В математике , Floer гомология является инструментом для изучения симплектической геометрии и низкоразмерных топологий . Гомологии Флоера - это новый инвариант, который возникает как бесконечномерный аналог конечномерных гомологий Морса . Андреас Флоер представил первую версию гомологий Флоера, теперь называемую лагранжевыми гомологиями Флоера, в своем доказательстве гипотезы Арнольда в симплектической геометрии. Флоер также разработал близкую теорию лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия.. Третья конструкция, также разработанная Флоером, связывает группы гомологий с замкнутыми трехмерными многообразиями с помощью функционала Янга – Миллса . Эти конструкции и их потомки играют фундаментальную роль в современных исследованиях топологии симплектических и контактных многообразий, а также (гладких) трехмерных и четырехмерных многообразий.
Гомологии Флора обычно определяются путем сопоставления интересующему объекту бесконечномерного многообразия и действительной на нем функции. В симплектическому версии, это свободное пространство петель из симплектического многообразия с симплектическим функционалом действием. Для ( инстантонной ) версии для трехмерных многообразий это пространство SU (2) -связностей на трехмерном многообразии с функционалом Черна – Саймонса . Грубо говоря, гомологии Флоера - это гомологии Морса функции на бесконечномерном многообразии. Цепной комплекс Флоера образуется из абелевой группы, натянутой на критические точки функции (или, возможно, некоторые наборы критических точек). Дифференциал цепного комплекса определяются путем подсчета функции в градиентной линии потока , соединяющую некоторые пары критических точек (или их коллекций). Гомологии Флоера - это гомологии этого цепного комплекса.
Уравнение градиентной линии потока в ситуации, когда идеи Флоера могут быть успешно применены, обычно является геометрически значимым и аналитически поддающимся анализу уравнением. Для симплектических гомологий Флоера уравнение градиентного потока для пути в пространстве петель является (возмущенной версией) уравнением Коши – Римана для отображения цилиндра (полного пространства пути петель) на интересующее симплектическое многообразие; решения известны как псевдоголоморфные кривые . Теорема Громова Компактность затем используются , чтобы показать , что дифференциал хорошо определенно и квадратов к нулю, так что гомологии Флоера определены. Для инстантонных гомологий Флоера уравнения градиентного потока - это в точности уравнение Янга-Миллса на трехмерном многообразии, пересеченном с действительной прямой.
Симплектические гомологии Флора
Симплектические гомологии Флоера (SFH) - это теория гомологий, ассоциированная с симплектическим многообразием и его невырожденным симплектоморфизмом . Если симплектоморфизм гамильтонов , гомологии возникают в результате изучения функционала симплектического действия на ( универсальном покрытии ) пространства свободных петель симплектического многообразия. SFH инвариантен относительно гамильтоновой изотопии симплектоморфизма.
Здесь невырожденность означает, что 1 не является собственным значением производной симплектоморфизма ни в одной из его неподвижных точек. Это условие означает, что неподвижные точки изолированы. SFH - это гомологии цепного комплекса, порожденного неподвижными точками такого симплектоморфизма, где дифференциал считает некоторые псевдоголоморфные кривые в произведении вещественной прямой и отображающего тора симплектоморфизма. Само это симплектическое многообразие размерности два больше, чем исходное многообразие. При соответствующем выборе почти комплексной структуры проколотые голоморфные кривые (конечной энергии) в ней имеют цилиндрические концы, асимптотические петлям в торе отображения, соответствующие неподвижным точкам симплектоморфизма. Относительный индекс может быть определен между парами неподвижных точек, а дифференциал подсчитывает количество голоморфных цилиндров с относительным индексом 1.
Симплектические гомологии Флоера гамильтонова симплектоморфизма компактного многообразия изоморфны сингулярным гомологиям основного многообразия. Таким образом, сумма чисел Бетти этого многообразия дает нижнюю оценку, предсказанную одной версией гипотезы Арнольда для числа неподвижных точек для невырожденного симплектоморфизма. SFH гамильтонова симплектоморфизма также имеет парное произведение штанов, которое является деформированным чашечным произведением, эквивалентным квантовым когомологиям . Версия продукта также существует для неточных симплектоморфизмов.
