Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
DC8.png

В математике , А циклический порядок является способом организовать набор объектов в круге . [nb] В отличие от большинства структур в теории порядка , циклический порядок не моделируется как бинарное отношение , такое как « a < b ». Нельзя сказать, что восток «больше по часовой стрелке», чем запад. Вместо этого циклический порядок определяется как тернарное отношение [ a , b , c ] , означающее «после a , каждый достигает b до c.«. Например, [июнь, октябрь, февраль]. Тернарное отношение называется циклическим порядком, если оно циклическое, асимметричное, транзитивное и полное . Отказ от« общего »требования приводит к частичному циклическому порядку .

Набор с циклическим порядком называется циклически упорядоченное множество или просто цикл . [NB] Некоторые знакомые циклы являются дискретными, имеющие только конечное число из элементов : семь дней в неделю , четыре стороны света , двенадцать нот в хроматической гамме , и три пьесы в рок-ножницы-бумага . В конечном цикле каждый элемент имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент». Существуют также непрерывно изменяемые циклы с бесконечным числом элементов, например ориентированная единичная окружность на плоскости.

Циклические порядки тесно связаны с более привычными линейными порядками , которые выстраивают объекты в линию . Любой линейный порядок можно согнуть в круг, а любой циклический порядок можно разрезать в точке, в результате чего получится линия. Эти операции, наряду с соответствующими конструкциями интервалов и покрывающих карт, означают, что вопросы о циклических порядках часто можно преобразовать в вопросы о линейных порядках. У циклов больше симметрий, чем у линейных порядков, и они часто встречаются естественным образом как вычеты линейных структур, как в конечных циклических группах или вещественной проективной прямой .

Конечные циклы [ править ]

5-элементный цикл

Циклический порядок на множестве X с n элементами подобен расположению X на циферблате для n- часовых часов. Каждый элемент x в X имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент», и выбор либо преемников, либо предшественников циклически проходит ровно один раз по элементам как x (1), x (2), ..., x ( n ) .

Есть несколько эквивалентных способов сформулировать это определение. Циклический порядок на X - это то же самое, что перестановка, которая превращает все X в один цикл . Цикл с п элементами является также Z п - торсор : набор со свободным переходным действием с помощью конечной циклической группы . [1] Другая формулировка состоит в том, чтобы превратить X в стандартный ориентированный граф циклов на n вершинах путем сопоставления элементов с вершинами.

Использование циклических порядков для симметричных функций может быть инстинктивным , например, как в

ху + yz + zx

где запись последнего монома как xz отвлечет от шаблона.

Интенсивное использование циклических порядков в определении классов сопряженных с свободных групп . Два элемента g и h свободной группы F на множестве Y сопряжены тогда и только тогда, когда они записываются как произведения элементов y и y −1 с y в Y , а затем эти произведения помещаются в циклическом порядке, циклические порядки эквивалентны правилам перезаписи, которые позволяют удалить или добавить соседние y и y −1 .

Циклический порядок на множестве X может быть определен линейным порядком на X , но не единственным способом. Выбор линейного порядка эквивалентен выбору первого элемента, поэтому существует ровно n линейных порядков, которые индуцируют данный циклический порядок. Поскольку есть n ! возможных линейных порядков существует ( n - 1)! возможные циклические заказы.

Определения [ править ]

Бесконечное множество можно заказать циклически. Важные примеры бесконечных циклов включают в себя единичную окружность , S 1 , и рациональные числа , Q . Основная идея та же: элементы набора расставляем по кругу. Однако в бесконечном случае мы не можем полагаться на отношение непосредственного преемника, потому что точки могут не иметь преемников. Например, для данной точки на единичной окружности нет «следующей точки». Мы также не можем полагаться на бинарное отношение, чтобы определить, какая из двух точек окажется «первой». Путешествуя по кругу по часовой стрелке, ни восток, ни запад не идут первыми, но они следуют друг за другом.

Вместо этого мы используем тернарное отношение, обозначающее, что элементы a , b , c появляются друг за другом (не обязательно сразу), когда мы движемся по кругу. Например, по часовой стрелке [восток, юг, запад]. По выделке аргументов тернарного отношения [ с , Ь , с ] , можно думать о циклическом порядке , как один-параметрического семейство порядковых отношений бинарных, называемые порезы , или как два параметра семейство подмножеств K , называется интервалы .

Тернарное отношение [ править ]

Общее определение таково: циклический порядок на множестве X - это отношение C ⊂ X 3 , записанное [ a , b , c ] , которое удовлетворяет следующим аксиомам: [nb]

  1. Цикличность: если [ a , b , c ], то [ b , c , a ]
  2. Асимметрия: если [ a , b , c ], то не [ c , b , a ]
  3. Транзитивность: если [ a , b , c ] и [ a , c , d ], то [ a , b , d ]
  4. Тотальность: Если a , b и c различны, то либо [ a , b , c ], либо [ c , b , a ]

Аксиомы названы по аналогии с аксиомами асимметрии , транзитивности и тотальности для бинарных отношений, которые вместе определяют строгий линейный порядок . Эдвард Хантингтон  ( 1916 , 1924 ) рассмотрел другие возможные списки аксиом, в том числе один список, который должен был подчеркнуть сходство между циклическим порядком и отношением промежуточности . Тернарное отношение, удовлетворяющее первым трем аксиомам, но не обязательно аксиоме тотальности, является частичным циклическим порядком .

