Пара штанов (математика)

Пара штанов, изображенная в космосе, с красной границей.

В математике , пара штанов является поверхностью , которая является гомеоморфна на три-перфорированную сферу . Название происходит от того, что один из удаленных дисков рассматривается как пояс, а два других - как манжеты пары брюк .

Пары штанов используются как строительные блоки для компактных поверхностей в различных теориях. Два важных приложения - это гиперболическая геометрия , где разложения замкнутых поверхностей на пары штанов используются для построения координат Фенхеля-Нильсена на пространстве Тейхмюллера , и в топологической квантовой теории поля, где они представляют собой простейшие нетривиальные кобордизмы между одномерными многообразиями. .

Штаны и разложение штанов [ править ]

Штаны как топологические поверхности [ править ]

Пара штанов как плоская область (синего цвета, граница красная)

Как сказано в статье, пара штанов - это любая поверхность, гомеоморфная сфере с тремя отверстиями, которые формально представляют собой три открытых диска с попарно непересекающимися замыканиями, удаленными от сферы. Таким образом, пара штанов представляет собой компактную поверхность нулевого рода с тремя граничными компонентами .

Эйлерова характеристика пары трусов равно -1. Среди всех поверхностей с отрицательной эйлеровой характеристикой она максимальная; ^{[ поясните ]} единственная другая поверхность с этим свойством - проколотый тор (тор минус открытый диск).

Разложение штанов [ править ]

Два разных разложения штанов для поверхности рода 2

Важность пара брюк в изучении поверхностей вытекает из следующего свойства: определить сложность связной компактной поверхности из рода с краевыми компонентами , чтобы быть , и для несвязной поверхности взять сумму по всем компонентам. Тогда единственными поверхностями с отрицательной эйлеровой характеристикой и нулевой сложностью являются непересекающиеся объединения пар штанов. Кроме того, для любой поверхности и любой простой замкнутой кривой на которое не гомотопными к граничной компоненте, компактная поверхность , полученная путем разрезания вдоль имеет сложность, которое строго меньше ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ xi (S) = 3g-3 + к}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle S}$ . В этом смысле пары штанов - единственные «неприводимые» поверхности среди всех поверхностей с отрицательной эйлеровой характеристикой.

С помощью аргумента рекурсии это означает, что для любой поверхности существует система простых замкнутых кривых, которые разрезают поверхность на пары штанов. Это называется разложением штанов для поверхности, а кривые - манжетами разложения. Это разложение не уникально, но, количественно оценив аргумент, можно увидеть, что все разложения на штаны данной поверхности имеют одинаковое количество кривых, что в точности и составляет сложность. ^[1] Для соединенных поверхностей в разложении штанов есть именно штаны. ${\ displaystyle 2g-2 + k}$

Набор простых замкнутых кривых на поверхности является разложением штанов тогда и только тогда, когда они не пересекаются, никакие две из них не являются гомотопными и ни одна не гомотопна граничной компоненте, и набор максимален для этих свойств.

Комплекс брюк [ править ]

Элементарные ходы между разложением штанов

Данная поверхность имеет бесконечно много различных разложений штанов (мы понимаем, что два разложения различны, если они не гомотопны). Один из способов попытаться понять взаимосвязь между всеми этими разложениями - это комплекс штанов, связанный с поверхностью . Это граф с набором вершин, в котором разбиты штаны , и две вершины соединяются, если они связаны элементарным перемещением, которое является одной из двух следующих операций: ${\ displaystyle S}$

взять кривую в разложении в торе с одной дыркой и заменить ее кривой в торе, пересекающей ее только один раз, ${\ displaystyle \ alpha}$
возьмите кривую в разложении в сфере с четырьмя отверстиями и замените ее кривой в сфере, пересекающей ее только дважды. ${\ displaystyle \ alpha}$

Комплекс штанов связан ^[2] (это означает, что любые две разложения штанов связаны последовательностью элементарных ходов) и имеет бесконечный диаметр (это означает, что нет верхней границы количества ходов, необходимых для перехода от одного разложения к другому) . В частном случае , когда поверхность имеет сложность 1, брюки комплекса является изоморфно на графику Фарея .

