Экшен (физика)

В физике , действие представляет собой численное описание части того , как физическая система была изменена с течением времени . Это важно, потому что уравнения движения системы могут быть выведены на основе принципа стационарного действия . В простом случае одиночной частицы, движущейся с заданной скоростью, действие представляет собой импульс частицы, умноженный на расстояние, на которое она движется, суммированный по ее пути, или, что эквивалентно, удвоенную кинетическую энергию.умноженное на отрезок времени, в течение которого он имеет это количество энергии, сложенное за рассматриваемый период времени. Для более сложных систем все такие количества складываются. Более формально действие - это математический функционал, который принимает траекторию , также называемую путем или историей , системы в качестве аргумента и имеет действительное число в качестве результата. Обычно действие принимает разные значения для разных путей. ^[1] Действие имеет размеры от энергии  ×  времени или импульса  ×  длины , и его единица СИ является джоуль-второй (как постоянная Планка h ). ^[2]

Введение [ править ]

Принцип Гамильтона гласит, что дифференциальные уравнения движения для любой физической системы можно переформулировать как эквивалентное интегральное уравнение . Таким образом, существует два различных подхода к построению динамических моделей.

Это применимо не только к классической механике отдельной частицы, но и к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля . Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля - в частности, в формулировке квантовой механики с использованием интеграла по путям используется концепция, - где физическая система случайным образом следует по одному из возможных путей с фазой амплитуды вероятности для каждого путь определяется действием для пути. ^[3]

Решение дифференциального уравнения [ править ]

Эмпирические законы часто выражаются как дифференциальные уравнения , которые описывают , как физические величины , такие как положение и импульс изменение непрерывно с временем , пространство или их обобщение. Учитывая начальные и граничные условия для ситуации, «решением» этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций, которые описывают поведение системы и называются уравнениями движения .

Минимизация интеграла действия [ править ]

Действие - это часть альтернативного подхода к нахождению таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, - это путь, для которого действие минимизировано или, в более общем смысле, является стационарным . Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. Также ниже). Действие определяется интегралом , и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.

Этот простой принцип обеспечивает глубокое понимание физики и является важным понятием в современной теоретической физике .

История [ править ]

Во время разработки концепции действие было определено несколькими устаревшими способами. ^[4]

• Готфрид Лейбниц , Иоганн Бернулли и Пьер Луи Мопертюи определили действие света как интеграл его скорости или обратную скорость по длине его пути.
• Леонард Эйлер (и, возможно, Лейбниц) определяли действие материальной частицы как интеграл скорости частицы на ее пути в пространстве.
• Пьер Луи Мопертюи ввел несколько специальных и противоречивых определений действия в рамках одной статьи , определяя действие как потенциальную энергию, как виртуальную кинетическую энергию и как гибрид, обеспечивающий сохранение импульса при столкновениях. ^[5]

Математическое определение [ править ]

Выражаясь математическим языком, с использованием вариационного исчисления , эволюция физической системы (то есть, как система фактически переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимуму) действия.

В физике широко используются несколько различных определений «действия». ^{[4] [6]} Действие обычно представляет собой интеграл по времени. Однако, когда действие относится к полям , оно также может быть интегрировано по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется по пути, по которому следует физическая система.

Действие обычно представляется как интеграл по времени, взятый на пути системы между начальным временем и конечным временем развития системы: ^[4]

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,}$

где подынтегральное выражение L называется лагранжианом . Чтобы интеграл действия был четко определен, траектория должна быть ограничена во времени и пространстве.

Действие имеет размеры от [энергии]  ×  [время] , и его единица СИ является джоуль -Вторы, который идентичен единице углового момента .

Действие в классической физике [ править ]

В классической физике термин «действие» имеет несколько значений.

Действие (функциональное) [ править ]

Чаще всего этот термин используется для функционала, который принимает на вход функцию времени и (для полей ) пространства и возвращает скаляр . ^{[7] [8]} В классической механике входная функция - это эволюция q ( t ) системы между двумя временами t ₁ и t ₂ , где q представляет собой обобщенные координаты . Действие определяется как интеграл от лагранжиана L для эволюции между входным два раза:${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,}$

где конечные точки эволюции фиксированы и определены как и . В соответствии с принципом Гамильтона , истинная эволюция д _{истинно} ( т ) представляет собой эволюцию , для которых действие является стационарным (минимум, максимум, или точка перевала ). Этот принцип приводит к уравнениям движения в лагранжевой механике .${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})}$${\displaystyle \mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]}$

Сокращенное действие (функциональное) [ править ]

Обычно обозначается как , это тоже функционал . Здесь входная функция - это путь, пройденный физической системой без учета ее параметризации по времени. Например, траектория планетарной орбиты представляет собой эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле - параболу; в обоих случаях путь не зависит от того, насколько быстро частица проходит путь. Сокращенное действие определяется как интеграл обобщенных импульсов вдоль пути в обобщенных координатах :${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int p_{i}\,dq_{i}.}$

Согласно принципу Мопертюи , истинный путь - это путь, для которого сокращенное действие является стационарным .${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$

Основная функция Гамильтона [ править ]