Прокатка и порезы [ править ]

Для данного линейного порядка < на множестве X циклический порядок на X, индуцированный < , определяется следующим образом: [2]

[ a , b , c ] тогда и только тогда, когда a < b < c или b < c < a или c < a < b

Два линейных порядка порождают один и тот же циклический порядок, если они могут быть преобразованы друг в друга циклической перестановкой, как при разрезании колоды карт . [3] Можно определить отношение циклического порядка как тернарное отношение, которое индуцируется строгим линейным порядком, как указано выше. [4]

Вырезание одной точки из циклического порядка оставляет позади линейный порядок. Более точно, для данного циклически упорядоченного множества ( K , []) каждый элемент a ∈ K определяет естественный линейный порядок < a на остатке множества K ∖ a по следующему правилу: [5]

x < a y тогда и только тогда, когда [ a , x , y ] .

Более того, < a можно расширить, добавив a как наименьший элемент; полученный линейный порядок на K называется главным разрезом с наименьшим элементом a . Точно так же присоединение a как наибольшего элемента приводит к разрезанию < a . [6]

Интервалы [ править ]

Принимая во внимание два элемента ≠ B ∈ K , в открытом интервале от до б , написанной ( в , б ) , есть множество всех х ∈ K такие , что [ в , х , Ь ] . Система открытых интервалов полностью определяет циклический порядок и может использоваться как альтернативное определение отношения циклического порядка. [7]

Интервал ( a , b ) имеет естественный линейный порядок, задаваемый < a . Можно определить полузамкнутые и замкнутые интервалы [ a , b ) , ( a , b ] и [ a , b ] , добавив a как наименьший элемент и / или b как наибольший элемент . [8] Как частный случай открытый интервал ( a , a ) определяется как разрез K∖ а .

В более общем смысле , собственное подмножество S из K называется выпуклой , если она содержит интервал между каждой парой точек: для более ≠ б ∈ S , либо ( , б ) или ( б , в ) должен также быть в S . [9] Выпуклое множество линейно упорядочено разрезом < x для любого x, не входящего в набор; этот порядок не зависит от выбора x .

Автоморфизмы [ править ]

Поскольку круг имеет порядок по часовой стрелке и порядок против часовой стрелки, любой набор с циклическим порядком имеет два смысла . Биекция множества, сохраняющее порядок называется упорядоченной корреспонденцией . Если смысл сохраняется, как и раньше, это прямое соответствие , в противном случае это называется противоположным соответствием . [10] Кокстер использует отношение разделения для описания циклического порядка, и это отношение достаточно сильное, чтобы различать два смысла циклического порядка. В автоморфизмы из циклически упорядоченного множества могут быть идентифицированы с C 2, двухэлементная группа прямого и противоположного соответствий.

Монотонные функции [ править ]

Идея «циклический порядок = организация по кругу» работает, потому что любое подмножество цикла само по себе является циклом. Чтобы использовать эту идею для наложения циклических порядков на множествах, которые на самом деле не являются подмножествами единичной окружности на плоскости, необходимо рассматривать функции между множествами.

Функция между двумя циклически упорядоченными множествами, f  : X → Y , называется монотонной функцией или гомоморфизмом, если она изменяет порядок на Y : всякий раз, когда [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] , один имеет [ a , b , c ] . Эквивалентно, f является монотонным, если всякий раз, когда [ a , b , c ] и f (a ), f ( b ) и f ( c ) различны, тогда [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] . Типичным примером монотонной функции является следующая функция в цикле с 6 элементами:

f (0) = f (1) = 4,
f (2) = f (3) = 0,
е (4) = е (5) = 1.

Функция называется вложением, если она одновременно монотонна и инъективна . [nb] Эквивалентно, вложение - это функция, которая продвигает упорядочение на X : всякий раз, когда [ a , b , c ] , у одного есть [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] . В качестве важного примера, если X является подмножеством циклически упорядоченного множества Y , и X задан его естественный порядок, то карта включения i  :X → Y - вложение.

Как правило, инъективная функция f из неупорядоченного множества X в цикл Y индуцирует уникальный циклический порядок на X, который делает f вложением.

Функции на конечных множествах [ править ]

Циклический порядок на конечном множестве X может быть определен инъекцией в единичную окружность, X → S 1 . Есть много возможных функций, которые индуцируют один и тот же циклический порядок - на самом деле их бесконечно много. Чтобы количественно оценить эту избыточность, требуется более сложный комбинаторный объект, чем простое число. Изучение конфигурационного пространства всех таких отображений приводит к определению ( n - 1) -мерного многогранника, известного как циклоэдр . Циклоэдры были впервые применены для изучения инвариантов узлов ; [11] они были недавно применены для экспериментального обнаруженияпериодически экспрессируемые гены при изучении биологических часов . [12]

Категория гомоморфизмов стандартных конечных циклов называется циклической категорией ; он может быть использован для построения Конн ' циклических гомологий .

Можно определить степень функции между циклами, аналогично степени непрерывного отображения . Например, естественная карта от круга квинт до хроматического круга - это карта степени 7. Можно также определить число вращения .

Завершение [ править ]

  • Переход с наименьшим и наибольшим элементом называется прыжком . Например, каждый разрез конечного цикла Z n является скачком. Цикл без скачков называется плотным . [13] [14]
  • Прорезь, в которой нет ни наименьшего, ни наибольшего элементов, называется зазором . Например, рациональные числа Q имеют пробел на каждом иррациональном числе. У них тоже есть зазор на бесконечности, т.е. обычная упорядоченность. Цикл без пропусков называется завершенным . [15] [14]
  • Разрез с ровно одной конечной точкой называется основным или дедекиндовым разрезом. Например, каждый разрез окружности S 1 является главным разрезом. Цикл, в котором каждый разрез является главным, плотным и полным, называется непрерывным . [16] [14]
[< 1 , < 2 , < 3 ] и [ x , y , z ]

Множество всех разрезов циклически упорядочено следующим соотношением: [< 1 , < 2 , < 3 ] тогда и только тогда, когда существуют x , y , z такие, что: [17]

х < 1 у < 1 г ,
x < 1 y < 2 z < 2 x , и
х < 1 у < 1 г < 3 х < 3 у .

