Немедленное включение

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Июнь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Instanton»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Инстантон (или псевдочастица ^{[1] [2] [3]} ) это понятие появляется в теоретической и математической физике . Инстантон является классическим решением уравнений движения ^{[примечание 1]} с конечным , ненулевым действием , либо в квантовой механике или в квантовой теории поля . Точнее, это решение уравнений движения классической теории поля в евклидовом пространстве-времени .

В таких квантовых теориях, решение уравнений движения можно рассматривать как критические точки в действии . Критическими точками действия могут быть локальные максимумы действия, локальные минимумы или седловые точки . Инстантоны важны в квантовой теории поля, потому что:

• они появляются в интеграле по путям как ведущие квантовые поправки к классическому поведению системы, и
• их можно использовать для изучения туннельного поведения в различных системах, таких как теория Янга – Миллса .

Что касается динамики , то семейства инстантонов позволяют взаимно связывать инстантоны, то есть различные критические точки уравнения движения. В физике инстантоны особенно важны, потому что конденсация инстантонов (и индуцированных шумом антиинстантонов) считается объяснением индуцированной шумом хаотической фазы, известной как самоорганизованная критичность .

Математика [ править ]

Математически инстантон Янга – Миллса является самодуальной или антисамодуальной связностью в главном расслоении над четырехмерным римановым многообразием, которое играет роль физического пространства-времени в неабелевой калибровочной теории . Инстантоны - это топологически нетривиальные решения уравнений Янга – Миллса, которые абсолютно минимизируют функционал энергии в пределах своего топологического типа. Первые такие решения были обнаружены в случае четырехмерного евклидова пространства, компактифицированного в четырехмерную сферу , и оказались локализованными в пространстве-времени, что вызвало названия псевдочастиц иинстантон .

Инстантоны Янга – Миллса были явно построены во многих случаях с помощью твисторной теории , которая связывает их с алгебраическими векторными расслоениями на алгебраических поверхностях , а также с помощью конструкции ADHM или гиперкэлеровой редукции (см. Гиперкэлерово многообразие ), сложной процедуры линейной алгебры. Новаторская работа Саймона Дональдсона , за которую он позже был награжден медалью Филдса , использовала пространство модулей инстантонов над данным четырехмерным дифференцируемым многообразием в качестве нового инварианта многообразия, которое зависит от его дифференцируемой структуры, и применила его к построению изгомеоморфные, но не диффеоморфные четырехмерные многообразия. Многие методы, разработанные при изучении инстантонов, были применены и к монополям . Это связано с тем, что магнитные монополи возникают как решения размерной редукции уравнений Янга – Миллса. ^[4]

Квантовая механика [ править ]

Инстантон может быть использована для вычисления вероятности перехода для квантово - механического туннелирования частиц через потенциальный барьер. Одним из примеров системы с инстантонным эффектом является частица в двухъямном потенциале . В отличие от классической частицы, существует отличная от нуля вероятность того, что она пересечет область потенциальной энергии, превышающей ее собственную.

Мотивация использования инстантонов [ править ]

Рассмотрим квантовую механику движения одиночной частицы внутри двухъямного потенциала . Потенциальная энергия принимает свое минимальное значение при , и они называются классическими минимумами, потому что частица стремится находиться в одном из них в классической механике. В классической механике есть два состояния с самой низкой энергией.${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$${\displaystyle x=\pm 1}$

В квантовой механике мы решаем уравнение Шредингера

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi +V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$

для определения собственных состояний энергии. Если мы сделаем это, мы найдем только уникальное состояние с самой низкой энергией вместо двух состояний. Волновая функция основного состояния локализуется в обоих классических минимумах, а не только в одном из них из-за квантовой интерференции или квантового туннелирования.${\displaystyle x=\pm 1}$

Инстантоны - это инструмент, позволяющий понять, почему это происходит в рамках полуклассического приближения формулировки интеграла по путям в евклидовом времени. Сначала мы увидим это, используя приближение ВКБ, которое приближенно вычисляет саму волновую функцию, и перейдем к введению инстантонов, используя формулировку интеграла по путям.

