Полином александра

В математике , то многочлен Александер является инвариант узла , который назначает многочлен с целыми коэффициентами для каждого типа узла. Джеймс Уоддел Александр II открыл этот первый многочлен узла в 1923 году. В 1969 году Джон Конвей показал, что версия этого многочлена, теперь называемая многочленом Александера – Конвея , может быть вычислена с использованием отношения мотков , хотя ее значение не было осознано до тех пор, пока открытие многочлена Джонсав 1984 году. Вскоре после того, как Конвей переработал многочлен Александера, стало ясно, что подобное отношение клубка было показано в статье Александра о его многочлене. ^[1]

Определение [ править ]

Пусть K - узел в 3-сфере . Пусть X бесконечная циклическая крышка из узла дополнения в K . Это покрытие может быть получено путем разрезания узла дополнения вдоль поверхности Зейферты из K и склеивания бесконечного числа копий полученного многообразия с краем циклическим образом. Существует покрытие преобразование т , действующее на X . Рассмотрим первые гомологии (с целыми коэффициентами) X , обозначенные . Преобразование t действует на гомологии, поэтому мы можем рассматривать${\ displaystyle H_ {1} (X)}$${\ displaystyle H_ {1} (X)}$модуль над кольцом многочленов Лорана . Это называется инвариантом Александера или модулем Александера .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [т, т ^ {- 1}]}$

Модуль конечно презентабельный; матрица представления для этого модуля называется матрицей Александера . Если число образующих, г , меньше или равна числу отношений, ы , то мы рассмотрим идеал , порожденный всеми г по г миноров матрицы; это нулевой идеал Фиттинга или идеал Александера и не зависит от выбора матрицы представления. Если r> s , установите идеал равным 0. Если идеал Александера главный, возьми генератор; это называется многочленом Александера узла. Поскольку это единственно только с точностью до умножения на моном Лорана , часто фиксируется конкретная уникальная форма. Александр выбрал нормировку, чтобы полином имел положительный постоянный член .${\ displaystyle \ pm t ^ {n}}$

Александр доказал, что идеал Александера ненулевой и всегда главный. Таким образом, многочлен Александера всегда существует и, очевидно, является инвариантом узла, обозначенным . Многочлен Александера для узла, сконфигурированного только одной строкой, является многочленом от t ^2, а затем это тот же многочлен для узла с зеркальным отображением. А именно, он не может отличить узел от узла по его зеркальному отображению.${\ Displaystyle \ Delta _ {K} (т)}$

Вычисление полинома [ править ]

Следующая процедура вычисления полинома Александера была дана Дж. В. Александром в его статье. ^[2]

Возьмем ориентированную диаграмму узла с n перекрестками; есть п  + 2 области диаграммы узла. Чтобы вычислить полином Александера, сначала нужно создать матрицу инцидентности размера ( n , n  + 2). В п строк соответствуют п пересечений, а п  + 2 колонки в регионы. Значения элементов матрицы равны 0, 1, −1, t , - t .

Рассмотрим запись, соответствующую конкретному региону и пересечению. Если регион не примыкает к перекрестку, вход равен 0. Если регион находится рядом с перекрестком, вход зависит от его местоположения. В следующей таблице приведены записи, определяемые местоположением региона на пересечении с точки зрения входящей линии пересечения.

слева до перехода: - t

справа до перехода: 1

слева после перехода: t

справа после андеркроссинга: −1

Удалите из матрицы два столбца, соответствующие соседним областям, и определите определитель новой матрицы n на n . В зависимости от удаленных столбцов ответ будет отличаться умножением на , где степень n не обязательно является количеством пересечений в узле. Чтобы устранить эту неоднозначность, разделите максимально возможную степень t и умножьте, если необходимо, на -1, чтобы постоянный член был положительным. Это дает многочлен Александера.${\ displaystyle \ pm t ^ {n}}$

Многочлен Александера также может быть вычислен из матрицы Зейферта .