Для кокасательного расслоения многообразия M гомологии Флоера зависят от выбора гамильтониана из-за его некомпактности. Для гамильтонианов, квадратичных на бесконечности, гомологии Флоера являются сингулярными гомологиями пространства свободных петель M (доказательства различных версий этого утверждения принадлежат Витербо, Саламону – Веберу, Аббондандоло – Шварцу и Коэну). Существуют более сложные операции над гомологиями Флоера кокасательного расслоения, которые соответствуют операциям строковой топологии над гомологиями пространства петель лежащего в основе многообразия.
Симплектическая версия гомологии Флоера играет решающую роль в формулировке гипотезы о гомологической зеркальной симметрии .
Изоморфизм ПСС
В 1996 г. С. Пиунихин, Д. Саламон и М. Шварц обобщили результаты о связи между гомологиями Флоера и квантовыми когомологиями и сформулировали их следующим образом. Пиунихин, Саламон и Шварц (1996)
- Группы когомологий Флоер петли пространства пола-положительного симплектическое многообразие ( M , ω) естественно изоморфны обычные когомологии из М , тензорно с помощью подходящего Novikov кольца , связанного с группой скольжений .
- Этот изоморфизм сплетает структуру произведения квантовых чашек на когомологиях M с произведением пары штанов на гомологиях Флора.
Приведенное выше условие полуположительности и компактности симплектического многообразия M требуется нам для получения кольца Новикова и для определения как гомологий Флоера, так и квантовых когомологий. Полуположительное условие означает, что выполняется одно из следующих условий (обратите внимание, что эти три случая не пересекаются):
- для каждого А в П 2 ( M ) где λ≥0 ( М является монотонной ).
- для любого A из π 2 ( M ).
- Минимальное количество Черна N ≥ 0 определяетсябольше или равно n - 2.
Группу квантовых когомологий симплектического многообразия M можно определить как тензорные произведения обычных когомологий с кольцом Новикова Λ, т. Е.
Эта конструкция гомологий Флоера объясняет независимость от выбора почти комплексной структуры на M и изоморфизм к гомологиям Флоера, обеспечиваемый идеями теории Морса и псевдоголоморфных кривых , где мы должны признать двойственность Пуанкаре между гомологиями и когомологиями в качестве основы.
Гомологии Флоера трехмерных многообразий
Есть несколько эквивалентных гомологий Флоера, связанных с замкнутыми трехмерными многообразиями . Каждая дает три типа групп гомологии, которые укладываются в точный треугольник . Узел в трехмерном многообразии индуцирует фильтрацию на цепном комплексе каждой теории, цепной гомотопический тип которой является инвариантом узла. (Их гомологии обладают такими же формальными свойствами, что и комбинаторно определенные гомологии Хованова .)
Эти гомологии тесно связаны с инвариантами Дональдсона и Зайберга 4-многообразий, а также с инвариантами Громова Таубса для симплектических 4-многообразий; дифференциалы соответствующих три-многообразие гомологий в эти теории изучаются путем рассмотрения решений соответствующих дифференциальных уравнений ( Янг-Миллс , Зайберг-Виттен и Коши-Риман , соответственно) на 3-многообразии поперечного R . Гомологии Флоера 3-многообразий также должны быть объектами относительных инвариантов для четырехмерных многообразий с краем, связанных путем склеивания конструкций с инвариантами замкнутого 4-многообразия, полученными путем склеивания ограниченных 3-многообразий вдоль их границ. (Это тесно связано с понятием топологической квантовой теории поля .) Для гомологий Хегора Флоера сначала были определены гомологии 3-многообразий, а позже в терминах них был определен инвариант для замкнутых 4-многообразий.
Существуют также расширения гомологий 3-многообразий до 3-многообразий с краем: гомологии Флёра с швами ( Juhász, 2008 ) и гомологии Флёра с краями ( Lipshitz, Ozsváth & Thurston, 2008 ). Они связаны с инвариантами замкнутых трехмерных многообразий путем склеивания формул для гомологий Флоера трехмерного многообразия, описываемого как объединение по границе двух трехмерных многообразий с краем.