Определенное подмножество этого цикла сокращений - дедекиндовое завершение исходного цикла.

Дальнейшие конструкции [ править ]

Раскрутка и обложки [ править ]

Начиная с циклически упорядоченного множества K , можно сформировать линейный порядок, развернув его по бесконечной прямой. Это отражает интуитивное представление о том, сколько раз человек обходит круг. Формально, можно определить линейный порядок на декартовом произведении Z × K , где Z - множество целых чисел , фиксируя элемент a и требуя, чтобы это было для всех i : [18]

Если [ a , x , y ] , то a i < x i < y i < a i + 1 .

Например, январь 2021 года, май 2021 года, сентябрь 2021 года и январь 2022 года происходят в таком порядке.

Это упорядочение Z × K называется универсальное накрытие из K . [nb] Его порядковый тип не зависит от выбора a , но нотация не зависит, поскольку целочисленная координата "перекатывается" в a . Например, хотя циклический порядок классов высоты звука совместим с алфавитным порядком от A до G, C выбирается как первая нота в каждой октаве, поэтому в нотно-октавной нотации за B 3 следует C 4 .

Обратная конструкция начинается с линейно упорядоченного набора и сворачивает его в циклически упорядоченный набор. Для линейно упорядоченного множества L и сохраняющей порядок биекции T  : L → L с неограниченными орбитами пространство орбит L / T циклически упорядочено по требованию: [7] [nb]

Если a < b < c < T ( a ) , то [[ a ], [ b ], [ c ]] .

В частности, можно восстановить K путем определения Т ( х я ) = х я + 1 на Z × K .

Существуют также n -кратные покрытия для конечных n ; в этом случае один циклически упорядоченный набор покрывает другой циклически упорядоченный набор. Например, 24-часовые часы - это двойная крышка 12-часовых часов . В геометрии пучок из лучей , исходящих из точки в ориентированной плоскости представляет собой двойную крышку пучка неориентированных линий , проходящих через ту же точку. [19] Эти накрывающие карты можно охарактеризовать, подняв их до универсального покрытия. [7]

Продукты и отзывы [ править ]

Учитывая циклически упорядоченное множество ( K , []) и линейно упорядоченное множество ( L , <) , (общий) лексикографический продукт представляет собой циклический порядок на множестве произведений K × L , определяемый формулами [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )], если выполняется одно из следующих условий: [20]

  • [ а , б , в ]
  • a = b ≠ c и x < y
  • b = c ≠ a и y < z
  • c = a ≠ b и z < x
  • a = b = c и [ x , y , z ]

Лексикографическое произведение K × L глобально выглядит как K, а локально - как L ; его можно рассматривать как K копий L . Эта конструкция иногда используется для характеристики циклически упорядоченных групп. [21]

Можно также склеивать различные линейно упорядоченные наборы, чтобы сформировать круговой набор. Например, имея два линейно упорядоченных множества L 1 и L 2 , можно образовать круг, соединив их вместе на положительной и отрицательной бесконечности. Круговой порядок на непересекающемся объединении L 1 ∪ L 2 ∞ {–∞, ∞ } определяется как ∞ < L 1 <–∞ < L 2 <∞ , где индуцированный порядок на L 1 противоположен его исходному порядку. Например, набор всех долготупорядочивается по кругу путем объединения всех точек на запад и всех точек на восток вместе с нулевым меридианом и 180-м меридианом . Kuhlmann, Marshall & Osiak (2011) используют эту конструкцию при характеристике пространств порядков и реальных мест двойных формальных рядов Лорана над реальным замкнутым полем . [22]

Топология [ править ]

Открытые интервалы образуют основу естественной топологии , топологии циклического порядка . В открытых множествах в этой топологии являются именно теми наборами , которые открыты в каждом совместимом линейном порядке. [23] Чтобы проиллюстрировать разницу, в наборе [0, 1) подмножество [0, 1/2) является окрестностью 0 в линейном порядке, но не в циклическом порядке.

Интересные примеры циклически упорядоченных пространств включают конформную границу односвязной поверхности Лоренца [24] и листовое пространство приподнятого существенного слоения некоторых трехмерных многообразий. [25] Также изучались дискретные динамические системы на циклически упорядоченных пространствах. [26]

Интервальная топология забывает исходную ориентацию циклического порядка. Эту ориентацию можно восстановить, обогатив интервалы их индуцированными линейными порядками; тогда есть набор, покрытый атласом линейных порядков, которые совместимы там, где они перекрываются. Другими словами, циклически упорядоченное множество можно рассматривать как локально линейно упорядоченное пространство: объект, подобный многообразию , но с отношениями порядка вместо координатных диаграмм. Эта точка зрения упрощает определение таких понятий, как покрывающие карты. Обобщение на локально частично упорядоченное пространство изучается в Roll (1993) ; см. также Направленную топологию .

Связанные структуры [ править ]

Группы [ править ]

Основная статья: Циклически упорядоченная группа

Циклический упорядоченная группа представляет собой набор как с групповой структурой и циклическим порядком, таким образом, что левый и правое умножение и сохранением циклического порядка. Циклически упорядоченные группы были впервые подробно изучены Ладиславом Ригером в 1947 году. [27] Они являются обобщением циклических групп : бесконечной циклической группы Z и конечных циклических групп Z / n . Поскольку линейный порядок индуцирует циклический порядок, циклически упорядоченные группы также являются обобщением линейно упорядоченных групп : рациональные числа Q , действительные числа R, и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из предыдущих категорий: круговая группа T и ее подгруппы, такие как подгруппа рациональных точек .