WKB приближение [ править ]

Один из способов вычислить эту вероятность - использовать полуклассическое приближение ВКБ , которое требует, чтобы значение было небольшим. Не зависящее от времени уравнение Шредингера для частицы имеет вид${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$

Если бы потенциал был постоянным, решением была бы плоская волна с точностью до коэффициента пропорциональности,

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$

с

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.}$

Это означает, что если энергия частицы меньше, чем потенциальная энергия, получается экспоненциально убывающая функция. Соответствующая амплитуда туннелирования пропорциональна

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

где a и b - начало и конец туннельной траектории.

Интерпретация интегралов по путям через инстантоны [ править ]

Альтернативно, использование интегралов по путям позволяет интерпретировать инстантон, и тот же результат может быть получен с помощью этого подхода. В формулировке интеграла по путям амплитуда перехода может быть выражена как

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$

Следуя процессу вращения Вика (аналитическое продолжение) в евклидово пространство-время ( ), получаем${\displaystyle it\rightarrow \tau }$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

с евклидовым действием

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

Потенциальная энергия меняет знак при вращении Вика, и минимумы переходят в максимумы, тем самым демонстрируя два «холма» максимальной энергии.${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$${\displaystyle V(x)}$

Рассмотрим теперь локальный минимум евклидова действия с двухъямным потенциалом , который мы задаем только для простоты вычислений. Поскольку мы хотим знать, как связаны два классически самых низких энергетических состояния , давайте установим и . Для и мы можем переписать евклидово действие как${\displaystyle S_{E}}$${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle a=-1}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle a=-1}$${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

Приведенное выше неравенство насыщается решением с условием и . Такие решения существуют, и решение принимает простую форму, когда и . Явная формула для инстантонного решения дается выражением${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$

Вот произвольная константа. Поскольку это решение мгновенно перескакивает из одного классического вакуума в другой , оно называется инстантоном.${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Явная формула для двухъямного потенциала [ править ]

Явная формула для собственных энергий уравнения Шредингера с двухъямным потенциалом была дана Мюллер-Кирстен ^[5] с выводом как методом возмущений (плюс граничные условия), примененным к уравнению Шредингера, так и явным выводом из интеграла по путям (и WKB). Результат следующий. Определяя параметры уравнения Шредингера и потенциала уравнениями

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

и

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

собственные значения для оказываются равными:${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Ясно, что эти собственные значения асимптотически ( ) вырождены, как и ожидалось, вследствие гармонической части потенциала.${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$

Результаты [ править ]

Результаты, полученные из математически четко определенного евклидова интеграла по путям, могут быть повернуты назад по Вику и дать те же физические результаты, что и при соответствующей обработке (потенциально расходящегося) интеграла по путям Минковского. Как видно из этого примера, вычисление вероятности перехода частицы через классически запрещенную область ( ) с помощью интеграла по траекториям Минковского соответствует вычислению вероятности перехода через классически разрешенную область (с потенциалом - V ( X${\displaystyle V(x)}$)) в евклидовом интеграле по путям (образно говоря - в евклидовой картине - этот переход соответствует частице, катящейся с одного холма двухъямного потенциала, стоящего на голове, к другому холму). Это классическое решение евклидовых уравнений движения часто называют «кинковым решением» и является примером инстантона . В этом примере два «вакуума» (т.е. основные состояния) двухъямного потенциала превращаются в холмы в евклидовой версии проблемы.

Таким образом, инстантонное полевое решение (евклидовой, т.е. с мнимым временем) (1 + 1) -мерной теории поля - квантово-квантовое первое описание - позволяет интерпретировать как туннельный эффект между двумя вакуумами (основными состояниями - выше). состояния требуют периодических инстантонов) физической (одномерное пространство + реальное время) системы Минковского. В случае двухъямного потенциала написано

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$

инстантон, т.е. решение

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$

(т.е. с энергией ), является${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$