Этот три-коллектор гомология Флоер также оснащен выделенный элементом гомологии , если три-многообразие снабжено контактная структурой . Кронхеймер и Мрова впервые представили контактный элемент в случае Зайберга – Виттена. Озсват и Сабо построили его для гомологий Хегора Флоера, используя соотношение Жиру между контактными многообразиями и разложениями открытой книги, и это бесплатно, как класс гомологии пустого множества, во вложенных контактных гомологиях. (Что, в отличие от трех других, требует для своего определения контактной гомологии. О встроенной контактной гомологии см. Hutchings (2009) .
Все эти теории имеют априорную относительную градацию; они были подняты до абсолютной градуировки (гомотопическими классами ориентированных 2-плоских полей) Кронхеймером и Мровкой (для SWF), Гриппом и Хуангом (для HF) и Хатчингсом (для ECH). Кристофаро-Гардинер показал, что изоморфизм Таубса между когомологиями ECH и Зайберга-Виттена Флоера сохраняет эти абсолютные градуировки.
Гомология Instanton Floer
Это трехмерный инвариант, связанный с теорией Дональдсона, введенной самим Флоером. Он получен с помощью функционала Черна – Саймонса на пространстве связностей на главном SU (2) -расслоении над трехмерным многообразием. Его критические точки - это плоские соединения, а его линии потока - инстантоны , то есть анти-самодуальные соединения на трехмерном многообразии, пересекаемые с действительной линией. Гомологии Instanton Floer можно рассматривать как обобщение инварианта Кэссона, потому что эйлерова характеристика гомологий Floer согласуется с инвариантом Кэссона.
Вскоре после того, как Флоер ввел гомологии Флора, Дональдсон понял, что кобордизмы индуцируют отображения. Это был первый пример структуры, получившей название топологической квантовой теории поля.
Гомологии Зайберга – Виттена Флоера
Гомологии Зайберга – Виттена Флоера или монопольные гомологии Флоера - это теория гомологий гладких трехмерных многообразий (снабженных спиновой c- структурой ). Его можно рассматривать как гомологии Морса функционала Черна-Симонса-Дирака на U (1) связностях на трехмерном многообразии. Соответствующее уравнение градиентного потока соответствует уравнениям Зайберга-Виттена на трехмерном многообразии, пересекаемом с действительной прямой. Эквивалентно, генераторы цепного комплекса являются трансляционно-инвариантными решениями уравнений Зайберга – Виттена (известных как монополи) на произведении 3-многообразия и вещественной прямой, а дифференциал считает решения уравнений Зайберга – Виттена на произведении трехмерного многообразия и вещественной прямой, которые асимптотичны инвариантным решениям на бесконечности и отрицательной бесконечности.
Одна из версий Зайберга-Виттен-Флоер гомологии была построены строго в монографии монополей и три-многообразие по Питеру Kronheimer и Томаш Mrówka , где он известен как монопольный Флоер гомология. Таубс показал, что она изоморфна вложенным контактным гомологиям. Альтернативные конструкции SWF для 3-сфер рациональной гомологии были даны Manolescu (2003) и Frøyshov (2010) ; они, как известно, соглашаются.
Гомология Heegaard Floer
Гомологии Хегора Флоера // (слушайте )является инвариантом, принадлежащимПетеру ОзсватуиЗолтануСабо,для замкнутоготрехмерногомногообразия, снабженного спиновойc-структурой. Он вычисляется с использованиемдиаграммы Хегорапространства с помощью конструкции, аналогичной лагранжевым гомологиям Флоера. Кутлухан, Ли и Таубс (2010) объявили доказательство того, что гомологии Хегора Флоера изоморфны гомологиям Зайберга-Виттена Флоера, а Колин, Гиггини и Хонда (2011) объявили доказательство того, что плюс-версия гомологий Хегора Флоера (с обратной ориентацией) изоморфна вложенным контактным гомологиям.
