Линеаризация

В математике , линеаризация находит линейное приближение к функции в данной точке. Линейное приближение функции - это разложение Тейлора первого порядка вокруг интересующей точки. При исследовании динамических систем , линеаризация представляет собой способ оценки локальной стабильности в качестве точки равновесия в виде системы из нелинейных дифференциальных уравнений или дискретных динамических систем . ^[1] Этот метод используется в таких областях, как инженерия , физика ,экономика и экология .

Линеаризация функции [ править ]

Линеаризациями функции являются линии - обычно линии, которые можно использовать для расчетов. Линеаризация - это эффективный метод аппроксимации выхода функции в любой точке на основе значения и наклона функции в точке , при условии, что она дифференцируема по (или ) и близка к . Короче говоря, линеаризация приближает результат функции, близкой к . ${\ Displaystyle у = е (х)}$ ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ displaystyle x = b}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$ ${\ Displaystyle [б, а]}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle х = а}$

Например, . Однако что было бы хорошим приближением ? ${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {4.001}} = {\ sqrt {4 + .001}}}$

Для любой заданной функции , можно приблизить , если он находится рядом с известной дифференцируемой точкой. Самым основным требованием является то , что , где - линеаризация at . Форма точка наклона уравнения образует уравнение прямой, учитывая точку и наклон . Общий вид этого уравнения: . ${\ Displaystyle у = е (х)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle L_ {а} (а) = е (а)}$ ${\ Displaystyle L_ {а} (х)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ displaystyle (H, K)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle уК = М (хН)}$

Используя точку , становится . Поскольку дифференцируемые функции являются локально линейными , лучшим наклоном для замены будет наклон прямой, касательной к at . ${\ Displaystyle (а, е (а))}$ ${\ Displaystyle L_ {а} (х)}$ ${\ Displaystyle у = е (а) + М (ха)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle х = а}$

В то время как концепция локальной линейности наиболее применима к точкам, произвольно близким к , те относительно близкие работают относительно хорошо для линейных приближений. Уклон должен быть, точнее всего, наклоном касательной в точке . ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle х = а}$

Приближение f (x) = x ^ 2 at ( x , f ( x ))

Визуально на прилагаемой диаграмме показана касательная к точке at . At , где любое небольшое положительное или отрицательное значение, очень близко к значению касательной в точке . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f (х + ч)}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ Displaystyle f (х + ч)}$ ${\ Displaystyle (х + ч, L (х + ч))}$

Окончательное уравнение для линеаризации функции при : ${\ Displaystyle х = а}$

${\ Displaystyle у = (е (а) + е '(а) (ха))}$

Для , . Производная от это , и наклон на это . ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ Displaystyle е (а) = е (х)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle f '(x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f '(а)}$

Пример [ править ]

Чтобы найти , мы можем использовать тот факт, что . Линеаризация at происходит потому, что функция определяет наклон функции at . Подставив , получим линеаризацию на 4 . В этом случае , так приблизительно . Истинное значение близко к 2.00024998, поэтому приближение линеаризации имеет относительную ошибку менее 1 миллионной доли процента. ${\ displaystyle {\ sqrt {4.001}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$ ${\ Displaystyle х = а}$ ${\ displaystyle y = {\ sqrt {a}} + {\ frac {1} {2 {\ sqrt {a}}}} (xa)}$ $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ $f(x)={\sqrt {x}}$ $x$ $a=4$ $y=2+{\frac {x-4}{4}}$ $x=4.001$ ${\sqrt {4.001}}$ $2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$

Линеаризация функции с несколькими переменными [ править ]

Уравнение линеаризации функции в точке : $f(x,y)$ $p(a,b)$

$f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)$

Общее уравнение линеаризации функции многих переменных в точке : $f(\mathbf {x} )$ $\mathbf {p}$

$f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })$

где - вектор переменных, а - интересующая точка линеаризации. ^[2] $\mathbf {x}$ $\mathbf {p}$

Использование линеаризации [ править ]

Линеаризация позволяет использовать инструменты исследования линейных систем для анализа поведения нелинейной функции вблизи заданной точки. Линеаризация функции - это член первого порядка ее разложения Тейлора вокруг интересующей точки. Для системы, определяемой уравнением

{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)

,

линеаризованная система может быть записана как

{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )

