 г. , Серия лекций Лондонского математического общества, 243 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-59641-6, Zbl 0868,00040.
- Шабат, ГБ; Воедводский В.А. (2007) [1990], «Рисование кривых над числовыми полями», в Cartier, P .; Illusie, L .; Кац, Нью-Мексико ; Лаумон, Г .; Манин, Ю.И. ; Рибет, KA (ред.), Том III Grothendieck Festschrift , Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, pp. 199–227, ISBN 978-0-8176-4568-7, Zbl 0790,14026.
- Зингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003), «Риманова поверхность однородного рисунка» , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (2): 413–430, MR 2017042 , Zbl 1064.14030.
- Заппони, Леонардо (август 2003 г.), «Что такое Dessin d'Enfant» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 50 (7): 788–789, Zbl 1211.14001.