где - евклидово время.${\displaystyle \tau =it}$

Обратите внимание, что наивная теория возмущений вокруг одного из этих двух вакуумов (в соответствии с описанием Минковского) никогда не продемонстрирует этот непертурбативный туннельный эффект , резко изменив картину вакуумной структуры этой квантово-механической системы. Фактически, наивная теория возмущений должна быть дополнена граничными условиями, которые обеспечивают непертурбативный эффект, как видно из приведенной выше явной формулы и аналогичных расчетов для других потенциалов, таких как косинусный потенциал (см. Функцию Матье ) или другие периодические потенциалы. (см., например, функцию Ламе и сфероидальную волновую функцию ) и независимо от того, используется ли уравнение Шредингера или интеграл по путям .^[6]

Следовательно, пертурбативный подход не может полностью описать вакуумную структуру физической системы. Это может иметь важные последствия, например, в теории «аксионов», где нетривиальные эффекты вакуума КХД (например, инстантоны ) явно портят симметрию Печчеи – Куинна и превращают безмассовые бозоны Намбу – Голдстоуна в массивные псевдо-Намбу – Голдстоуна. ед .

Периодические инстантоны [ править ]

В одномерной теории поля или квантовой механике "инстантон" определяется конфигурация поля, которая является решением классического (ньютоновского) уравнения движения с евклидовым временем и конечным евклидовым действием. В контексте теории солитонов соответствующее решение известно как кинк . Ввиду их аналогии с поведением классических частиц такие конфигурации или решения, а также другие вместе известны как псевдочастицы или псевдоклассические конфигурации. Решение «инстантон» (кинк) сопровождается другим решением, известным как «анти-инстантон» (анти-кинк), а инстантон и антиинстантон различаются «топологическими зарядами» «+1 и −1. соответственно, но имеют такое же евклидово действие.

«Периодические инстантоны» - это обобщение инстантонов. ^[7] В явном виде они выражаются в терминах якобианских эллиптических функций, которые являются периодическими функциями (фактически обобщениями тригонометрических функций). В пределе бесконечного периода эти периодические инстантоны - часто известные как «отскоки», «пузыри» и т.п. - сводятся к инстантонам.

Стабильность этих псевдоклассических конфигураций может быть исследована путем расширения лагранжиана, определяющего теорию, вокруг конфигурации псевдочастиц, а затем исследования уравнения малых флуктуаций вокруг нее. Для всех версий потенциалов четвертой степени (двухъямных, перевернутых двухъямных) и периодических (Матье) потенциалов эти уравнения были обнаружены как уравнения Ламе, см. Функции Ламе . ^[8] Собственные значения этих уравнений известны и позволяют в случае нестабильности вычислить скорости затухания путем вычисления интеграла по путям. ^[9]

Инстантоны в теории скорости реакции [ править ]

В контексте теории скорости реакций периодические инстантоны используются для расчета скорости туннелирования атомов в химических реакциях. Развитие химической реакции можно описать как движение псевдочастицы по поверхности с большой потенциальной энергией (ППЭ). Тогда тепловую константу скорости можно связать с мнимой частью свободной энергии соотношением${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

посредством чего - каноническая статистическая сумма, которая вычисляется путем взятия следа оператора Больцмана в позиционном представлении.${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$

Используя вращение фитиля и отождествляя евклидово время с одним, получаем представление интеграла по путям для статистической суммы в координатах с массовым взвешиванием${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

Затем интеграл по путям аппроксимируется интегрированием наискорейшего спуска, которое учитывает только вклады от классических решений и квадратичных флуктуаций вокруг них. Это дает выражение для константы скорости в массовых координатах

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$

где - периодический инстантон, а - тривиальное решение псевдочастицы в состоянии покоя, которое представляет конфигурацию состояния реагента.${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$

Формула перевернутой двойной лунки [ править ]

Что касается двухъямного потенциала, то можно получить собственные значения для инвертированного двухъямного потенциала. Однако в этом случае собственные значения комплексные. Определение параметров уравнениями

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

собственные значения, данные Мюллер-Кирстен, для ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

Мнимая часть этого выражения согласуется с хорошо известным результатом Бендера и Ву. ^[10] В обозначениях${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

Квантовая теория поля [ править ]

Гиперсфера ${\displaystyle S^{3}}$
Гиперсферная стереографическая проекция Параллели (красные), меридианы (синие) и гипермеридианы (зеленые). [заметка 2]

При изучении квантовой теории поля (КТП) вакуумная структура теории может привлечь внимание к инстантонам. Как показывает двухъямная квантово-механическая система, наивный вакуум не может быть настоящим вакуумом теории поля. Более того, истинный вакуум теории поля может быть «перекрытием» нескольких топологически неэквивалентных секторов, так называемого « топологического вакуума ».