После работы Дж. В. Александера Ральф Фокс рассмотрел копредставление группы узлов и ввел некоммутативное дифференциальное исчисление Фокса (1961) , которое также позволяет выполнять вычисления . Подробное описание этого подхода к высшим многочленам Александера можно найти в книге Crowell & Fox (1963) .${\ displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {3} \ обратная косая черта K)}$${\ Displaystyle \ Delta _ {K} (т)}$

Основные свойства полинома [ править ]

Полином Александера симметричен: для всех узлов K.${\ Displaystyle \ Delta _ {K} (t ^ {- 1}) = \ Delta _ {K} (t)}$

С точки зрения определения, это выражение изоморфизма двойственности Пуанкаре, где - фактор поля частных от by , рассматриваемого как -модуль, а где - сопряженный -модуль к, т.е. как абелева группа он идентичен, но покрывающее преобразование действует .${\ displaystyle {\ overline {H_ {1} X}} \ simeq \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {Z} [t, t ^ {- 1}]} (H_ {1} X, G)}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [т, т ^ {- 1}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [т, т ^ {- 1}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [т, т ^ {- 1}]}$${\ displaystyle {\ overline {H_ {1} X}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [т, т ^ {- 1}]}$${\ displaystyle H_ {1} X}$${\ displaystyle H_ {1} X}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t ^ {- 1}}$

Кроме того, Александр полиномиальное принимает значение единицы на 1: .${\ Displaystyle \ Delta _ {K} (1) = \ pm 1}$

С точки зрения определения, это выражение того факта, что узловое дополнение является гомологической окружностью, порожденной накрывающим преобразованием . В более общем смысле, если это 3-многообразие, такое, что у него есть многочлен Александера, определенный как идеал порядка его бесконечного циклического накрывающего пространства. В этом случае с точностью до знака равно порядку подгруппы кручения группы .${\ displaystyle t}$${\displaystyle M}$${\displaystyle rank(H_{1}M)=1}$${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$${\displaystyle H_{1}M}$

Известно, что каждый интегральный многочлен Лорана, который одновременно является симметричным и равен единице в 1, является многочленом Александера узла (Kawauchi 1996).

Геометрическое значение полинома [ править ]

Поскольку идеал Александера является главным, тогда и только тогда, когда коммутатор группы узлов совершен (т. Е. Равен своей собственной коммутаторной подгруппе ).${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}$

Для топологически срезанного узла многочлен Александера удовлетворяет условию Фокса – Милнора, где - некоторый другой целочисленный многочлен Лорана.${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$${\displaystyle f(t)}$

Род узлов дважды ограничен снизу степенью многочлена Александера.

Майкл Фридман доказал, что узел в 3-сфере является топологически срезанным ; т.е. ограничивает «локально-плоский» топологический диск в 4-шаре, если многочлен Александера узла тривиален (Freedman and Quinn, 1990).

Кауфман (1983) описывает первое построение полинома Александера с помощью сумм состояний, полученных из физических моделей. Обзор этой темы и других связей с физикой дан в Kauffman (2001) . harvtxt error: no target: CITEREFKauffman2001 (help)

Есть и другие отношения с поверхностями и гладкой 4-мерной топологией. Например, при определенных предположениях есть способ изменить гладкое 4-многообразие , выполнив операцию , состоящую в удалении окрестности двумерного тора и замене ее узловым дополнением, пересеченным с S ¹ . Результатом является гладкое 4-мерное многообразие, гомеоморфное исходному, хотя теперь инвариант Зайберга – Виттена был модифицирован путем умножения на многочлен Александера узла. ^[3]

Известно, что узлы с симметриями имеют ограниченные многочлены Александера. См. Раздел о симметрии в (Kawauchi 1996). Тем не менее, многочлен Александера может не обнаруживать некоторые симметрии, например сильную обратимость.

Если узел дополняет слои над окружностью, то многочлен Александера узла, как известно, является моническим (коэффициенты членов старшего и младшего порядков равны ). Фактически, если - расслоение, где - дополнение к узлу, пусть представляет монодромию , тогда где - индуцированное отображение на гомологиях.${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle g:S\to S}$${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$

Отношение к спутниковым операциям [ править ]

Если узел является узлом- спутником с узлом- образцом (существует такое вложение , что , где - содержащий полноторий без узлов ), то , где - целое число, представляющее in .${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$${\displaystyle K=f(K')}$${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$

Примеры: Для соединительной суммы . Если раскрученный дубль Уайтхеда , то .${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\pm 1}$

Полином Александра – Конвея [ править ]

Александер доказал, что многочлен Александера удовлетворяет соотношению мотков. Позже Джон Конвей заново открыл это в другой форме и показал, что отношения мотка вместе с выбором значения на развязке достаточно для определения полинома. Версия Конвея - это многочлен от z с целыми коэффициентами, обозначаемый и называемый многочленом Александера – Конвея (также известный как многочлен Конвея или многочлен Конвея – Александера ).${\displaystyle \nabla (z)}$

Предположим, нам дана ориентированная диаграмма связей, где есть диаграммы связей, полученные в результате изменений пересечения и сглаживания в локальной области указанного пересечения диаграммы, как показано на рисунке. ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

Вот соотношение мотков Конвея:

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$ (где O - любая диаграмма развязки)
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

Связь со стандартным многочленом Александера выражается формулой . Здесь должно быть должным образом нормализовано (умножением ), чтобы удовлетворить соотношению мотка . Заметим, что это соотношение дает многочлен Лорана от t ^1/2 .${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$${\displaystyle \Delta _{L}}$${\displaystyle \pm t^{n/2}}$${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$

См. Теорию узлов для примера вычисления полинома Конвея трилистника.

