Симплектоморфизм

---

В математике симплектоморфизм или симплектическое отображение — это изоморфизм в категории симплектических многообразий . В классической механике симплектоморфизм представляет собой преобразование фазового пространства , сохраняющее объем и сохраняющее симплектическую структуру фазового пространства, и называется каноническим преобразованием .

Диффеоморфизм между двумя симплектическими многообразиями называется симплектоморфизмом , если${\ Displaystyle е: (М, \ омега) \ стрелка вправо (N, \ омега ')}$

где откат . _ _ Симплектические диффеоморфизмы от до представляют собой (псевдо) группу, называемую группой симплектоморфизмов (см. ниже).${\ Displaystyle е ^ {*}}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle М}$${\ Displaystyle М}$

Бесконечно малая версия симплектоморфизмов дает симплектические векторные поля. Векторное поле называется симплектическим, если${\ displaystyle X \ in \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$

Кроме того, является симплектическим тогда и только тогда, когда поток является симплектоморфизмом для каждого . Эти векторные поля строят подалгебру Ли . Здесь – множество гладких векторных полей на , – производная Ли по векторному полю${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle \ фи _ {т}: М \ стрелка вправо М}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle т}$${\ Displaystyle \ Гамма ^ {\ infty} (ТМ)}$${\ Displaystyle \ Гамма ^ {\ infty} (ТМ)}$ ${\ Displaystyle М}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ Displaystyle Х.}$

Примеры симплектоморфизмов включают канонические преобразования классической механики и теоретической физики , поток, связанный с любой функцией Гамильтона, отображение на кокасательных расслоениях , индуцированное любым диффеоморфизмом многообразий, и коприсоединённое действие элемента группы Ли на коприсоединённой орбите .

---