Хорошо поняты и иллюстративный пример инстантоном и его интерпретации могут быть найдены в контексте с QFT неабелевой калибровочной группы , ^{[примечание 3]} теории Янга-Миллса . Для теории Янга-Миллса эти неэквивалентных сектора могут быть (в соответствующей калибровке) с классификацией по третьей гомотопической группы из SU (2) (группа которого многообразие является 3-сфера ). Некий топологический вакуум («сектор» истинного вакуума) помечается неизменным преобразованием - индексом Понтрягина . Поскольку третья гомотопическая группа была обнаружена как набор целых чисел ,${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

π 3 {\displaystyle \pi _{3}} ( S 3 ) = {\displaystyle (S^{3})=} Z {\displaystyle \mathbb {Z} \,}

существует бесконечно много топологически неэквивалентных вакуумов, обозначаемых , где - соответствующий им индекс Понтрягина. Инстантон является конфигурацией поля выполнения классических уравнений движения в евклидове пространства - время, который интерпретируется как туннельный эффект между этими различными топологическими вакуумами. Он снова помечен целым числом, его индекс Понтрягина . Можно представить инстантон с индексом для количественной оценки туннелирования между топологическим вакуумом и . При Q = 1 конфигурация получила название BPST инстантон в честь ее первооткрывателей Александра Белавина , Александра Полякова , | N ⟩ {\displaystyle |N\rangle } ${\displaystyle N}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle |N\rangle }$${\displaystyle |N+Q\rangle }$Альберт С. Шварц и Ю. С. Тюпкин . Истинный вакуум теории обозначен тэтой «угол» и представляет собой перекрытие топологических секторов:

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .}$

Джерард т Хоофт впервые выполнил теоретико-полевые вычисления эффектов BPST-инстантона в теории, связанной с фермионами, в [1] . Он показал, что нулевые моды уравнения Дирака на инстантонном фоне приводят к непертурбативному мультифермионному взаимодействию в низкоэнергетическом эффективном действии.

Теория Янга – Миллса [ править ]

Классическое действие Янга – Миллса на главном расслоении со структурной группой G , базой M , связностью A и кривизной (тензор поля Янга – Миллса) F есть

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},}$

где есть форма объема на . Если скалярное произведение на , по алгебре Ли из , в которых принимает значения, определяется формой Киллинга на , то это может быть обозначено как , так${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

Например, в случае калибровочной группы U (1) , Р будет электромагнитное поле тензор . Из принципа стационарного действия следуют уравнения Янга – Миллса. Они есть

${\displaystyle \mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

Первый из них является тождеством, потому что d F = d ² A = 0, но второй - это уравнение в частных производных второго порядка для связи A , и, если вектор тока Минковского не обращается в нуль, нуль на правой стороне. второго уравнения заменяется на . Но обратите внимание, насколько похожи эти уравнения; они отличаются звездой Ходжа . Таким образом, решение более простого (нелинейного) уравнения первого порядка${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

автоматически также является решением уравнения Янга – Миллса. Это упрощение происходит на 4-х многообразиях с: так что на 2-формах. Такие решения обычно существуют, хотя их точный характер зависит от размерности и топологии базового пространства M, главного расслоения P и калибровочной группы G.${\displaystyle s=1}$${\displaystyle *^{2}=+1}$

В неабелевых теориях Янга – Миллса, и где D - внешняя ковариантная производная . Кроме того, идентичность Бьянки${\displaystyle DF=0}$${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

доволен.

В квантовой теории поля , инстантон является топологический конфигурации нетривиального поля в четырехмерном евклидове пространства (рассматривается как вращение Wick в пространстве - времени Минковского ). В частности, это относится к калибровочному полю Янга – Миллса A, которое приближается к чистой калибровке на пространственной бесконечности . Это означает, что напряженность поля

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

исчезает на бесконечности. Название инстантон происходит от того факта, что эти поля локализованы в пространстве и (евклидовом) времени - другими словами, в определенный момент.