где есть точка интереса и является якобиан из оценивается в . $\mathbf {x_{0}}$ $D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )$ $\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ $\mathbf {x_{0}}$

Анализ устойчивости [ править ]

В стабильности анализа автономных систем , можно использовать собственные значения на матрицы Якоби вычисляется на гиперболической точки равновесия , чтобы определить природу этого равновесия. Это содержание теоремы о линеаризации . Для нестационарных систем линеаризация требует дополнительного обоснования. ^[3]

Микроэкономика [ править ]

В микроэкономике , правила принятия решений могут быть приближены под пространством состояний подхода к линеаризации. ^[4] В соответствии с этим подходом, что уравнения Эйлера о задаче максимизации полезности линеаризуются вокруг стационарного стационарного состояния. ^[4] Затем находится единственное решение полученной системы динамических уравнений. ^[4]

Оптимизация [ править ]

При математической оптимизации функции затрат и нелинейные компоненты внутри могут быть линеаризованы для применения метода линейного решения, такого как симплексный алгоритм . Оптимизированный результат достигается намного эффективнее и детерминирован как глобальный оптимум .

Мультифизика [ править ]

В мультифизических системах - системах, включающих несколько физических полей, которые взаимодействуют друг с другом, - может выполняться линеаризация по каждому из физических полей. Эта линеаризация системы по отношению к каждому из полей приводит к линеаризованной монолитной системе уравнений, которая может быть решена с использованием процедур монолитного итерационного решения, таких как метод Ньютона-Рафсона . Примеры этого включают системы сканирования МРТ, которые создают систему электромагнитных, механических и акустических полей. ^[5]

См. Также [ править ]

Линейная устойчивость
Матрица касательной жесткости
Производные устойчивости
Теорема линеаризации
Приближение Тейлора
Функциональное уравнение (L-функция)

Ссылки [ править ]

^ Проблема линеаризации в сложных динамических системах размерности один в Scholarpedia
^ Линеаризация. Университет Джона Хопкинса. Департамент электротехники и вычислительной техники. Архивировано 07 июня 2010 г. в Wayback Machine.
^ Леонов, Г.А.; Кузнецов, Н.В. (2007). «Нестационарная линеаризация и эффекты Перрона». Международный журнал бифуркаций и хаоса . 17 (4): 1079–1107. Bibcode : 2007IJBC ... 17.1079L . DOI : 10.1142 / S0218127407017732 .
^ a b c Моффат, Майк. (2008) Глоссарий по экономике государственного и космического подхода на сайте About.com ; Условия, начиная с S. По состоянию на 19 июня 2008 г.
^ Bagwell, S .; Ledger, PD; Гил, AJ; Mallett, M .; Круип, М. (2017). « Линеаризованная конструкция HP - конечных элементов для акустомагнитомеханической связи в осесимметричных сканерах МРТ» . Международный журнал численных методов в инженерии . 112 (10): 1323–1352. Bibcode : 2017IJNME.112.1323B . DOI : 10.1002 / nme.5559 .

Внешние ссылки [ править ]

Учебники по линеаризации [ править ]

Линеаризация для анализа моделей и разработки средств управления

[1] Проблема линеаризации в сложных динамических системах размерности один в Scholarpedia

[2] Линеаризация. Университет Джона Хопкинса. Департамент электротехники и вычислительной техники. Архивировано 07 июня 2010 г. в Wayback Machine.

[3] Леонов, Г.А.; Кузнецов, Н.В. (2007). «Нестационарная линеаризация и эффекты Перрона». Международный журнал бифуркаций и хаоса . 17 (4): 1079–1107. Bibcode : 2007IJBC ... 17.1079L . DOI : 10.1142 / S0218127407017732 .

[statespace-4] Моффат, Майк. (2008) Глоссарий по экономике государственного и космического подхода на сайте About.com ; Условия, начиная с S. По состоянию на 19 июня 2008 г.

[5] Bagwell, S .; Ledger, PD; Гил, AJ; Mallett, M .; Круип, М. (2017). « Линеаризованная конструкция HP - конечных элементов для акустомагнитомеханической связи в осесимметричных сканерах МРТ» . Международный журнал численных методов в инженерии . 112 (10): 1323–1352. Bibcode : 2017IJNME.112.1323B . DOI : 10.1002 / nme.5559 .

[1]