Узел в трехмерном многообразии индуцирует фильтрацию на группах гомологий Хегора Флоера, а фильтрованный гомотопический тип является мощным инвариантом узла , называемым гомологиями узлов Флоера. Это categorifies на многочлен Александера . Гомология узла Floer была определена Озсватом и Сабо (2003) и независимо Расмуссеном (2003) . Известно обнаружение узлового рода. Используя сеточные диаграммы для расщеплений Хегора, гомологии узлов Флоера получили комбинаторную конструкцию Манолеску, Озсват и Саркар (2009).
.Гомологии Хегора Флоера двойного накрытия S ^ 3, разветвленного над узлом, связаны спектральной последовательностью с гомологиями Хованова ( Ozsváth & Szabó 2005 )
.«Шляпная» версия гомологии Хегора Флоера комбинаторно описана Саркаром и Вангом (2010) . «Плюс» и «минус» версии гомологии Хегора Флоера и связанные с ними четырехмерные инварианты Озсвата-Сабо также могут быть описаны комбинаторно ( Manolescu, Ozsváth & Thurston 2009 ).
Встроенная контактная гомология
Вложенные контактные гомологии , принадлежащие Майклу Хатчинсу , являются инвариантом трехмерных многообразий (с выделенным вторым классом гомологий, соответствующим выбору структуры спина c в гомологиях Зайберга – Виттена Флоера), изоморфных (по работе Клиффорда Таубса ) Зайбергу –Когомологии Виттена Флоера и, следовательно, (по работе, объявленной Кутлуханом, Ли и Таубсом, 2010 г.
и Colin, Ghiggini & Honda 2011 ) к плюс-версии гомологии Heegaard Floer (с обратной ориентацией). Его можно рассматривать как расширение инварианта Таубса Громова, который , как известно, эквивалентен инварианту Зайберга – Виттена , с замкнутых симплектических 4-многообразий до некоторых некомпактных симплектических 4-многообразий (а именно, контактного креста трехмерных многообразий R). Его конструкция аналогична теории симплектического поля в том смысле, что он порождается некоторыми наборами замкнутых орбит Риба, а его дифференциал учитывает некоторые голоморфные кривые с концами в определенных наборах орбит Риба. Он отличается от SFT техническими условиями на совокупности орбит Риба, которые его генерируют, и тем, что не учитывают все голоморфные кривые с индексом Фредгольма 1 с заданными концами, а только те, которые также удовлетворяют топологическому условию, заданному индексом ECH , который, в частности, означает, что рассматриваемые кривые (в основном) вложенные.Гипотеза Вайнштейна о том, что контактное 3-многообразие имеет замкнутую орбиту Риба для любой контактной формы, выполняется на любом многообразии, ECH которого нетривиально, и была доказана Таубсом с использованием методов, тесно связанных с ECH; Расширения этой работы привели к изоморфизму между ECH и SWF. Многие конструкции в ECH (включая его четко определенные) полагаются на этот изоморфизм ( Taubes 2007 ).
Контактный элемент ECH имеет особенно красивую форму: это цикл, связанный с пустой коллекцией орбит Риба.
Аналог вложенных контактных гомологий может быть определен для отображения торов симплектоморфизмов поверхности (возможно, с краем) и известен как периодические гомологии Флоера, обобщающие симплектические гомологии Флоера симплектоморфизмов поверхности. В более общем смысле, это может быть определено относительно любой стабильной гамильтоновой структуры на 3-многообразии; подобно контактным структурам, стабильные гамильтоновы структуры определяют ненулевое векторное поле (векторное поле Риба), и Хатчингс и Таубс доказали для них аналог гипотезы Вайнштейна, а именно, что они всегда имеют замкнутые орбиты (если только они не отображают торы 2 -тор).
Лагранжевы пересечения гомологии Флоера
Лагранжевые гомологии Флоера двух трансверсально пересекающихся лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия - это гомологии цепного комплекса, порожденного точками пересечения двух подмногообразий, дифференциал которого учитывает псевдоголоморфные диски Уитни .
Для трех лагранжевых подмногообразий L 0 , L 1 и L 2 симплектического многообразия существует структура произведения на лагранжевых гомологиях Флоера:
который определяется подсчетом голоморфных треугольников (т. е. голоморфных отображений треугольника, вершины и ребра которого отображаются в соответствующие точки пересечения и лагранжевые подмногообразия).