Случай инстантонов в двумерном пространстве проще представить, поскольку он допускает простейший случай калибровочной группы , а именно U (1), которая является абелевой группой . В этом случае поле A можно представить просто как векторное поле . Инстантон - это конфигурация, в которой, например, стрелки указывают в сторону от центральной точки (то есть состояние «ежа»). В евклидовых четырех измерений , Абелева инстантность невозможно.${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Конфигурация поля инстантона сильно отличается от конфигурации поля вакуума . Из-за этого инстантоны нельзя изучать с помощью диаграмм Фейнмана , которые включают только пертурбативные эффекты. Инстантоны принципиально непертурбативны .

Энергия Янга – Миллса определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

где ∗ - двойственный по Ходжу . Если мы настаиваем на том, что решения уравнений Янга – Миллса имеют конечную энергию , то кривизна решения на бесконечности (взятая в качестве предела ) должна быть равна нулю. Это означает, что инвариант Черна – Саймонса можно определить на границе 3-мерного пространства. Это эквивалентно, согласно теореме Стокса , взятию интеграла

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

Это гомотопический инвариант, который сообщает нам, к какому гомотопическому классу принадлежит инстантон.

Поскольку интеграл от неотрицательного подынтегрального выражения всегда неотрицателен,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

для всех действительных θ. Итак, это означает

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

Если эта граница насыщена, то решением является состояние BPS . Для таких состояний либо ∗ F = F, либо ∗ F = - F в зависимости от знака гомотопического инварианта .

В Стандартной модели инстантоны присутствуют как в электрослабом секторе, так и в хромодинамическом секторе. ^[11] Эффекты инстантона важны для понимания образования конденсатов в вакууме квантовой хромодинамики (КХД) и для объяснения массы так называемой «эта-первичной частицы», голдстоуновского бозона ^{[примечание 4],} которое приобрело массы через аксиальную токовую аномалию КХД. Отметим, что иногда в теории с одним дополнительным пространственным измерением также присутствует соответствующий солитон . Недавнее исследование инстантонов связывает их с такими темами, как D-браны и черные дыры.и, конечно, вакуумная структура КХД. Например, в ориентированных теориях струн Dp-брана - это инстантон калибровочной теории в мировой ( p  + 5) -мерной калибровочной теории U ( N ) на стопке из N D ( p  + 4) -бран.

Различное количество размеров [ править ]

Инстантоны играют центральную роль в непертурбативной динамике калибровочных теорий. Тип физического возбуждения, при котором возникает инстантон, зависит от количества измерений пространства-времени, но, что удивительно, формализм для работы с этими инстантонами относительно не зависит от размерности.

В 4-мерных калибровочных теориях, как описано в предыдущем разделе, инстантоны представляют собой калибровочные расслоения с нетривиальным четырехмерным характеристическим классом . Если калибровочная симметрия является унитарной группой или специальной унитарной группой, то этот характеристический класс является вторым классом Черна , который обращается в нуль в случае калибровочной группы U (1). Если калибровочная симметрия - ортогональная группа, то этот класс является первым классом Понтрягина .

В 3-мерных калибровочных теориях с полями Хиггса , «т'Хоофт-Полякова монополи играют роль инстантонами. В 1977 году бумаг Quark конфайнмента и Топология калибровочных групп , Александр Поляков продемонстрировал , что инстантонные эффекты в 3-мерном КЭДЕ в сочетании с скалярным полем приводит к массе для фотона .

В двумерных абелевых калибровочных теориях инстантоны мирового листа являются магнитными вихрями . Они ответственны за многие непертурбативные эффекты в теории струн, играя центральную роль в зеркальной симметрии .

В одномерной квантовой механике инстантоны описывают туннелирование , невидимое в теории возмущений.

4d суперсимметричные калибровочные теории [ править ]

Суперсимметричные калибровочные теории часто подчиняются теоремам о неперенормировке , которые ограничивают виды разрешенных квантовых поправок. Многие из этих теорем применимы только к поправкам, вычисляемым в теории возмущений, и поэтому инстантоны, которые не видны в теории возмущений, обеспечивают единственные поправки к этим величинам.