Каждый циклически упорядоченная группа может быть выражена как фактор - L / Z , где L представляет собой линейно упорядоченная группа и Z представляет собой циклическую конфинально подгруппа L . Каждую циклически упорядоченную группу можно также выразить как подгруппу продукта T × L , где L - линейно упорядоченная группа. Если циклически упорядоченная группа архимедова или компактна, она может быть вложена в саму T. [28]

Модифицированные аксиомы [ править ]

Частичный циклический порядок является тройной связью , которая обобщает (всего) циклический порядок таким же образом , что частичный порядок обобщающего общий порядок . Он циклический, асимметричный и транзитивный, но не обязательно тотальный. Порядковое разнообразие - это частичный циклический порядок, который удовлетворяет дополнительной аксиоме расширения [ цитата ] . Замена аксиомы асимметрии дополнительной версией приводит к определению коциклического порядка . Соответственно, общие коциклические порядки связаны с циклическими порядками так же, как ≤ связано с < .

Циклический порядок подчиняется относительно сильной аксиоме четырехточечной транзитивности. Одной из структур, ослабляющих эту аксиому, является система CC : тройное отношение, которое является циклическим, асимметричным и полным, но обычно не транзитивным. Вместо этого система CC должна подчиняться 5-точечной аксиоме транзитивности и новой аксиоме внутренней внутренней , которая ограничивает 4-точечные конфигурации, нарушающие циклическую транзитивность. [29]

Циклический порядок должен быть симметричным относительно циклической перестановки [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] и асимметричным относительно поворота: [ a , b , c ] ⇒ ¬ [ c , b , a ] . Тернарное отношение, которое является асимметричным относительно циклической перестановки и симметричным относительно разворота, вместе с соответствующими версиями аксиом транзитивности и тотальности, называется отношением промежуточности . Отношение разделения являетсячетвертичное отношение, которое можно рассматривать как циклический порядок без ориентации. Отношения между круговым порядком и отношением разделения аналогичны отношениям между линейным порядком и отношением промежуточности. [30]

Симметрии и теория моделей [ править ]

Эванс, Макферсон и Иванов (1997) предоставляют теоретико-модельное описание покрывающих отображений циклов.

Тарарин ( 2001 , 2002 ) изучает группы автоморфизмов циклов с различными свойствами транзитивности . Giraudet & Holland (2002) характеризует циклы, полные группы автоморфизмов которых действуют свободно и транзитивно . Campero-Arena & Truss (2009) характеризует счетные цветные циклы, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно. Трасс (2009) изучает группу автоморфизмов единственного (с точностью до изоморфизма) счетного плотного цикла.

Кулпешов и Макферсон (2005) изучают условия минимальности для циклически упорядоченных структур , то есть моделей языков первого порядка, которые включают отношение циклического порядка. Эти условия являются аналогами o-минимальности и слабой o-минимальности для случая линейно упорядоченных структур. Кулпешов ( 2006 , 2009 ) продолжает некоторые характеристики ω-категориальных структур. [31]

Познание [ править ]

Ганс Фройденталь подчеркивал роль циклических порядков в когнитивном развитии в отличие от Жана Пиаже, который обращается только к линейным порядкам. Некоторые эксперименты были выполнены для исследования мысленных представлений циклически упорядоченных множеств, таких как месяцы года.

Примечания по использованию [ править ]

^ циклический порядок Отношение можно назватьциклическим порядком(Хантингтон, 1916, стр. 630),циклическим порядком(Хантингтон, 1916, стр. 630),циклическим порядком(Кок, 1973, стр. 6) илициклическим порядком(Мошер). 1996, с. 109). Некоторые авторы называют такой порядокполным циклическим порядком(Isli & Cohn 1998, p. 643),полным циклическим порядком(Novák 1982, p. 462),линейным циклическим порядком(Novák 1984, p. 323) илиl -циклический порядокили ℓ-циклический порядок( Чернак 2001 , стр. 32), чтобы отличить их от более широкого класса частичных циклических порядков , которые они называют просто циклическими порядками . Наконец, некоторые авторы могут понимать циклический порядок как неориентированное отношение четвертичного разделения ( Bowditch 1998 , p. 155).

^ цикл Множество с циклическим порядком можно назватьциклом(Новак, 1982, с. 462) иликругом(Жирауде и Холланд, 2002, с. 1). Вышеупомянутые варианты также появляются в форме прилагательного:циклически упорядоченное множество(cyklicky uspořádané množiny,Čech 1936, стр. 23),циклически упорядоченное множество,полное циклически упорядоченное множество,полное циклически упорядоченное множество,линейно циклически упорядоченное множество,l-циклически упорядоченное множество, ℓ-циклически упорядоченный набор. Все авторы согласны с тем, что цикл полностью упорядочен.

^ тернарное отношение Существует несколько различных символов, используемых для циклического отношения.Хантингтон (1916, стр. 630) использует конкатенацию: ABC .Чех (1936., Стр 23) и (Novák 1982., Стр 462) использование упорядоченных троек и символ членства набор:(, Ь , с ) ∈ C .Мегиддо (1976, с. 274) использует конкатенацию и принадлежность множеству: abc ∈ C , понимая abc как циклически упорядоченную тройку. Литература о группах, таких какwierczkowski (1959a, p. 162) иČernák & Jakubík (1987)., п. 157), как правило, используют квадратные скобки: [ a , b , c ] . Giraudet & Holland (2002 , стр. 1) используют круглые скобки: ( a , b , c ) , оставляя квадратные скобки для отношения промежуточности. Campero-Arena & Truss (2009 , стр. 1) используют обозначение функционального стиля: R ( a , b , c ) . Rieger (1947) , процитировано по Pecinová 2008 , p. 82) в качестве разделителя используется символ "меньше": < x , y ,z < . Некоторые авторы используют инфиксную нотацию: a < b < c , понимая, что это не несет обычного значения a < b и b < c для некоторого бинарного отношения <( Черни 1978 , стр. 262). Вайнштейн (1996 , стр. 81) подчеркивает циклический характер, повторяя элемент: p ↪ r ↪ q ↪ p .