Статьи по этому поводу принадлежат Фукая, О, Оно и Охта; Недавняя работа по « кластерной гомологии » Лалонде и Роговицы предлагает другой подход к этому. Гомологии Флоера пары лагранжевых подмногообразий не всегда могут существовать; когда это происходит, это создает препятствие для отделения одного лагранжиана от другого с помощью гамильтоновой изотопии .
Некоторые виды гомологий Флоера являются частными случаями лагранжевых гомологий Флоера. Симплектические гомологии Флёра симплектоморфизма M можно рассматривать как случай лагранжевых гомологий Флёра, в которых объемлющее многообразие M пересекается с M, а лагранжевы подмногообразия являются диагональю и графиком симплектоморфизма. Построение гомологий Хегора Флоера основано на варианте лагранжевых гомологий Флоера для вполне вещественных подмногообразий, определенных с помощью расщепления Хегора трехмерного многообразия. Зайдель-Смит и Манолеску построили инвариант зацепления как определенный случай лагранжевых гомологий Флоера, который предположительно согласуется с гомологиями Хованова , комбинаторно определенным инвариантом зацепления.
Гипотеза Атьи – Флоера
Гипотеза Атьи – Флоера связывает инстантонные гомологии Флора с лагранжевыми гомологиями Флоера пересечения. [1] Рассмотрим трехмерное многообразие Y с расщеплением Хегора вдоль поверхности . Тогда пространство плоских соединений на по модулю калибровочной эквивалентности - симплектическое многообразие размерности 6 г - 6, где г - род поверхности. В расщеплении Хегораограничивает два различных 3-многообразия; пространство плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности на каждом трехмерном многообразии с краем вкладывается вкак лагранжево подмногообразие. Можно рассматривать лагранжевы пересечения гомологии Флоера. С другой стороны, мы можем рассматривать гомологии Инстантона Флора трехмерного многообразия Y. Гипотеза Атьи – Флора утверждает, что эти два инварианта изоморфны. Саламон-Вехрхейм и Дэми-Фукая работают над своими программами, чтобы доказать это предположение. [ согласно кому? ]
Отношения к зеркальной симметрии
Гомологической зеркальной симметрии гипотеза Концевич предсказывает равенство между лагранжиан Флоера гомологии лагранжианами в многообразии Калаби-Яу и Ext группа из когерентных пучков на зеркале Калаби-Яу. В этой ситуации следует сосредотачиваться не на группах гомологий Флоера, а на группах цепочек Флоера. Подобно произведению пары брюк, можно строить мульти-композиции, используя псевдоголоморфные n -угольники. Эти композиции удовлетворяют-отношения, превращающие категорию всех (беспрепятственных) лагранжевых подмногообразий симплектического многообразия в -категория, называемая категорией Фукая .
Чтобы быть более точным, нужно добавить к лагранжиану дополнительные данные - градуировку и спиновую структуру . Лагранжиан с выбором этих структур часто называют браной в знак уважения к основной физике. Гипотеза о гомологической зеркальной симметрии утверждает, что существует тип производной эквивалентности Мориты между категорией Фукая категории Калаби – Яу.и dg-категория, лежащая в основе ограниченной производной категории когерентных пучков зеркала, и наоборот.
Симплектическая теория поля (SFT)
Это инвариант контактных многообразий и симплектических кобордизмов между ними, первоначально созданный Яковом Элиашбергом , Александром Гивенталем и Гельмутом Хофером . Симплектическая теория поля, а также ее подкомплексы, рациональная симплектическая теория поля и контактные гомологии определяются как гомологии дифференциальных алгебр, которые порождаются замкнутыми орбитами векторного поля Риба выбранной контактной формы. Дифференциал считает некоторые голоморфные кривые в цилиндре над контактным многообразием, где тривиальными примерами являются разветвленные накрытия (тривиальных) цилиндров над замкнутыми орбитами Риба. Он также включает теорию линейных гомологий, называемую цилиндрическими или линеаризованными контактными гомологиями (иногда, злоупотребляя обозначениями, просто контактными гомологиями), чьи цепные группы являются векторными пространствами, порожденными замкнутыми орбитами, а дифференциалы которых учитывают только голоморфные цилиндры. Однако цилиндрические контактные гомологии не всегда определяются из-за наличия голоморфных дисков и отсутствия результатов регулярности и трансверсальности. В ситуациях, когда имеет смысл цилиндрическая контактная гомология, ее можно рассматривать как (слегка модифицированную) гомологию Морса функционала действия на пространстве свободной петли, который отправляет петлю интегралу контактной формы альфа по петле. Орбиты Риба являются критическими точками этого функционала.