Теоретико-полевые методы инстантонных вычислений в суперсимметричных теориях широко изучались в 1980-х годах многими авторами. Поскольку суперсимметрия гарантирует исключение фермионных и бозонных ненулевых мод в инстантонном фоне, задействованное 'т Хоофтом вычисление инстантонной седловой точки сводится к интегрированию по нулевым модам.

В N  = 1 суперсимметричных калибровочных теориях инстантоны могут изменять суперпотенциал , иногда поднимая весь вакуум. В 1984 году Ян Аффлек , Майкл Дайн и Натан Зайберг вычислили инстантонные поправки к суперпотенциалу в своей статье « Нарушение динамической суперсимметрии в суперсимметричной КХД» . Точнее, они смогли выполнить расчет только тогда, когда теория содержит на один аромат хиральной материи меньше.чем количество цветов в специальной унитарной калибровочной группе, потому что при наличии меньшего количества ароматов непрерывная неабелева калибровочная симметрия приводит к инфракрасной расходимости, а в случае большего количества ароматов вклад равен нулю. Для этого особого выбора киральной материи могут быть выбраны вакуумные средние значения скалярных полей материи, чтобы полностью нарушить калибровочную симметрию при слабой связи, что позволяет продолжить надежный полуклассический расчет седловой точки. Затем, рассматривая возмущения, вызванные различными массовыми членами, они смогли вычислить суперпотенциал в присутствии произвольного числа цветов и ароматов, справедливый даже тогда, когда теория больше не является слабосвязанной.

В N  = 2 суперсимметричных калибровочных теориях суперпотенциал не получает квантовых поправок. Однако поправка к метрике пространства модулей вакуума из инстантонов рассчитывалась в ряде работ. Во-первых, поправка на один инстантон была вычислена Натаном Зайбергом в работе « Суперсимметрия и непертурбативные бета-функции» . Полный набор поправок для SU (2) теории Янга – Миллса был рассчитан Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном в работе « Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и конфайнмент в N = 2 суперсимметричной теории Янга – Миллса » в процессе создания предмет, который сегодня известен как теория Зайберга – Виттена. Они распространили свои вычисления на калибровочные теории SU (2) с фундаментальной материей в монополях, двойственность и нарушение киральной симметрии в N = 2 суперсимметричной КХД . Позднее эти результаты были распространены на различные калибровочные группы и содержание материи, а также в большинстве случаев был получен прямой вывод калибровочной теории. Для калибровочных теорий с калибровочной группой U (N) геометрия Зайберга-Виттена была получена из калибровочной теории с использованием статистических сумм Некрасова в 2003 году Никитой Некрасовым и Андреем Окунковым и независимо Хираку Накадзима и Кота Йошиока .

В N  = 4 суперсимметричных калибровочных теориях инстантоны не приводят к квантовым поправкам для метрики на пространстве модулей вакуума.

См. Также [ править ]

• Instanton жидкость
• Калорон
• Сидни Коулман  - американский физик
• Метод голштинской селедки
• Гравитационный инстантон
• Полуклассическая теория переходных состояний
• Уравнения Янга-Миллса
• Калибровочная теория (математика)

Ссылки и примечания [ править ]

Примечания

Цитаты

Общий

• Инстантоны в калибровочных теориях , сборник статей по инстантонам, под редакцией Михаила А. Шифмана , doi : 10.1142 / 2281
• Солитоны и инстантоны , Р. Раджараман (Амстердам: Северная Голландия, 1987), ISBN 0-444-87047-4 
• Использованию инстантонов , по Sidney Coleman в Proc. Int. Школа субъядерной физики (Эриче, 1977); и в аспектах симметрии стр. 265, Сидней Коулман, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31827-0 ; и в Instantons в калибровочных теориях 
• Солитоны, инстантоны и твисторы . М. Дунайски, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857063-9 . 
• Геометрия четырехмерных многообразий , С. К. Дональдсон, П. Б. Кронхеймер, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Словарное определение инстантона в Викисловаре