Действие из группы классов отображений на комплексе штанов представляет интерес для изучения этой группы. Например, Аллен Хэтчер и Уильям Терстон использовали его, чтобы доказать, что оно конечно представимо .

Штаны гиперболической геометрии [ править ]

Пространство модулей гиперболических штанов [ править ]

Интересные гиперболические конструкции на брюках легко классифицируются. ^[3]

Для всех существует гиперболическая поверхность, гомеоморфная паре штанов, граничные компоненты которой полностью геодезические и имеют длину . Такая поверхность однозначно определяется с точностью до изометрии .

{\ displaystyle \ ell _ {1}, \ ell _ {2}, \ ell _ {3} \ in (0, + \ infty)}

{\ displaystyle M}

{\ displaystyle \ ell _ {1}, \ ell _ {2}, \ ell _ {3}}

{\ displaystyle \ ell _ {i}}

Приняв длину манжеты равной нулю, можно получить полную метрику для пары брюк за вычетом манжеты, которая заменяется выступом . Эта структура имеет конечный объем.

Штаны и шестиугольники [ править ]

Геометрическое доказательство классификации в предыдущем абзаце важно для понимания структуры гиперболических штанов. Это происходит следующим образом: для гиперболической пары брюк с полностью геодезической границей три геодезические дуги, соединяющие манжеты попарно и перпендикулярные им на концах, определяются однозначно и называются швами брюк.

Разрезав брюки по швам, вы получите два прямоугольных гиперболических шестиугольника, у которых есть три чередующиеся стороны одинаковой длины. Следующая лемма может быть доказана с помощью элементарной гиперболической геометрии. ^[4]

Если два прямоугольных гиперболических шестиугольника имеют по три стороны одинаковой длины, то они изометричны друг другу.

Итак, мы видим, что пара брюк - это двойник прямоугольного шестиугольника с чередующимися сторонами. Поскольку класс изометрии шестиугольника также однозначно определяется длиной сторон, которые не были приклеены, классификация брюк следует из классификации шестиугольников.

Когда длина одной манжеты равна нулю, соответствующая сторона прямоугольного шестиугольника заменяется идеальной вершиной.

Координаты Фенхеля-Нильсена [ править ]

Точка в пространстве Тейхмюллера поверхности представлена парой где - полная гиперболическая поверхность и диффеоморфизм. ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle (М, е)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle f: S \ to M}$

Если имеется разложение штанов по кривым, то пары Тейхмюллера можно параметризовать с помощью координат Фенхеля-Нильсена, которые определены следующим образом. Эти длины манжеты просто длины замкнутых геодезических гомотопный . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {я}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {i}}$ ${\ Displaystyle е (\ гамма _ {я})}$

Параметры крутки определить сложнее. Они соответствуют тому, сколько поворачивается при склеивании двух пар брюк : это определяет их по модулю . Можно уточнить определение ( с использованием либо аналитическое продолжения ^[5] или геометрические методов) , чтобы получить параметры твиста оцениваемых в (грубо говоря, дело в том , что , когда один делает полный оборот один изменяет точку в Тайхмюллере пространстве precomposing с Деном крутить вокруг ). ${\ Displaystyle \ тау _ {я}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {я}}$ ${\ Displaystyle \ ell _ {я} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {я}}$

Комплекс брюк и метрика Вейля-Петерсона [ править ]

Можно определить карту из комплекса брюк в пространство Тейхмюллера, которое переводит разложение брюк в произвольно выбранную точку в области, где часть манжеты координат Фенхеля-Нильсена ограничена достаточно большой константой. Это квазиизометрия, когда пространство Тейхмюллера наделено метрикой Вейля-Петерсона , которая оказалась полезной при изучении этой метрики. ^[6]

Пары штанов и группы Шоттки [ править ]

Эти структуры соответствуют группам Шоттки на двух образующих (точнее, если фактор гиперболической плоскости по группе Шоттки на двух образующих гомеоморфен внутренней части пары штанов, то ее выпуклое ядро является гиперболической парой штанов, как описано выше. , и все получается в таком виде).