SFT также связывает относительный инвариант лежандрова подмногообразия контактного многообразия, известного как относительные контактные гомологии . Его образующие - хорды Риба, которые представляют собой траектории векторного поля Риба, начинающиеся и заканчивающиеся на лагранжиане, а его дифференциал учитывает некоторые голоморфные полосы в симплектизации контактного многообразия, концы которых асимптотичны заданным хордам Риба.
В SFT контактные многообразия можно заменить отображением торов симплектических многообразий с симплектоморфизмами. В то время как цилиндрические контактные гомологии хорошо определены и задаются симплектическими гомологиями Флоера степеней симплектоморфизма, (рациональная) симплектическая теория поля и контактные гомологии могут рассматриваться как обобщенные симплектические гомологии Флоера. В важном случае, когда симплектоморфизм является отображением единицы времени гамильтониана, зависящего от времени, было, однако, показано, что эти высшие инварианты не содержат никакой дополнительной информации.
Гомотопия Флора
Один из возможных способов построения теории гомологии Флоера для некоторого объекта - это построение связанного спектра , обычные гомологии которого являются искомыми гомологиями Флоера. Применение других теорий гомологии к такому спектру может дать другие интересные инварианты. Эта стратегия была предложена Ральфом Коэном, Джоном Джонсом и Грэмом Сигалом и реализована в некоторых случаях для гомологий Зайберга – Виттена – Флоера Манолеску (2003) и для симплектических гомологий Флоера кокасательных расслоений Коэном. Этот подход лег в основу конструкции Пин (2) -эквивариантных гомологий Зайберга-Виттена Флоера, которую Манолеску в 2013 году опровергает гипотезу о триангуляции для многообразий размерности 5 и выше.
Аналитические основы
Многие из этих гомологий Флоера не были полностью и строго построены, и многие гипотетические эквивалентности не были доказаны. При этом возникают технические трудности, особенно при построении компактифицированных пространств модулей псевдоголоморфных кривых. Хофер в сотрудничестве с Крисом Высоцким и Эдуардом Цендером разработал новые аналитические основы с помощью своей теории полифолдов и «общей теории Фредгольма». Хотя проект polyfold еще не полностью завершен, в некоторых важных случаях трансверсальность была показана с использованием более простых методов.
Вычисление
Гомологии Флоера обычно трудно вычислить явно. Например, симплектические гомологии Флоера для всех симплектоморфизмов поверхностей были завершены только в 2007 году. Гомологии Хегора Флоера оказались успешной в этом отношении: исследователи использовали ее алгебраическую структуру, чтобы вычислить ее для различных классов трехмерных многообразий и обнаружили комбинаторную алгоритмы для вычисления большей части теории. Это также связано с существующими инвариантами и структурами, и в результате были получены многие идеи топологии 3-многообразий.
Рекомендации
Сноски
- ↑ Атья 1988
Книги и обзоры
- Атья, Майкл (1988). «Новые инварианты трехмерных и четырехмерных многообразий» . Математическое наследие Германа Вейля . Труды симпозиумов по чистой математике. 48 . С. 285–299. DOI : 10.1090 / pspum / 048/974342 . ISBN 9780821814826.
- Августин Баньяга ; Дэвид Хуртубис (2004). Лекции по гомологиям Морса . Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-1-4020-2695-9.
- Саймон Дональдсон ; М. Фурута; Д. Кочик (2002). Группы гомологий Флоера в теории Янга-Миллса . Кембриджские трактаты по математике. 147 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80803-3.
- Ellwood, David A .; Озсват, Питер С .; Stipsicz, András I .; Сабо, Золтан , ред. (2006). Гомологии Флора, калибровочная теория и низкоразмерная топология . Труды по математике из глины. 5 . Математический институт Клэя . ISBN 978-0-8218-3845-7.