^ вложение Новак (1984, стр. 332) называет вложение «изоморфным вложением».

^ roll В этом случаеGiraudet & Holland (2002, стр. 2) пишут, чтоK- этоL"свернутая".

^ пространство орбит ОтображениеТназываетсяархимедовойпоBowditch (2004, стр. 33),coterminalотCampero-Арены и Трасс (2009, стр. 582), ипереводпоMcMullen (2009, стр. 10).

^ универсального накрытия McMullen (2009, стр. 10) называет Z × K "универсальная крышкой" изK. Giraudet & Holland (2002, стр. 3) пишут, чтоK- это Z × K, "свернутое в спираль". Фройденталь & Бауэр (1974, стр. 10) вызова Z × K в "∞ раза покрытия" изK. Часто эта конструкция записываются как анти-лексикографический порядок на K × Z .

Ссылки [ править ]

Цитаты
  1. Перейти ↑ Brown 1987 , p. 52.
  2. ^ Хантингтон 1935 , стр. 6; Чех 1936 , стр. 25.
  3. ^ Calegari 2004 , стр. 439.
  4. ^ Courcelle 2003 .
  5. ^ Хантингтон 1935 , стр. 7; Чех 1936 , стр. 24.
  6. ^ Novák 1984 , стр. 323.
  7. ^ а б в МакМаллен 2009 , стр. 10.
  8. ^ Giraudet & Holland 2002 , стр. 2.
  9. ^ Кулпешов 2009 .
  10. Перейти ↑ Coxeter 1949 , p. 25.
  11. ^ Сташефа 1997 , стр. 58.
  12. ^ Мортон и др. 2007 .
  13. ^ Novák 1984 , стр. 325.
  14. ^ a b c Новак и Новотны 1987 , стр. 409–410.
  15. ^ Novák 1984 , стр. 325, 331.
  16. ^ Novák 1984 , стр. 333.
  17. ^ Novák 1984 , стр. 330.
  18. ↑ Roll 1993 , стр. 469; Freudenthal & Bauer 1974 , стр. 10
  19. Перейти ↑ Freudenthal 1973 , p. 475; Freudenthal & Bauer 1974 , стр. 10
  20. ^ Wierczkowski 1959a , p. 161.
  21. ^ Wierczkowski 1959a .
  22. ^ Кульман, Marshall & Osiak 2011 , стр. 8.
  23. ^ Виро и др. 2008 , стр. 44.
  24. Перейти ↑ Weinstein 1996 , pp. 80–81.
  25. ^ Calegari & Dunfield 2003 , стр. 12-13.
  26. ^ Басс и др. 1996 , стр. 19.
  27. ^ Pecinová-Козакова 2005 , стр. 194.
  28. ^ Wierczkowski 1959a , стр. 161–162.
  29. Перейти ↑ Knuth 1992 , p. 4.
  30. ^ Хантингтон 1935 .
  31. ^ Макферсон 2011 .
Библиография
  • Басс, Хайман ; Отеро-Эспинар, Мария Виктория; Рокмор, Дэниел; Трессер, Чарльз (1996), Cyclic renormallzatlon and automorphism groups of root tree , Lecture Notes in Mathematics, 1621 , Springer, doi : 10.1007 / BFb0096321 , ISBN 978-3-540-60595-9
  • Bowditch, Brian H. (сентябрь 1998), "Вырезать точки и канонические расщепления гиперболических групп" (PDF) , Acta Mathematica , 180 (2): 145-186, DOI : 10.1007 / BF02392898 , S2CID  121148668 , архивируется от оригинала ( PDF) 22 марта 2012 г. , дата обращения 25 апреля 2011 г.
  • Боудич, Брайан Х. (ноябрь 2004 г.), «Планарные группы и гипотеза Зайферта» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2004 (576): 11–62, doi : 10.1515 / crll.2004.084 , получено 31 мая 2011 г.
  • Браун, Кеннет С. (февраль 1987), "Конечность свойства групп" (PDF) , Журнал теоретической и прикладной алгебры , 44 (1-3): 45-75, DOI : 10.1016 / 0022-4049 (87) 90015- 6 , проверено 21 мая 2011 г.
  • Калегари, Дэнни (13 декабря 2004 г.), «Круглые группы, плоские группы и класс Эйлера» (PDF) , Монографии по геометрии и топологии , 7 : 431–491, arXiv : math / 0403311 , CiteSeerX  10.1.1.235.122 , doi : 10.2140 / gtm.2004.7.431 , S2CID  14154261 , получено 30 апреля 2011 г.
  • Калегари, Дэнни; Данфилд, Натан М. (апрель 2003 г.), «Расслоения и группы гомеоморфизмов круга», Inventiones Mathematicae , 152 (1): 149–204, arXiv : math / 0203192 , Bibcode : 2003InMat.152..149D , doi : 10.1007 / s00222-002-0271-6 , S2CID  15149654
  • Камперо-Арена, G .; Трасс, Джон К. (апрель 2009), "1-транзитивная циклическая упорядоченность" (PDF) , Журнал комбинаторной теории, серия А , 116 (3): 581-594, DOI : 10.1016 / j.jcta.2008.08.006 , получено 25 апреля 2011 г.
  • Чех, Эдуард (1936), Bodové množiny (на чешском языке), Прага: Jednota Československých matematiků a fysiků, hdl : 10338.dmlcz / 400435 , дата обращения 9 мая 2011 г.
  • Чернак, Штефан (2001), "Канторовское расширение полу линейно циклически упорядоченной группы" , Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications , 21 (1): 31–46, doi : 10.7151 / dmgaa.1025 , получено 22 мая 2011 г.
  • Чернак, Штефан; Jakubik, Ян (1987), "Завершение циклически упорядоченной группы" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 37 (1): 157-174, DOI : 10,21136 / CMJ.1987.102144 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102144 , МР  0875137 , Zbl  0624.06021 , архивировано из оригинала (PDF) 15 августа 2011 г. , извлечено 25 апреля 2011 г.
