В математической области геометрической топологии , А расщепление Хегора ( датский: [he̝ˀˌkɒˀ] ( слушать ) ) представляет собой разложение компактного ориентированного 3-многообразия , что результаты от деления его на два кренделя .
Определения
Пусть V и W быть крендели рода г , и пусть ƒ быть реверсивный ориентации гомеоморфизм от границы с V до границы W . Склеивая V на W вдоль, мы получаем компактное ориентированное трехмерное многообразие
Таким образом может быть получено всякое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие; это следует из глубоких результатов Моиза о триангулируемости трехмерных многообразий . Это сильно контрастирует с многомерными многообразиями, которые не должны допускать гладких или кусочно-линейных структур. Предполагая гладкость, существование расщепления Хегора также следует из работы Смейла о разложениях на ручки из теории Морса.
Разложение M на два тела руля называется расщеплением Хегора , а их общая граница H называется поверхностью расщепления Хегора . Расщепления считаются с точностью до изотопии .
Приклеивании карты ƒ необходимо указывать только до принятия двойного смежного класса в группе классов отображений из H . Эта связь с группой классов отображения была впервые установлена WBR Lickorish .
Расщепления Хегора также можно определить для компактных 3-многообразий с краем, заменив тела руля на тела сжатия . Карта склейки находится между положительными границами тел сжатия.
Замкнутая кривая называется существенной, если она не гомотопна точке, проколу или граничной компоненте. [1]
Расщепление Хегора приводимо, если существует существенная простая замкнутая криваяна H , который ограничивает диск в обоих V и в W . Расщепление неприводимо, если оно не приводимо. Из леммы Хакена следует , что в приводимом многообразии любое расщепление приводимо.
Расщепление Хегора стабилизируется, если существуют существенные простые замкнутые кривые а также на H, гдеограничивает круг в V ,ограничивает круг в W , и а также пересекаются ровно один раз. Из теоремы Вальдхаузена следует , что всякое приводимое расщепление неприводимого многообразия стабилизировано.
Расщепление Хегора слабо приводимо, если существуют непересекающиеся существенные простые замкнутые кривые а также на H, гдеограничивает круг в V иограничивает диск в W . Расщепление является сильно неприводимым, если оно не является слабо приводимым.
Расщепление Хегора является минимальным или минимальным родом, если нет другого разбиения объемлющего трехмерного многообразия нижнего рода . Минимальное значение г поверхности расщепления является Хегора родом из М .
Обобщенные расщепления Хегора
Обобщенная Хегора из М является разложение тел сжатия и поверхности такой, что а также . Внутренние части сжимаемых тел должны быть попарно непересекающимися, и их объединение должно происходить полностью.. Поверхность образует поверхность Хегора для подмногообразия из . (Обратите внимание, что здесь каждый V i и W i может иметь более одного компонента.)
Обобщенное расщепление Хегора называется сильно неприводимым, если каждое сильно неприводимо.
Существует аналогичное понятие тонкого положения , определяемое для узлов, для расколов Хегора. Сложность связной поверхности S , c (S) , определяется как; сложность отключенной поверхности складывается из сложностей ее компонентов. Сложность обобщенного расщепления Хегора - это мульти-множество {c (S_i)} , где индекс пробегает поверхности Хегора в обобщенном расщеплении. Эти мульти-множества могут быть упорядочены лексикографическим порядком (монотонно убывающим). Обобщенное расщепление Хегора является тонким, если его сложность минимальна.
Примеры
Три сферы : Три сферы это набор векторов в с длиной один. Пересекая это сгиперплоскость дает двусферу . Это стандартное расщепление нулевого рода. С другой стороны , по Trick Александра , все многообразия , допускающих рода нулевого расщепления гомеоморфно к.
Под обычным отождествлением с участием мы можем просмотреть как живущий в . Тогда множество точек, в которых каждая координата имеет нормуобразует тор Клиффорда ,. Это стандартное расщепление на один род. (См. Также обсуждение в Hopf bundle .)
Стабилизация : Учитывая Хегор Н в М стабилизация из H формируется путем взятия связной суммы пары с парой . Легко показать, что процедура стабилизации дает стабилизированные расщепления. Индуктивно расщепление является стандартным, если оно является стабилизацией стандартного расщепления.
Пространства линз : у всех есть стандартное разбиение первого рода. Это изображение тора Клиффорда впод факторной картой, используемой для определения рассматриваемого линзового пространства. Это следует из структуры группы классов отображений на двумерный торе , что только линзовые имеют расщепления рода один.
Три-тор . Напомним, что три-торявляется декартовым произведением трех копий( кружки ). Позволять быть точкой и рассмотрим график . Это простое упражнение , чтобы показать , что V , А регулярная окрестность из, представляет собой ручку как есть . Таким образом, граница V в является расщеплением Хегора, и это стандартное расщепление . Чарльз Фроман и Джоэл Хасс доказали, что любое другое расщепление Хегора рода 3 трех-тора топологически эквивалентно этому. Мишель Буало и Жан-Пьер Оталь доказали, что в общем случае любое расщепление Хегора трехмерного тора эквивалентно результату стабилизации этого примера.