- Кронхеймер, Питер ; Мровка, Томаш (2007). Монополи и трехмерные многообразия . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-88022-0.
- Макдафф, Дуса ; Саламон, Дитмар (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850451-1.
- Макдафф, Дуса (2005). «Теория Флора и низкоразмерная топология» . Бюллетень Американского математического общества . 43 : 25–42. DOI : 10.1090 / S0273-0979-05-01080-3 . Руководство по ремонту 2188174 .
- Шварц, Маттиас (2012) [1993]. Гомологии Морса . Успехи в математике. 111 . Birkhäuser . ISBN 978-3-0348-8577-5.
- Зайдель, Пол (2008). Категории Фукая и теория Пикара Лефшеца . Европейское математическое общество . ISBN 978-3037190630.
Исследовательские статьи
- Колин, Винсент; Гиггини, Паоло; Хонда, Ко (2011). «Эквивалентность гомологий Хегора Флоера и вложенных контактных гомологий посредством разложений открытой книги» . PNAS . 108 (20): 8100–8105. Bibcode : 2011PNAS..108.8100C . DOI : 10.1073 / pnas.1018734108 . PMC 3100941 . PMID 21525415 .
- Флоер, Андреас (1988). «Нерегуляризованный градиентный поток симплектического действия». Comm. Pure Appl. Математика. 41 (6): 775–813. DOI : 10.1002 / cpa.3160410603 .
- ——— (1988). «Инстантон-инвариант для трехмерных многообразий». Comm. Математика. Phys. 118 (2): 215–240. Bibcode : 1988CMaPh.118..215F . DOI : 10.1007 / BF01218578 . S2CID 122096068 . Проект Евклид
- ——— (1988). «Теория Морса для лагранжевых пересечений» . J. Differential Geom. 28 (3): 513–547. DOI : 10.4310 / JDG / 1214442477 . Руководство по ремонту 0965228 .
- ——— (1989). «Кепловые оценки на лагранжевых пересечениях». Comm. Pure Appl. Математика . 42 (4): 335–356. DOI : 10.1002 / cpa.3160420402 .
- ——— (1989). «Симплектические неподвижные точки и голоморфные сферы». Comm. Математика. Phys . 120 (4): 575–611. Bibcode : 1988CMaPh.120..575F . DOI : 10.1007 / BF01260388 . S2CID 123345003 .
- ——— (1989). "Комплексная и бесконечномерная теория Морса Виттена" (PDF) . J. Diff. Геом . 30 (1): 202–221. DOI : 10.4310 / JDG / 1214443291 .
- Фрёйшов, Ким А. (2010). «Монопольные гомологии Флоера для рациональных гомологий 3-сфер». Duke Math. J. 155 (3): 519–576. arXiv : 0809.4842 . DOI : 10.1215 / 00127094-2010-060 . S2CID 8073050 .
- Громов, Михаил (1985). «Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях». Inventiones Mathematicae . 82 (2): 307–347. Bibcode : 1985InMat..82..307G . DOI : 10.1007 / BF01388806 . S2CID 4983969 .
- Хофер, Гельмут; Высоцкий, Крис; Зендер, Эдуард (2007). "Общая теория Фредгольма I: Дифференциальная геометрия на основе сращивания". J. Eur. Математика. Soc. 9 (4): 841–876. arXiv : math.FA / 0612604 . Bibcode : 2006math ..... 12604H . DOI : 10.4171 / JEMS / 99 . S2CID 14716262 .
- Юхас, Андраш (2008). «Гомологии Флоера и поверхностные разложения». Геометрия и топология . 12 (1): 299–350. arXiv : math / 0609779 . DOI : 10,2140 / gt.2008.12.299 . S2CID 56418423 .
- Кутлухан, Чагатай; Ли, И-Джен; Таубс, Клиффорд Генри (2020). «HF = HM I: гомологии Хегора Флоера и гомологии Зайберга – Виттена Флоера». Геометрия и топология . 24 (6): 2829–2854. arXiv : 1007.1979 . DOI : 10,2140 / gt.2020.24.2829 . S2CID 118772589 .