  • Černy, Ilja (1978), "Разрезы в простых областях и циклическое упорядочение системы всех граничных элементов" (PDF) , Časopis Pro Pěstování Matematiky , 103 (3): 259-281, DOI : 10,21136 / CPM.1978.117983 , hdl : 10338.dmlcz / 117983 , получено 11 мая 2011 г.
  • Курсель, Бруно (21 августа 2003 г.), «2.3 Циркулярный приказ» (PDF) , в Бервангере, Дитмар; Грэдель, Эрих (ред.), Проблемы теории конечных моделей , стр. 12, заархивировано из оригинала (PDF) 27 мая 2011 г. , извлечено 15 мая 2011 г.
  • Кокстер, HSM (1949), «Глава 3: Порядок и непрерывность», Реальная проективная плоскость
  • Эванс, Дэвид М .; Макферсон, Дугальд; Иванов, Александр А. (1997), "Finite Covers" , в Evans, David M. (ed.), Модельная теория групп и групп автоморфизмов: Blaubeuren, август 1995 , Серия лекций Лондонского математического общества, 244 , Cambridge University Press , стр. 1–72, ISBN 978-0-521-58955-0, дата обращения 5 мая 2011
  • Фройденталь, Ганс (1973), Математика как учебная задача , Д. Рейдель, ISBN 978-90-277-0235-7
  • Фройденталь, Ганс; Бауэр, А. (1974), «Геометрия - феноменологическая дискуссия» , в Бенке, Генрих; Гулд, Ш. (ред.), Основы математики , 2 , MIT Press, стр.  3–28 , ISBN 978-0-262-02069-5
  • Фройденталь, Ганс (1983), Дидактическая феноменология математических структур , Д. Рейдель, ISBN 978-90-277-1535-7
  • Жирауде, Мишель; Голландия, W. Чарльз (сентябрь 2002), "Ohkuma структуры" (PDF) , Order , 19 (3): 223-237, DOI : 10,1023 / A: 1021249901409 , S2CID  40537336 , получен 28 апреля 2011[ постоянная мертвая ссылка ]
  • Хантингтон, Эдвард В. (1 ноября 1916 г.), «Набор независимых постулатов для циклического порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 2 (11): 630–631, Bibcode : 1916PNAS .. ..2..630H , DOI : 10.1073 / pnas.2.11.630 , PMC  1091120 , PMID  16576195
  • Хантингтон, Эдвард В. (15 февраля 1924 г.), «Наборы полностью независимых постулатов для циклического порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 10 (2): 74–78, Bibcode : 1924PNAS .. +0,10 ... 74H , DOI : 10.1073 / pnas.10.2.74 , PMC  1085517 , PMID  16576785
  • Хантингтон, Эдвард В. (июль 1935 г.), «Взаимосвязь четырех основных типов порядка» (PDF) , « Труды Американского математического общества» , 38 (1): 1–9, DOI : 10.1090 / S0002-9947- 1935-1501800-1 , получено 8 мая 2011 г.
  • Исли, Амар; Кон, Энтони Г. (1998), "Алгебра для циклического упорядочения двумерных ориентаций" (PDF) , AAAI '98 / IAAI '98 Труды пятнадцатой национальной / десятой конференции по искусственному интеллекту / инновационным приложениям искусственного интеллекта , ISBN 978-0-262-51098-1, дата обращения 23 мая 2011.
  • Knuth, Donald E. (1992), Axioms and Hulls , Lecture Notes in Computer Science, 606 , Heidelberg: Springer-Verlag, pp. Ix + 109, doi : 10.1007 / 3-540-55611-7 , ISBN 978-3-540-55611-4, S2CID  5452191 , получено 5 мая 2011 г.
  • Кок, Х. (1973), Связанные упорядочиваемые пространства , Амстердам: Mathematisch Centrum , ISBN 978-90-6196-088-1
  • Кульман, Сальма; Маршалл, Мюррей; Osiak, Катажина (1 июнь 2011), "Циклическая 2-структура и пространство порядков полей степенных рядов от двух переменных" (PDF) , журнал алгебры , 335 (1): 36-48, DOI : 10.1016 / j.jalgebra .2011.02.026 , архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 г. , извлечено 11 мая 2011 г.
  • Кулпешов, Бейбут Ш. (Декабрь 2006), "О ℵ 0 -категоричных слабо циркулярно минимальных структур", Математическая логика Quarterly , 52 (6): 555-574, DOI : 10.1002 / malq.200610014
  • Кулпешов, Бейбут Ш. (Март 2009), "Определяемые функции в ℵ 0 -категоричных слабо циклически минимальных структур", Сибирский математический журнал , 50 (2): 282-301, DOI : 10.1007 / s11202-009-0034-3 , S2CID  123179896
    • Перевод Кульпешова (2009), «Определенные функции в ℵ 0 -категоричных слабо циклически минимальных структур» , Сибирский математический журнал , 50 (2): 356–379 , дата обращения 24 мая 2011 г.
  • Кулпешов, Бейбут Ш .; Макферсона, Х. Дугалд (июль 2005 г.), "условие минимальности по кругу упорядоченных структур", Математическая логика Ежеквартально , 51 (4): 377-399, DOI : 10.1002 / malq.200410040 , МР  2150368
  • Макферсон, Х. Дугальд (2011), «Обзор однородных структур» (PDF) , Дискретная математика , 311 (15): 1599–1634, DOI : 10.1016 / j.disc.2011.01.024 , получено 28 апреля 2011 г.
  • Макмалльно, Кертис Т. (2009), "ленты R-дерева и -голоморфная динамика на единичном круге" (PDF) , Журнал топологии , 2 (1): 23-76, CiteSeerX  10.1.1.139.8850 , DOI : 10,1112 / jtopol / jtn032 , получено 15 мая 2011 г.