Теоремы
Лемма Александера : с точностью до изотопии существует единственное ( кусочно линейное ) вложение двухсферы в трехсферу. (В более высоких измерениях это известно как теорема Шенфлиса . Во втором измерении это теорема о кривой Жордана .) Это можно переформулировать следующим образом: расщепление по роду нуль уникален.
Теорема Вальдхаузена : каждое расщепление получается стабилизацией единственного разбиения рода нуль.
Предположим теперь, что M - замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие.
Теорема Рейдемейстера – Зингера : для любой пары расщеплений а также в M есть третье расщеплениев M, что является стабилизацией обоих.
Лемма Хакена : предположим, чтоявляется существенной двумерной сферой в M, а H - расщеплением Хегора. Тогда существует существенная двумерная сферав M пересекается с H на одной кривой.
Классификации
Существует несколько классов трехмерных многообразий, для которых полностью известно множество расщеплений Хегора. Например, теорема Вальдхаузена показывает, что все расщеплениястандартные. То же самое верно и для линзовых пространств (как доказали Фрэнсис Бонахон и Отал).
Расщепления волоконных пространств Зайферта более тонкие. Здесь все расщепления могут быть изотопными, чтобы быть вертикальными или горизонтальными (как доказали Йоав Мориа и Дженнифер Шультенс ).
Купер и Шарлеманн (1999) классифицировали расщепления расслоений торов (которые включают все трехмерные многообразия с геометрией Соля ). Из их работы следует, что все торические расслоения имеют единственное расщепление минимального рода. Все остальные расщепления торического расслоения являются стабилизациями минимального рода один.
По состоянию на 2008 г. единственными трехмерными гиперболическими многообразиями, расщепления которых были классифицированы по Хегору, были двухмостовые узловые дополнения в статье Цуоши Кобаяши.
Приложения и подключения
Минимальные поверхности
Расщепления Хегора впервые появились в теории минимальных поверхностей в работе Блейна Лоусона, который доказал, что вложенные минимальные поверхности в компактные многообразия положительной секционной кривизны являются расщеплениями Хегора. Этот результат был распространен Уильямом Миксом на плоские многообразия, за исключением того, что он доказал, что вложенная минимальная поверхность в плоское трехмерное многообразие является либо поверхностью Хегора, либо вполне геодезической .
Микс и Шинг-Тунг Яу продолжили использовать результаты Вальдхаузена для доказательства результатов о топологической единственности минимальных поверхностей конечного рода в. Окончательная топологическая классификация вложенных минимальных поверхностей вбыло дано Миксом и Фроманом. Результат во многом опирался на методы, разработанные для изучения топологии расщеплений Хегора.
Гомология Heegaard Floer
Диаграммы Хегора, которые представляют собой простые комбинаторные описания расщеплений Хегора, широко использовались для построения инвариантов трехмерных многообразий. Самый последний пример этого является Хегор Floer гомологии в Питере Озсвата и Золтан Сабо . Теория используетсимметричное произведение поверхности Хегора как объемлющего пространства и торов, построенных из границ меридианных дисков для двух тел руля как лагранжевых подмногообразий .
История
Идея расщепления Хегора была введена Полом Хегоардом ( 1898 г. ). В то время как расщепления Хегора широко изучались математиками, такими как Вольфганг Хакен и Фридхельм Вальдхаузен, в 1960-х годах, только несколько десятилетий спустя эта область была обновлена Эндрю Кассоном и Кэмероном Гордоном ( 1987 ), в первую очередь благодаря их концепции сильной несводимости .
Смотрите также
- Разложение многообразия
- Обработка разложений трехмерных многообразий
- Компрессионное тело
Рекомендации
- ^ Фарб, B .; Маргалит, Д. Букварь по отображению групп классов . Издательство Принстонского университета. п. 22.
- Фарб, Бенсон ; Маргалит, Дэн, Учебник по отображению групп классов , Princeton University Press
- Кассон, Эндрю Дж .; Гордон, Кэмерон Мака. (1987), "Уменьшение Хегора", Топология и ее приложения , 27 (3): 275-283, DOI : 10,1016 / 0166-8641 (87) 90092-7 , ISSN 0166-8641 , МР 0918537
- Купер, Дэрил; Scharlemann, Martin (1999), "Структура Хегора солвмногообразию в" , турецкий журнал математики , 23 (1): 1-18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , архивируются с оригинала на 2011-08-22 , получено 2020-01-11
- Хегора, Poul (1898), Forstudier сезам ан topologisk Teori для де algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Thesis (на датском языке ), JFM 29.0417.02
- Хемпель, Джон (1976), 3-многообразия , Annals of Mathematics Studies, 86 , Princeton University Press , ISBN 978-0-8218-3695-8, Руководство по ремонту 0415619