Основная функция Гамильтона получается из функционала действия путем фиксации начального времени и начальной конечной точки , позволяя при этом изменять верхний предел времени и вторую конечную точку . Основная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона – Якоби, формулировке классической механики . Из-за сходства с уравнением Шредингера уравнение Гамильтона – Якоби, возможно, обеспечивает самую прямую связь с квантовой механикой .${\displaystyle S=S(q,t;q_{0},t_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle q_{0},}$${\displaystyle t}$${\displaystyle q}$

Характеристическая функция Гамильтона [ править ]

When the total energy E is conserved, the Hamilton–Jacobi equation can be solved with the additive separation of variables:

${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$

where the time-independent function W(q₁, q₂, … q_N) is called Hamilton's characteristic function. The physical significance of this function is understood by taking its total time derivative

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$

This can be integrated to give

${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$

which is just the abbreviated action.

Other solutions of Hamilton–Jacobi equations[edit]

The Hamilton–Jacobi equations are often solved by additive separability; in some cases, the individual terms of the solution, e.g., S_k(q_k), are also called an "action".^[4]

Action of a generalized coordinate[edit]

This is a single variable J_k in the action-angle coordinates, defined by integrating a single generalized momentum around a closed path in phase space, corresponding to rotating or oscillating motion:

${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$

The variable J_k is called the "action" of the generalized coordinate q_k; the corresponding canonical variable conjugate to J_k is its "angle" w_k, for reasons described more fully under action-angle coordinates. The integration is only over a single variable q_k and, therefore, unlike the integrated dot product in the abbreviated action integral above. The J_k variable equals the change in S_k(q_k) as q_k is varied around the closed path. For several physical systems of interest, J_k is either a constant or varies very slowly; hence, the variable J_k is often used in perturbation calculations and in determining adiabatic invariants.

Action for a Hamiltonian flow[edit]

See tautological one-form.

Euler–Lagrange equations[edit]

In Lagrangian mechanics, the requirement that the action integral be stationary under small perturbations is equivalent to a set of differential equations (called the Euler–Lagrange equations) that may be obtained using the calculus of variations.

The action principle[edit]

Classical fields[edit]

The action principle can be extended to obtain the equations of motion for fields, such as the electromagnetic field or gravitational field.

The Einstein equation utilizes the Einstein–Hilbert action as constrained by a variational principle.

The trajectory (path in spacetime) of a body in a gravitational field can be found using the action principle. For a free falling body, this trajectory is a geodesic.

Conservation laws[edit]

Implications of symmetries in a physical situation can be found with the action principle, together with the Euler–Lagrange equations, which are derived from the action principle. An example is Noether's theorem, which states that to every continuous symmetry in a physical situation there corresponds a conservation law (and conversely). This deep connection requires that the action principle be assumed.^[3]

Quantum mechanics and quantum field theory[edit]

In quantum mechanics, the system does not follow a single path whose action is stationary, but the behavior of the system depends on all permitted paths and the value of their action. The action corresponding to the various paths is used to calculate the path integral, that gives the probability amplitudes of the various outcomes.

Although equivalent in classical mechanics with Newton's laws, the action principle is better suited for generalizations and plays an important role in modern physics. Indeed, this principle is one of the great generalizations in physical science. It is best understood within quantum mechanics, particularly in Richard Feynman's path integral formulation, where it arises out of destructive interference of quantum amplitudes.

Maxwell's equations can also be derived as conditions of stationary action.

Single relativistic particle[edit]

When relativistic effects are significant, the action of a point particle of mass m travelling a world line C parametrized by the proper time ${\displaystyle \tau }$ is

${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$

If instead, the particle is parametrized by the coordinate time t of the particle and the coordinate time ranges from t₁ to t₂, then the action becomes

${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$

where the Lagrangian is^[9]

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}$

Modern extensions[edit]

The action principle can be generalized still further. For example, the action need not be an integral, because nonlocal actions are possible. The configuration space need not even be a functional space, given certain features such as noncommutative geometry. However, a physical basis for these mathematical extensions remains to be established experimentally.^[7]

See also[edit]

References[edit]

Sources and further reading[edit]

For an annotated bibliography, see Edwin F. Taylor who lists, among other things, the following books

• The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications, New York, 1986). ISBN 0-486-65067-7. The reference most quoted by all those who explore this field.
• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics (Butterworth-Heinenann, 1976), 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0. Begins with the principle of least action.
• Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics (Simon & Schuster Macmillan, 1996), Volume 2, ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842.
• Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom, Structure and Interpretation of Classical Mechanics (MIT Press, 2001). Begins with the principle of least action, uses modern mathematical notation, and checks the clarity and consistency of procedures by programming them in computer language.
• Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0, A 350-page comprehensive "outline" of the subject.
• Robert Weinstock, Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering (Dover Publications, 1974). ISBN 0-486-63069-2. An oldie but goodie, with the formalism carefully defined before use in physics and engineering.
• Wolfgang Yourgrau and Stanley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover Publications, 1979). A nice treatment that does not avoid the philosophical implications of the theory and lauds the Feynman treatment of quantum mechanics that reduces to the principle of least action in the limit of large mass.
• Edwin F. Taylor's page

External links[edit]

• Principle of least action interactive Interactive explanation/webpage