  • Мегиддо, Нимрод (март 1976 г.), «Частичные и полные циклические порядки» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 82 (2): 274–276, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1976-14020-7 , извлечено 30 апреля 2011 г.
  • Мортон, Джеймс; Пахтер, Лиор ; Шиу, Энн; Штурмфельс, Бернд (январь 2007 г.), «Циклоэдрический тест для поиска периодических генов в исследованиях экспрессии хода времени», Статистические приложения в генетике и молекулярной биологии , 6 (1): статья 21, arXiv : q-bio / 0702049 , doi : 10.2202 /1544-6115.1286 , PMID  17764440 , S2CID  17402424
  • Мошер, Ли (1996), «Руководство пользователя по группе классов сопоставления: поверхности с одним проколом», в Баумслаге, Гилберте (ред.), Геометрические и вычислительные перспективы бесконечных групп , DIMACS, 25 , AMS Bookstore, стр. 101 –174, arXiv : math / 9409209 , Bibcode : 1994math ...... 9209M , ISBN 978-0-8218-0449-0
  • Новак, Витезслав (1982), «Циклически упорядоченные множества» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 32 (3): 460–473, doi : 10.21136 / CMJ.1982.101821 , hdl : 10338.dmlcz / 101821 , получено 30 апреля 2011 г.
  • Новак, Витезслав (1984), «Вырезы в циклически упорядоченных наборах» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 34 (2): 322–333, doi : 10.21136 / CMJ.1984.101955 , hdl : 10338.dmlcz / 101955 , получено 30 апреля 2011 г.
  • Новак, Витезслав; Новотны, Мирослав (1987), "О завершении циклически упорядоченных множеств" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 37 (3): 407-414, DOI : 10,21136 / CMJ.1987.102168 , ЛВП : 10338.dmlcz / 102168 , в архиве с оригинал (PDF) от 15 августа 2011 г. , дата обращения 25 апреля 2011 г.
  • Печинова-Козакова, Элишка (2005), «Ладислав Сванте Ригер и его алгебраическая работа», в Сафранкова, Яна (ред.), WDS 2005 - Материалы предоставленных статей, Часть I , Прага: Matfyzpress , стр. 190–197, CiteSeerX  10.1.1.90.2398 , ISBN 978-80-86732-59-6
  • Пецинова, Элишка (2008), Ладислав Сванте Ригер (1916–1963) , Dějiny matematiky (на чешском языке), 36 , Прага: Matfyzpress, hdl : 10338.dmlcz / 400757 , ISBN 978-80-7378-047-0, дата обращения 9 мая 2011
  • Ригер, LS (1947), «О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (О упорядоченных и циклически упорядоченных группах II)», Věstník Královské české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná ) (на чешском языке) (1): 1–33
  • Ролл, Дж. Блэр (1993), «Локально частично упорядоченные группы» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 43 (3): 467–481, doi : 10.21136 / CMJ.1993.128411 , hdl : 10338.dmlcz / 128411 , получено 30 Апрель 2011 г.
  • Сташев, Джим (1997), «От опер к« физически »вдохновленным теориям» , в Лоде, Жан-Луи; Сташеф, Джеймс Д .; Воронов, Александр А. (ред.), Операды: Материалы конференций по возрождению , Современная математика, 202 , Книжный магазин AMS, стр. 53–82, ISBN 978-0-8218-0513-8, заархивировано из оригинала 23 мая 1997 г. , извлечено 1 мая 2011 г.
  • Świerczkowski, S. (1959а), "О циклически упорядоченных групп" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 161-166, DOI : 10,4064 / фм-47-2-161-166 , получен 2 мая 2 011
  • Тарарин, Валерий Михайлович (2001), "О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств", Сибирский математический журнал , 42 (1): 190-204, DOI : 10,1023 / A: 1004866131580 , S2CID  117396034
    • Перевод Тамарина (2001),О группы автоморфизмов циклически упорядоченных множеств, Сибирский математический журнал , 42 (1): 212–230 , дата обращения 30 апреля 2011.
  • Тарарин, Валерий Михайлович (2002), "На C-3-транзитивные группы автоморфизмов циклически упорядоченных множеств", Математические заметки , 71 (1): 110-117, DOI : 10.1023 / A: 1013934509265 , S2CID  126544835
    • Перевод Тамарина (2002), «О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств», Математические заметки , 71 (1): 122–129, doi : 10.4213 / mzm333
  • Трасс, Джон К. (2009), "О группе автоморфизмов счетного плотного кругового порядка" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 204 (2): 97-111, DOI : 10,4064 / fm204-2-1 , получен 25 апреля 2011 г.
  • Виро, Олег ; Иванов, Олег; Нецветаев Никита; Харламов, Вячеслав (2008), «8. Циклические порядки» (PDF) , Элементарная топология: учебник по проблемам (1-е английское изд.), AMS Bookstore , стр. 42–44, ISBN 978-0-8218-4506-6, дата обращения 25 апреля 2011.
  • Вайнштейн, Тилла (июль 1996 г.), Введение в поверхности Лоренца , De Gruyter Expositions in Mathematics, 22 , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-014333-1

