Икозианское исчисление

Икосианы является некоммутативной алгебраической структурой обнаружен ирландским математиком Уильяма Роуэн Гамильтоном в 1856. ^{[1] [2]} В современных условиях, он дал группу представление о икосаэдре группы вращений по генераторам и отношениям.

Открытие Гамильтона произошло из его попыток найти алгебру «троек» или трех кортежей, которые, по его мнению, отражали бы три декартовых оси . Символы икозианского исчисления можно приравнять к движениям между вершинами на додекаэдре . Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к появлению терминов гамильтонова схема и гамильтонов путь в теории графов. ^[3] Он также изобрел икозианскую игру как средство иллюстрации и популяризации своего открытия.

Неофициальное определение [ править ]

Стереографическая проекция додекаэдра, используемая в икозианской игре Гамильтона

Алгебра основана на трех символах, каждый из которых является корнем из единицы , в том смысле , что повторное применение любого из них дает значение 1 после определенного количества шагов. Они есть:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ iota ^ {2} & = 1, \\\ kappa ^ {3} & = 1, \\\ lambda ^ {5} & = 1. \ end {align}}}$

Гамильтон также приводит еще одно соотношение между символами:

${\ Displaystyle \ лямбда = \ йота \ каппа.}$

(Говоря современным языком, это группа треугольников (2,3,5) .)

Операция ассоциативна, но не коммутативна . Они порождают группу порядка 60, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра и, следовательно, переменной группе пятой степени.

Хотя алгебра существует как чисто абстрактная конструкция, ее легче всего визуализировать в терминах операций на ребрах и вершинах додекаэдра. Сам Гамильтон использовал уплощенный додекаэдр в качестве основы для своей обучающей игры.

Представьте себе насекомое, ползающее по определенному краю помеченного додекаэдра Гамильтона в определенном направлении, скажем, от до . Мы можем обозначить это направленное ребро как .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle BC}$

Геометрическая иллюстрация операции йота в икозианском исчислении

• Икозианский символ означает изменение направления на любом краю, поэтому насекомое ползет от к (следуя направленному краю ).${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle CB}$
• Икозианский символ означает вращение текущего пути насекомого против часовой стрелки вокруг конечной точки. В нашем примере это будет означать изменение начального направления, чтобы стать .${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle BC}$${\displaystyle DC}$
• Икозианский символ означает поворот направо в конечной точке, переход от к .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CD}$

Наследие [ править ]

Икозианское исчисление - один из самых ранних примеров многих математических идей, в том числе:

• представление и изучение группы по образующим и отношениям ;
• треугольник группа , а затем обобщен на кокстеровские группы ;
• визуализация группы графом, что привело к комбинаторной теории групп, а затем и геометрической теории групп ;
• Гамильтоновы схемы и гамильтоновы пути в теории графов; ^[3]
• dessin d'enfant ^{[4] [5]} - подробности см. в dessin d'enfant: history .

См. Также [ править ]

• Икозианский

Ссылки [ править ]