Квантовые когомологии
В математике , особенно в симплектической топологии и алгебраической геометрии , кольцо квантовых когомологий является расширением обычного кольца когомологий замкнутого симплектического многообразия . Он поставляется в двух версиях, называемых маленькой и большой ; в общем, последний сложнее и содержит больше информации, чем первый. В каждом из них выбор кольца коэффициентов (обычно кольца Новикова , описанного ниже) также существенно влияет на его структуру.
В то время как чашечный продукт обычных когомологий описывает, как подмногообразия многообразия пересекаются друг с другом, квантовый чашечный продукт квантовых когомологий описывает, как подпространства пересекаются «нечетким», «квантовым» способом. Точнее, они пересекаются, если связаны одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми . Инварианты Громова-Виттена , которые учитывают эти кривые, появляются как коэффициенты в разложениях произведения квантовой чаши.
Поскольку она выражает структуру или шаблон для инвариантов Громова-Виттена, квантовые когомологии имеют важные последствия для перечислительной геометрии . Он также связан со многими идеями математической физики и зеркальной симметрии . В частности, оно кольцево - изоморфно симплектическим гомологиям Флоера .
Возможны различные варианты кольца коэффициентов для квантовых когомологий X. Обычно выбирают кольцо, которое кодирует информацию о второй гомологии X. Это позволяет произведению квантовой чаши, определенному ниже, записывать информацию о псевдоголоморфных кривых в X . Например, пусть
— вторая гомология по модулю кручения . Пусть R — любое коммутативное кольцо с единицей, а Λ — кольцо формальных степенных рядов вида
Переменная считается имеющей степень , где – первый класс Черна касательного расслоения TX , рассматриваемого как комплексное векторное расслоение путем выбора любой почти комплексной структуры, совместимой с ω. Таким образом, Λ — градуированное кольцо, называемое кольцом Новикова для ω. (Альтернативные определения распространены.)