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугальд; Möller, Rögnvaldur G .; Нейман, Питер М. (1998), Записки о Бесконечный группах подстановок , Lecture Notes в области математики, 1698 ., Springer, С. 108-109, DOI : 10.1007 / BFb0092550 , ISBN 978-3-540-64965-6
  • Бодирский, Мануэль; Пинскер, Майкл (2011), "Редукты структур Рамсея" , Теоретико-модельные методы в конечной комбинаторике , Современная математика, 558 , AMS, с. 489ff, arXiv : 1105.6073 , Bibcode : 2011arXiv1105.6073B , ISBN 978-0-8218-4943-9
  • Кэмерон, Питер Дж (июнь 1976), "транзитивности групп перестановок на неупорядоченных множеств", Mathematische Zeitschrift , 148 (2): 127-139, DOI : 10.1007 / BF01214702 , S2CID  120757129
  • Кэмерон, Питер Дж (июнь 1977), "Когомологические аспекты двух графов", Mathematische Zeitschrift , 157 (2): 101-119, DOI : 10.1007 / BF01215145 , S2CID  120726731
  • Кэмерон, Питер Дж. (1997), «Алгебра возраста», в Эвансе, Дэвиде М. (ред.), Модельная теория групп и групп автоморфизмов: Blaubeuren, август 1995 , Серия лекций Лондонского математического общества, 244 , Cambridge University Press, стр. 126–133, CiteSeerX  10.1.1.39.2321 , ISBN 978-0-521-58955-0
  • Курсель, Бруно; Engelfriet, Joost (апрель 2011 г.), Структура графа и монадическая логика второго порядка, теоретический подход к языку (PDF) , Cambridge University Press , дата обращения 17 мая 2011 г.
  • Droste, M .; Giraudet, M .; Макферсон, D. (март 1995), "Периодический Заказанные группы подстановок и циклическое Упорядочения", Журнал комбинаторной теории, серии B , 63 (2): 310-321, DOI : 10,1006 / jctb.1995.1022
  • Droste, M .; Giraudet, M .; Макферсон, D. (март 1997), "Set-Однородные Графы и вложения Всего заказов", заказ , 14 (1): 9-20, CiteSeerX  10.1.1.22.9135 , DOI : 10,1023 / A: 1005880810385 , S2CID  16990257
  • Эванс, Дэвид М. (17 ноября 1997 г.), «Конечные покрытия с конечными ядрами», Annals of Pure and Applied Logic , 88 (2–3): 109–147, CiteSeerX  10.1.1.57.5323 , doi : 10.1016 / S0168- 0072 (97) 00018-3
  • Иванов, А.А. (январь 1999 г.), "Конечные покрытия, когомологии и однородные структуры", Труды Лондонского математического общества , 78 (1): 1–28, doi : 10.1112 / S002461159900163X
  • Jakubik, Яну (2006), "О монотонных подстановок ℓ-циклически упорядоченных множеств" (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 45 (2): 403-415, DOI : 10.1007 / s10587-006-0026-4 , ЛВП : 10338 .dmlcz / 128075 , S2CID  51756248 , получено 30 апреля 2011 г.
  • Кеннеди, Кристин Коуэн (август 1955 г.), О циклических тернарных отношениях ... (магистерская диссертация) , Тулейнский университет, OCLC  16508645
  • Конье, Eszter Herendine (2006), "Математическое и дидактический анализ понятия ориентации" (PDF) , Обучение Математика и информатика , 4 (1): 111-130, DOI : 10,5485 / TMCS.2006.0108 , архивируются с оригинал (PDF) от 26 июля 2011 г. , дата обращения 17 мая 2011 г.
  • Конья, Эстер Херендин (2008), «Геометрические преобразования и концепция циклического упорядочения» (PDF) , в Maj, Boena; Пытлак, Марта; Свобода, Ева (ред.), Поддержка независимого мышления посредством математического образования , Издательство Жешувского университета, стр. 102–108, ISBN 978-83-7338-420-0, дата обращения 17 мая 2011
  • Лелуп, Жерар (февраль 2011 г.), «Экзистенциально эквивалентные циклические ультраметрические пространства и циклически значимые группы» (PDF) , Logic Journal of IGPL , 19 (1): 144–173, CiteSeerX  10.1.1.152.7462 , doi : 10.1093 / jigpal / jzq024 , получено 30 апреля 2011 г.
  • Маронджиу, Габриэле (1985), "Некоторые замечания о ℵ 0 -категории круговых порядков", Unione Matematica Italiana. Боллеттино. B. Серия VI (на итальянском языке), 4 (3): 883–900, MR  0831297.
  • Макклири, Стивен; Рубин, Мататьяху (6 октября 2005 г.), Локально движущиеся группы и проблема реконструкции для цепей и кругов , arXiv : math / 0510122 , Bibcode : 2005math ..... 10122M
  • Мюллер, Г. (1974), "Lineare und zyklische Ordnung", Praxis der Mathematik , 16 : 261–269, MR  0429660
  • Рубин, М. (1996), "Локально движущиеся группы и проблемы восстановления", в Голландии, У. Чарльз (ред.), Упорядоченные группы и бесконечные группы перестановок , Математика и ее приложения, 354 , Kluwer, стр. 121–157, ISBN 978-0-7923-3853-6
  • Wierczkowski, S. (1956), "О циклических отношениях упорядочения", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Classe III , 4 : 585–586
  • Сверчковский, С. (1959b), «О циклически упорядоченных интервалах целых чисел» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 167–172, doi : 10.4064 / fm-47-2-167-172 , получено 2 мая 2011 г.
  • Трасс, JK (июль 1992), "Обобщенные автоморфизмы однородных структур", Труды Лондонского математического общества , 3, 65 (1): 121-141, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-65.1.121

Внешние ссылки [ править ]

  • циклический порядок в nLab
  • СМИ, связанные с циклическим порядком (математика) на Викискладе?