- Липшиц, Роберт; Озсват, Питер ; Терстон, Дилан (2008). «Граничные гомологии Хегора Флора: инвариантность и спаривание». Воспоминания Американского математического общества . 254 (1216). arXiv : 0810.0687 . DOI : 10,1090 / мемо / 1216 . S2CID 115166724 .
- Манолеску, Чиприан (2003). «Устойчивый гомотопический тип Зайберга – Виттена – Флоера трехмерных многообразий с b 1 = 0». Геом. Тополь. 7 (2): 889–932. arXiv : math / 0104024 . DOI : 10,2140 / gt.2003.7.889 . S2CID 9130339 .
- Манолеску, Чиприан; Озсват, Питер С .; Саркар, Сухарит (2009). «Комбинаторное описание узловых гомологий Флоера». Аня. математики. 169 (2): 633–660. arXiv : math / 0607691 . Bibcode : 2006math ...... 7691M . DOI : 10.4007 / анналы.2009.169.633 . S2CID 15427272 .
- Манолеску, Чиприан; Озсват, Питер; Терстон, Дилан (2009). «Сеточные диаграммы и инварианты Хегора Флора». arXiv : 0910.0078 [ math.GT ].
- Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2004). «Голоморфные диски и топологические инварианты для замкнутых трехмерных многообразий». Аня. математики. 159 (3): 1027–1158. arXiv : math / 0101206 . Bibcode : 2001math ...... 1206O . DOI : 10.4007 / анналы.2004.159.1027 . S2CID 119143219 .
- ———; Сабо (2004). «Голоморфные диски и трехмерные инварианты: свойства и приложения». Аня. математики . 159 (3): 1159–1245. arXiv : math / 0105202 . Bibcode : 2001math ...... 5202O . DOI : 10.4007 / анналы.2004.159.1159 . S2CID 8154024 .
- Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2003). «Голоморфные диски и инварианты узлов». arXiv : math.GT/0209056 .
- Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2005). «О гомологиях разветвленных двойных накрытий Хегора Флоера». Adv. Математика. 194 (1): 1–33. arXiv : math.GT/0209056 . Bibcode : 2003math ...... 9170O . DOI : 10.1016 / j.aim.2004.05.008 . S2CID 17245314 .
- Расмуссен, Джейкоб (2003). «Гомологии Флоера и узловые дополнения». arXiv : math / 0306378 .
- Саламон, Дитмар; Wehrheim, Katrin (2008). «Гомологии Instanton Floer с лагранжевыми граничными условиями». Геометрия и топология . 12 (2): 747–918. arXiv : math / 0607318 . DOI : 10,2140 / gt.2008.12.747 . S2CID 119680541 .
- Саркар, Сучарит; Ван, Цзяцзюнь (2010). «Алгоритм для вычисления некоторых гомологий Хегора Флоера». Аня. математики . 171 (2): 1213–1236. arXiv : math / 0607777 . DOI : 10.4007 / анналы.2010.171.1213 . S2CID 55279928 .
- Хатчингс (2009). Пересмотр встроенного индекса контактной гомологии . CRM Proc. Конспект лекций . CRM Proceedings and Lecture Notes. 49 . С. 263–297. arXiv : 0805.1240 . Bibcode : 2008arXiv0805.1240H . DOI : 10.1090 / CRMP / 049/10 . ISBN 9780821843567. S2CID 7751880 .
- Таубс, Клиффорд (2007). «Уравнения Зайберга-Виттена и гипотеза Вейстейна». Геом. Тополь . 11 (4): 2117–2202. arXiv : math / 0611007 . DOI : 10.2140 / gt.2007.11.2117 . S2CID 119680690 .
- Пиунихин, Сергей; Саламон, Дитмар; Шварц, Маттиас (1996). «Симплектическая теория Флоера – Дональдсона и квантовые когомологии». Контактная и симплектическая геометрия . Издательство Кембриджского университета. С. 171–200. ISBN 978-0-521-57086-2.
Внешние ссылки
- "Гипотеза Атьи-Флоера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- " Гомология узлов Хегора Флора ", Атлас узлов .