Точка равновесия

Диаграмма устойчивости, классифицирующая отображения Пуанкаре линейной автономной системы как стабильные или нестабильные в зависимости от их характеристик. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. ^[1] Некоторый сток, источник или узел являются точками равновесия .${\displaystyle x'=Ax,}$

В математике , особенно в дифференциальных уравнениях , точка равновесия - это постоянное решение дифференциального уравнения.

Формальное определение [ править ]

Точка является точкой равновесия для дифференциального уравнения${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

если для всех .${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$${\displaystyle t}$

Точно так же точка является точкой равновесия (или фиксированной точкой ) для разностного уравнения${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

если для .${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

Равновесия можно классифицировать, глядя на знаки собственных значений линеаризации уравнений относительно равновесий. Другими словами, оценивая матрицу Якоби в каждой из точек равновесия системы, а затем находя результирующие собственные значения, состояния равновесия можно классифицировать. Затем поведение системы в окрестности каждой точки равновесия может быть определено качественно (или даже количественно в некоторых случаях) путем нахождения собственного вектора (ов), связанного с каждым собственным значением.

Точка равновесия является гиперболической, если ни одно из собственных значений не имеет нулевой действительной части. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, равновесие является устойчивым уравнением. Если хотя бы одна из них имеет положительную действительную часть, равновесие является неустойчивым узлом. Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является седловой точкой .

См. Также [ править ]

• Автономное уравнение
• Критическая точка
• Устойчивое состояние

Ссылки [ править ]

• Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард К. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.). Вайли. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (3-е изд.). Springer. С. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.