Поток (математика)

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  Математика "Поток"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2020 г. )

Течение в фазовом пространстве, задаваемое дифференциальным уравнением маятника . По оси x - положение маятника, а по оси y - его скорость.

В математике , А поток формализует представление о движении частиц в жидкости. Потоки повсеместны в науке, включая инженерию и физику . Понятие потока лежит в основе изучения обыкновенных дифференциальных уравнений . Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек во времени. Более формально, поток представляет собой группу действий из действительных чисел на множестве .

Идея векторного потока , то есть потока, определяемого векторным полем , встречается в областях дифференциальной топологии , римановой геометрии и групп Ли . Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток , то гамильтонов поток , в Риччи поток , то средний поток кривизны , и Аносов потоки . Потоки также могут быть определены для систем случайных величин и случайных процессов и возникают при изучении эргодических динамических систем . Самый знаменитый из них, пожалуй,Поток Бернулли .

Формальное определение [ править ]

Поток на множестве X представляет собой группу действий из аддитивной группы из действительных чисел на X . Более точно, поток - это отображение

${\ displaystyle \ varphi: X \ times \ mathbf {R} \ rightarrow X}$

такие , что для всех х ∈ X и все действительные числа S и т ,

${\ Displaystyle \ varphi (х, 0) = х;}$

${\ displaystyle \ varphi (\ varphi (x, t), s) = \ varphi (x, s + t).}$

Принято писать φ ^t ( x ) вместо φ ( x , t ) , так что приведенные выше уравнения могут быть выражены как φ ⁰ = Id ( тождественная функция ) и φ ^s ∘ φ ^t = φ ^{s + t} (группа закон). Тогда для всех t ∈ R отображение φ ^t : X → X является биекцией с обратным φ ^{- t} : X→ X . Это следует из приведенного выше определения, и действительный параметр t может быть взят как обобщенная функциональная мощность , как при итерации функции .

Потоки, как правило , должны быть совместимы с структурами оборудованы на множестве X . В частности, если X снабжен топологией , то обычно требуется, чтобы φ была непрерывной . Если X снабжено дифференцируемой структурой , то обычно требуется, чтобы φ была дифференцируемой . В этих случаях поток образует однопараметрическую подгруппу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определенных ситуациях можно также рассматривать локальные потоки , которые определены только в некотором подмножестве

${\ displaystyle \ mathrm {dom} (\ varphi) = \ {(x, t) \ | \ t \ in [a_ {x}, b_ {x}], \ a_ {x} <0 <b_ {x} , \ x \ in X \} \ subset X \ times \ mathbb {R}}$

называется областью течения функции φ . Это часто бывает с потоками векторных полей .

Альтернативные обозначения [ править ]

Во многих областях, включая инженерию , физику и изучение дифференциальных уравнений , очень часто используется обозначение, которое делает поток неявным. Таким образом, x ( t ) записывается для φ ^t ( x ₀ ) , и можно сказать, что «переменная x зависит от времени t и начального условия x = x ₀ ». Примеры приведены ниже.

В случае потока векторного поля V на гладком многообразии X поток часто обозначается так, что его образующая указывается явно. Например,

${\displaystyle \Phi _{V}:X\times \mathbf {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).}$

Орбиты [ править ]

Учитывая й в X , то множество называется орбитой из й под ф . Неформально это можно рассматривать как траекторию частицы, которая изначально находилась в точке x . Если поток порождается векторным полем , то его орбиты являются образами его интегральных кривых .${\displaystyle \{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}}$

Примеры [ править ]

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений [ править ]

Пусть F : R ⁿ → R ⁿ - (не зависящее от времени) векторное поле, а x : R → R ⁿ - решение начальной задачи.

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Тогда φ ( х ₀ , т ) = х ( т ) является поток векторного поля F . Это хорошо определенный локальный поток при условии , что векторное поле F : R ^п → R ^п является Липшица непрерывным . Тогда φ : R ⁿ × R → R ⁿ также липшицево-непрерывно, где бы оно ни было определено. В общем, может быть трудно показать, что поток φ определен глобально, но один простой критерий состоит в том, что векторное поле Fимеет компактный носитель .