Двумерные кобордизмы [ править ]

Этот кобордизм звена между звеном Хопфа и разъединением топологически представляет собой пару штанов.

Кобордизм между двумя n- мерными замкнутыми многообразиями - это компактное ( n + 1) -мерное многообразие, граница которого является несвязным объединением этих двух многообразий. Категория кобордизмов размерности п +1 является категорией с объектами замкнутых многообразий размерности п и морфизмами кобордизмов между ними (обратите внимание , что определение кобордизма включает в себя определение границы к коллекторам). Обратите внимание, что одно из коллекторов может быть пустым; в частности , замкнутое многообразие размерности п + 1 рассматривается как эндоморфизм из пустого множества. Можно также составить два кобордизма, когда конец первого равен началу второго. N-мерная топологическая квантовая теория поля (TQFT) - это моноидальный функтор из категории n -кобордизмов в категорию комплексного векторного пространства (где умножение задается тензорным произведением).

В частности, кобордизмы между одномерными многообразиями (которые являются объединениями окружностей) представляют собой компактные поверхности, граница которых разделена на два непересекающихся объединения окружностей. Двумерные ТКТП соответствуют алгебрам Фробениуса , где круг (единственное связное замкнутое 1-многообразие) отображается в основное векторное пространство алгебры, а пара штанов дает продукт или копроизведение, в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты. - который коммутативен или кокоммутативен. Кроме того, карта, связанная с диском, дает счет (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки границы, которая завершает соответствие.

Заметки [ править ]

^ Рэтклифф 2006 , теорема 9.7.1.
Перейти ↑ Hatcher & Thurston 1980 .
^ Рэтклифф 2006 , теорема 9.7.3.
^ Рэтклифф 2006 , теорема 3.5.14.
^ Imayoshi & Танигучи 1992 , стр. 63.
^ Брок, Джефф (2002). «Разложение штанов и метрика Вейля-Петерсона». В Эрле, Клиффорд Дж .; Харви, Уильям Дж .; Ресиллас-Пишмиш, Севин (ред.). Комплексные многообразия и гиперболическая геометрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 27–40. DOI : 10.1090 / conm / 311/05445 . ISBN 978-0-8218-7901-6.

Ссылки [ править ]

Хэтчер, Аллен; Терстон, Уильям (1980). «Представление группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности». Топология . 19 : 221–237. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (80) 90009-9 .CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
Имаёси, Ёити; Танигучи, Масахико (1992). Введение в пространства Тейхмюллера . Springer. С. xiv + 279. ISBN 4-431-70088-9.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий, Второе издание . Springer. С. xii + 779. ISBN 978-0387-33197-3.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )

[FOOTNOTERatcliffe2006Theorem_9.7.1-1] Рэтклифф 2006 , теорема 9.7.1.

[FOOTNOTEHatcherThurston1980-2] Перейти ↑ Hatcher & Thurston 1980 .

[FOOTNOTERatcliffe2006Theorem_9.7.3-3] Рэтклифф 2006 , теорема 9.7.3.

[FOOTNOTERatcliffe2006Theorem_3.5.14-4] Рэтклифф 2006 , теорема 3.5.14.

[FOOTNOTEImayoshiTaniguchi199263-5] Imayoshi & Танигучи 1992 , стр. 63.

[6] Брок, Джефф (2002). «Разложение штанов и метрика Вейля-Петерсона». В Эрле, Клиффорд Дж .; Харви, Уильям Дж .; Ресиллас-Пишмиш, Севин (ред.). Комплексные многообразия и гиперболическая геометрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 27–40. DOI : 10.1090 / conm / 311/05445 . ISBN 978-0-8218-7901-6.