В трехмерной топологии , являющейся частью математической области геометрической топологии , инвариант Кассона представляет собой целочисленный инвариант ориентированных целочисленных гомологических 3-сфер , введенный Эндрю Кассоном .
Кевин Уокер (1992) нашел расширение для рациональных гомологических 3-сфер , названное инвариантом Кассона – Уокера , а Кристин Лескоп (1995) распространила инвариант на все замкнутые ориентированные 3-многообразия .
Определение
Инвариант Кассона - это сюръективное отображение λ ориентированных целочисленных гомологий 3-сфер на Z, удовлетворяющее следующим свойствам:
- λ ( S 3 ) = 0.
- Пусть Σ - целая гомологическая 3-сфера. Тогда для любого узла K и любого целого n разность
- не зависит от n . Здесь обозначает Дена на Е по К .
- Для любого граничного зацепления K ∪ L в Σ следующее выражение равно нулю:
Инвариант Кассона уникален (относительно вышеуказанных свойств) с точностью до полной мультипликативной константы.
Характеристики
- Если K - трилистник, то
- .
- Инвариант Кассона равен 1 (или −1) для гомологической сферы Пуанкаре .
- Инвариант Кассона меняет знак, если ориентация M меняется на противоположную.
- Рохлин инвариант из M равен Кассон инвариантной модулю 2.
- Инвариант Кассона аддитивен относительно связного суммирования гомологических 3-сфер.
- Инвариант Кассона - это своего рода эйлерова характеристика для гомологий Флоера .
- Для любого целого n
- где коэффициент при в полиноме Александра – КонвеяИ конгруэнтно ( по модулю 2) к Арф инварианта из K .
- Инвариант Кассона - это часть степени 1 инварианта Ле – Мураками – Оцуки .
- Инвариант Кассона для многообразия Зейферта дается формулой:
- где
Инвариант Кассона как подсчет представлений
Неформально говоря, инвариант Кассона насчитывает половину числа классов сопряженности представлений фундаментальной группы гомологической 3-сферы M в группу SU (2) . Это можно уточнить следующим образом.
Пространство представления компактного ориентированного трехмерного многообразия M определяется как где обозначает пространство неприводимых SU (2) представлений . Для расщепления Хегора из , инвариант Кассона равен умноженное на алгебраическое пересечение с участием .
Обобщения
Рациональная гомология 3-сфер
Кевин Уокер нашел расширение инварианта Кассона на 3-сферы рациональных гомологий . Инвариант Кассона-Уолкера - это сюръективное отображение λ CW ориентированных рациональных гомологических 3-сфер в Q, удовлетворяющее следующим свойствам:
1. λ ( S 3 ) = 0.
2. Для любой 1-компонентной хирургии Дена представление ( K , μ) ориентированной рациональной гомологической сферы M ′ в ориентированной рациональной гомологической сфере M :
где:
- m - ориентированный меридиан узла K, а μ - характеристическая кривая перестройки.
- ν - образующее ядро естественного отображения H 1 (∂ N ( K ), Z ) → H 1 ( M - K , Z ).
- форма пересечения в трубчатой окрестности узла N ( K ).
- Δ - полином Александера, нормированный так, чтобы действие t соответствовало действию генераторав бесконечной циклической крышкой из M - K , и симметрична и принимает значение 1 на 1.
- где x , y - образующие H 1 (∂ N ( K ), Z ) такие, что , v = δ y для целого числа δ и s ( p , q ) - сумма Дедекинда .
Обратите внимание, что для целочисленных сфер гомологии нормализация Уокера вдвое больше, чем у Кассона: .
Компактные ориентированные 3-многообразия
Кристин Лескоп определила расширение λ CWL инварианта Кэссона-Уокера на ориентированные компактные трехмерные многообразия . Он уникально характеризуется следующими свойствами:
- Если первое число Бетти из М равна нулю,
- .
- Если первое число Бетти в M равно единице,
- где Δ - полином Александера, нормированный на симметрию и принимающий положительное значение в 1.
- Если первое число Бетти в M равно двум,
- где γ - ориентированная кривая, заданная пересечением двух образующих из а также - параллельная кривая γ, индуцированная тривиализацией трубчатой окрестности кривой γ, определяемой .
- Если первое число Бетти в M равно трем, то для a , b , c основа для, тогда
- .
- Если первое число Бетти в M больше трех,.
Инвариант Кассона – Уокера – Лескопа обладает следующими свойствами:
- Если ориентация M , то если первое число Бетти M нечетное, инвариант Кассона – Уокера – Лескопа не меняется, в противном случае он меняет знак.
- Для соединительных сумм коллекторов
СОЛНЦЕ)
В 1990 г. С. Таубса показал , что SU (2) Кассон инвариант 3-гомологии сферы M имеет манометрическое теоретико интерпретации как Эйлер характеристику из, где - пространство SU (2) связностей на M и- группа калибровочных преобразований. Он рассматривал инвариант Черна – Саймонса как-значная функция Морса наи использовал инвариантность относительно возмущений, чтобы определить инвариант, который он приравнял к SU (2) инварианту Кассона. ( Таубес (1990) )
Х. Боден и К. Херальд (1998) использовали аналогичный подход для определения SU (3) инварианта Кассона для целочисленных гомологических 3-сфер.
Рекомендации
- Селман Акбулут и Джон Маккарти, инвариант Кассона для ориентированных гомологических 3-сфер - изложение. Mathematical Notes, 36. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1990. ISBN 0-691-08563-3.
- Майкл Атья , Новые инварианты трехмерных и четырехмерных многообразий. Математическое наследие Германа Вейля (Дарем, Северная Каролина, 1987), 285–299, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, 48, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1988.
- Ганс Боден и Кристофер Геральд, Инвариант SU (3) Кассона для целочисленных гомологий 3-сфер. Журнал дифференциальной геометрии 50 (1998), 147–206.
- Кристин Лескоп, Глобальная хирургическая формула для инварианта Кассона-Уокера. 1995, ISBN 0-691-02132-5
- Николай Савельев, Лекции по топологии трехмерных многообразий: Введение в инвариант Кассона. де Грюйтер, Берлин, 1999. ISBN 3-11-016271-7ISBN 3-11-016272-5
- Таубс, Клиффорд Генри (1990), "Инвариант Кассона и калибровочная теория", Journal of Differential Geometry , 31 : 547–599 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Кевин Уокер, Расширение инварианта Кассона. Annals of Mathematics Studies, 126. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992. ISBN 0-691-08766-0ISBN 0-691-02532-0