Связь с гомологией Флора [ править ]

Используя псевдоголоморфные кривые, Озсват и Сабо (2004) и Расмуссен (2003) связали биградируемую абелеву группу, называемую гомологиями узлов Флоера, с каждым изотопическим классом узлов. Градуированная эйлерова характеристика узловых гомологий Флоера - это многочлен Александера. В то время как полином Александера дает нижнюю оценку рода узла, Озсват и Сабо (2004b) показали, что гомология узла Флёра определяет род. Аналогично, в то время как многочлен Александера препятствует расслоению дополнительных узлов над окружностью, Ni (2007) harvtxt error: no target: CITEREFOzsvathSzabo2004 (help) harvtxt error: no target: CITEREFOzsvathSzabo2004b (help)показал, что гомология узлов Флоера полностью определяет, когда узел дополняет слои над окружностью. Группы гомологий Флоера узла являются частью семейства инвариантов гомологий Флоера Хегора; см. гомологии Флоера для дальнейшего обсуждения.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамс, Колин С. (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов (пересмотренное издание оригинального издания 1994 г.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3678-1. (доступное введение с использованием подхода мотков)
• Александр, JW (1928). «Топологические инварианты узлов и зацеплений» . Труды Американского математического общества . 30 (2): 275–306. DOI : 10.2307 / 1989123 . JSTOR  1989123 .
• Кроуэлл, Ричард; Фокс, Ральф (1963). Введение в теорию узлов . Джинн и Ко после Springer Verlag 1977 года.
• Фокс, Ральф (1961). «Быстрое путешествие по теории узлов, в топологии трех многообразий» (Труды Института топологии 1961 г. при Университете Джорджии, под редакцией М.К.Форта). Энглвудские скалы. Нью-Джерси: Прентис-Холл: 120–167. Cite journal requires |journal= (help)
• Фридман, Майкл Х .; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий . Принстонский математический ряд. 39 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08577-7.
• Кауфман, Луи (1983). «Теория формального узла». Издательство Принстонского университета . Cite journal requires |journal= (help)
• Кауфман, Луи (2012). Узлы и физика (4-е изд.). Мировая научная издательская компания. ISBN 978-981-4383-00-4.
• Каваути, Акио (1996). Обзор теории узлов . Бирхаузер. (охватывает несколько различных подходов, объясняет отношения между различными версиями полинома Александера)
• Озсват, Питер ; Сабо, Золтан (2004). «Голоморфные диски и инварианты узлов». Успехи в математике . 186 (1): 58–116. arXiv : math / 0209056 . Bibcode : 2002math ...... 9056O . DOI : 10.1016 / j.aim.2003.05.001 .
• Озсват, Питер ; Сабо, Золтан (2004b). «Голоморфные диски и родовые границы». Геометрия и топология . 8 (2004): 311–334. arXiv : математика / 0311496 . DOI : 10,2140 / gt.2004.8.311 .
• Ни, Йи (2007). «Узел Гомология Флора обнаруживает расслоенные узлы». Inventiones Mathematicae . Изобретать. Математика. 170 (3): 577–608. arXiv : math / 0607156 . Bibcode : 2007InMat.170..577N . DOI : 10.1007 / s00222-007-0075-9 .
• Расмуссен, Джейкоб (2003). Гомологии Флоера и узловые дополнения (Диссертация). Гарвардский университет. п. 6378. arXiv : math / 0306378 . Bibcode : 2003math ...... 6378R .
• Рольфсен, Дейл (1990). Узлы и ссылки (2-е изд.). Беркли, Калифорния: Опубликовать или погибнуть. ISBN 978-0-914098-16-4. (объясняет классический подход с использованием инварианта Александера; таблица узлов и связей с полиномами Александера)

Внешние ссылки [ править ]

• "Инварианты Александера" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• « Главная страница » и « Многочлен Александера-Конвея », Атлас узлов . - таблицы узлов и связей с вычисленными многочленами Александера и Конвея