Зависящие от времени обыкновенные дифференциальные уравнения [ править ]

В случае зависящих от времени векторных полей F : R ⁿ × R → R ⁿ , обозначают φ ^{t , t ₀} ( x ₀ ) = x ( t + t ₀ ) , где x : R → R ⁿ - решение

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.}$

Тогда φ ^{т , т ₀} ( х ₀ ) является зависящим от времени поток F . Согласно приведенному выше определению, это не «поток», но его можно легко рассматривать как единое целое, переставив аргументы. А именно отображение

${\displaystyle \varphi :(\mathbf {R} ^{n}\times \mathbf {R} )\times \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n}\times \mathbf {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}$

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

${\displaystyle \varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)}$${\displaystyle =\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)}$${\displaystyle =(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})}$${\displaystyle =(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})}$${\displaystyle =({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})}$${\displaystyle =(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})}$${\displaystyle =\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).}$

Можно увидеть зависящие от времени потоки векторных полей как частные случаи не зависящих от времени с помощью следующей уловки. Определять

${\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).}$

Тогда y ( t ) является решением "не зависящей от времени" начальной задачи

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})}$

тогда и только тогда, когда x ( t ) является решением исходной зависящей от времени задачи начального значения. Кроме того, то отображение φ именно поток « не зависящее от времени» векторного поля G .

Потоки векторных полей на многообразиях [ править ]

Потоки не зависящих от времени и зависящих от времени векторных полей определены на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве R ^n, и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом в дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Решения уравнения теплопроводности [ править ]

Пусть Ω - подобласть (ограниченная или нет) в R ⁿ (с целым числом n ). Обозначим через Γ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее уравнение теплопроводности на Ω × (0, T ) при T > 0 ,

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

со следующим начально-краевым условием u (0) = u ⁰ в Ω .

Уравнение u = 0 на Γ × (0, T ) соответствует однородному граничному условию Дирихле. Математической постановкой этой проблемы может быть полугрупповой подход. Чтобы использовать этот инструмент, мы вводим неограниченный оператор Δ _D, определенный на своей области определения${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$

(см. классические соболевские пространства с и ${\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )}$

${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}}$

- замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Ω для нормы). ${\displaystyle H^{1}(\Omega )-}$

Для любого у нас есть${\displaystyle v\in D(\Delta _{D})}$

${\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.}$

С помощью этого оператора, уравнение теплопроводности становится и у (0) = U ⁰ . Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, равен (см. Обозначения выше)${\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)}$

${\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},}$

где ехр ( т Δ _D ) является (аналитическим) полугруппа , порожденным Д _D .

Решения волнового уравнения [ править ]

Снова, пусть Ω - подобласть (ограниченная или нет) в R ⁿ (с целым числом n ). Обозначим через Γ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее волновое уравнение на (при T > 0 ),${\displaystyle \Omega \times (0,T)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}}$

со следующим начальным условием u (0) = u ^1,0 в и . ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega }$

Используя тот же полугрупповой подход, что и в случае уравнения теплопроводности выше. Мы запишем волновое уравнение как уравнение в частных производных первого порядка по времени, введя следующий неограниченный оператор:

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)}$

с областью на (оператор определен в предыдущем примере). ${\displaystyle D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle \Delta _{D}}$

Введем векторы-столбцы

${\displaystyle U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)}$

(где и ) и ${\displaystyle u^{1}=u}$${\displaystyle u^{2}=u_{t}}$

${\displaystyle U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right)}$.

С этими понятиями волновое уравнение становится и . ${\displaystyle U'(t)={\mathcal {A}}U(t)}$${\displaystyle U(0)=U^{0}}$

Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, есть где - (унитарная) полугруппа, порожденная .${\displaystyle \varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}}$${\displaystyle {\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Бернулли поток [ править ]

Эргодические динамические системы , то есть системы, демонстрирующие случайность, также обладают потоками. Самый знаменитый из них - это, пожалуй, поток Бернулли . Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что для любой заданной энтропии H существует поток φ ( x , t ) , называемый потоком Бернулли, такой, что поток в момент времени t = 1 , то есть φ ( x , 1) , является потоком Бернулли. сдвиг .

Более того, этот поток уникален, вплоть до постоянного изменения масштаба времени. То есть, если ψ ( x , t ) - другой поток с той же энтропией, то ψ ( x , t ) = φ ( x , t ) для некоторой постоянной c . Понятия единственности и изоморфизма здесь - это понятие изоморфизма динамических систем . Многие динамические системы, включая биллиарды Синая и потоки Аносова , изоморфны сдвигам Бернулли.

См. Также [ править ]

• Уравнение Абеля
• Итерированная функция
• Уравнение Шредера
• Бесконечные композиции аналитических функций

Ссылки [ править ]

• Д.В. Аносов (2001) [1994], «Непрерывный поток» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Д.В. Аносов (2001) [1994], "Измеряемый поток" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Д.В. Аносов (2001) [1994], «Особый поток» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эта статья включает в себя материал из Flow on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .