В математике , при изучении динамических систем , то теорема Хартман-Гробмане или линеаризацию теорема является теорема о локальном поведении динамических систем в окрестностях из более гиперболической точки равновесия . Он утверждает, что линеаризация - естественное упрощение системы - эффективна для предсказания качественных моделей поведения. Теорема обязана своим названием Филиппу Хартману и Дэвиду М. Гробману .
Теорема утверждает, что поведение динамической системы в области вблизи точки гиперболического равновесия качественно совпадает с поведением ее линеаризации вблизи этой точки равновесия, где гиперболичность означает, что никакое собственное значение линеаризации не имеет действительной части, равной нулю. Следовательно, имея дело с такими динамическими системами, можно использовать более простую линеаризацию системы для анализа ее поведения вокруг состояний равновесия. [1]
Основная теорема
Рассмотрим систему, развивающуюся вместе с государством. которое удовлетворяет дифференциальному уравнению для какой-то гладкой карты . Предположим, что карта находится в состоянии гиперболического равновесия: это, и матрица Якоби из в состоянии не имеет собственного значения с действительной частью, равной нулю. Тогда существует окрестность равновесия и гомеоморфизм , так что и такой, что по соседству поток изявляется топологический сопряжено с помощью непрерывного отображения к потоку его линеаризации . [2] [3] [4] [5]
Даже для бесконечно дифференцируемых отображений , гомеоморфизм не обязательно быть гладкими или даже локально липшицевыми. Однако он оказывается непрерывным по Гёльдеру с показателем, зависящим от константы гиперболичности. [6]
Теорема Хартмана – Гробмана была распространена на бесконечномерные банаховы пространства, неавтономные системы. (потенциально стохастический) и для учета топологических различий, возникающих при наличии собственных значений с нулевой или близкой к нулю действительной частью. [7] [8] [9] [10]
Пример
Алгебра, необходимая для этого примера, легко выполняется веб-службой, которая вычисляет преобразования координат нормальной формы систем дифференциальных уравнений, автономных или неавтономных, детерминированных или стохастических . [11]
Рассмотрим двумерную систему в переменных эволюционирует согласно паре связанных дифференциальных уравнений
Прямым вычислением можно увидеть, что единственное равновесие этой системы находится в начале координат, то есть . Координатное преобразование, где , данный
это сглаженная карта между исходным и новые координаты, по крайней мере, около положения равновесия в начале координат. В новых координатах динамическая система переходит в свою линеаризацию.
То есть искаженная версия линеаризации дает исходную динамику в некоторой конечной окрестности.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Эрроусмит, ДК; Место, CM (1992). «Теорема о линеаризации» . Динамические системы: дифференциальные уравнения, карты и хаотическое поведение . Лондон: Чепмен и Холл. С. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7.
- ^ Гробман Д.М. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений". Доклады Академии Наук СССР . 128 : 880–881.
- ^ Хартман, Филипп (август 1960). «Лемма теории структурной устойчивости дифференциальных уравнений» . Proc. AMS . 11 (4): 610–620. DOI : 10.2307 / 2034720 . JSTOR 2034720 .
- ^ Хартман, Филипп (1960). «О локальных гомеоморфизмах евклидовых пространств». Бол. Soc. Математика. Мексикана . 5 : 220–241.
- ^ Чикон, К. (2006). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями . Тексты по прикладной математике. 34 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.
- ^ Белицкий, Генрих; Райскин, Виктория (2011). «О теореме Гробмана – Хартмана в классе α-Гёльдера для банаховых пространств» (PDF) . Рабочий документ .
- ^ Aulbach, B .; Ваннер, Т. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». In Aulbach, B .; Колониус, Ф. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам . Сингапур: World Scientific. С. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.
- ^ Aulbach, B .; Ваннер, Т. (1999). "Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах". В Lakshmikantham, V .; Мартынюк, А.А. (ред.). Успехи теории устойчивости в конце 20-го века . Гордон и Брич. CiteSeerX 10.1.1.45.5229 . ISBN 978-0-415-26962-9.
- ^ Aulbach, B .; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана – Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. DOI : 10.1016 / S0362-546X (00) 85006-3 .
- ^ Робертс, AJ (2008). «Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые режимы в стохастических динамических системах». Physica . 387 (1): 12–38. arXiv : math / 0701623 . Bibcode : 2008PhyA..387 ... 12R . DOI : 10.1016 / j.physa.2007.08.023 .
- ^ Робертс, AJ (2007). «Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений» . Архивировано из оригинала на 9 ноября 2013 года .
дальнейшее чтение
- Ирвин, Майкл С. (2001). «Линеаризация» . Гладкие динамические системы . World Scientific. С. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
- Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
- Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: устойчивость, символическая динамика и хаос . Бока-Ратон: CRC Press. С. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.
Внешние ссылки
- Coayla-Teran, E .; Mohammed, S .; Руффино, П. (февраль 2007 г.). "Теоремы Хартмана – Гробмана о гиперболических стационарных траекториях" (PDF) . Дискретные и непрерывные динамические системы . 17 (2): 281–292. DOI : 10,3934 / dcds.2007.17.281 . Архивировано из оригинального (PDF) 24 июля 2007 года . Проверено 9 марта 2007 .
- Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- «Самая захватывающая теорема в прикладной математике» . Scientific American .