При исследовании динамических систем , гиперболической точка равновесия или гиперболической неподвижная точка является неподвижной точкой , которая не имеет каких - либо центров многообразия . Вблизи гиперболической точки орбиты двумерной недиссипативной системы напоминают гиперболы. В целом это не выполняется. Строгац отмечает, что «гиперболический - неудачное название - похоже, оно должно означать« седловая точка »- но оно стало стандартом». [1] Некоторые свойства имеют место в окрестности гиперболической точки, в частности [2]
- Существуют устойчивое многообразие и неустойчивое многообразие,
- Происходит затенение ,
- Динамика на инвариантном множестве может быть представлена через символическую динамику ,
- Можно определить естественную меру,
- Система структурно устойчива .
Карты
Если является отображением C 1 и p является неподвижной точкой, тогда p называется гиперболической неподвижной точкой, когда матрица Якоби не имеет собственных значений на единичной окружности .
Одним из примеров карты , единственная фиксированная точка которой является гиперболической, является карта кошки Арнольда :
Поскольку собственные значения даются
Мы знаем, что показатели Ляпунова:
Следовательно, это седловая точка.
Потоки
Позволять быть С 1 векторное поле с критической точки р , т, Р ( р ) = 0, и пусть J обозначим матрицу Якоби из F на р . Если матрица J не имеет собственных значений с нулевыми действительными частями, то p называется гиперболической . Гиперболические неподвижные точки также можно назвать гиперболическими критическими точками или элементарными критическими точками . [3]
Теорема Хартмана – Гробмана утверждает, что структура орбит динамической системы в окрестности точки гиперболического равновесия топологически эквивалентна структуре орбит линеаризованной динамической системы.
Пример
Рассмотрим нелинейную систему
(0, 0) - единственная точка равновесия. Линеаризация в состоянии равновесия равна
Собственные значения этой матрицы: . Для всех значений α ≠ 0 собственные значения имеют ненулевую действительную часть. Таким образом, эта точка равновесия является точкой гиперболического равновесия. Линеаризованная система будет вести себя аналогично нелинейной системе вблизи (0, 0). Когда α = 0, система имеет негиперболическое равновесие в точке (0, 0).
Комментарии
В случае бесконечномерной системы - например, систем с временной задержкой - понятие «гиперболическая часть спектра» относится к вышеупомянутому свойству.
Смотрите также
Заметки
- ^ Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос . Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.
- ^ Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43799-7.
- ^ Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Месса для чтения: Бенджамин / Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X.
Рекомендации
- Евгений Михайлович Ижикевич (ред.). «Равновесие» . Scholarpedia .