Стабильный коллектор

В математике , и в частности при изучении динамических систем , идея стабильных и нестабильных множеств или стабильных и неустойчивых многообразий дает формальное математическое определение общим понятиям, воплощенным в идее аттрактора или репеллера . В случае гиперболической динамики соответствующим понятием является понятие гиперболического множества .

Физический пример [ править ]

Гравитационные приливные силы, действующие на кольца Сатурна, являются наглядным физическим примером. Приливные силы сплющивают кольцо в экваториальную плоскость, даже если растягивают его в радиальном направлении. Представляя кольца как частицы песка или гравия («пыль») на орбите вокруг Сатурна, приливные силы таковы, что любые возмущения, толкающие частицы выше или ниже экваториальной плоскости, приводят к тому, что частица ощущает восстанавливающую силу, толкая ее обратно в плоскость экватора. самолет. Частицы эффективно колеблются в гармонической яме, демпфируемой столкновениями. Устойчивое направление перпендикулярно кольцу. Неустойчивое направление - вдоль любого радиуса, где силы растягивают и разрывают частицы. Две частицы, которые стартуют очень близко друг к другу в фазовом пространствебудут испытывать радиальные силы, заставляющие их радиально расходиться. Эти силы имеют положительный показатель Ляпунова ; траектории лежат на гиперболическом многообразии, а движение частиц по существу хаотично , они блуждают по кольцам. Центральный коллектор расположен по касательной к кольцам, при этом частицы не испытывают ни сжатия, ни растяжения. Это позволяет преобладать гравитационным силам второго порядка, и поэтому частицы могут увлекаться лунами или лунами в кольцах, синхронизируя их фазу . Гравитационные силы лун эффективно обеспечивают регулярно повторяющийся небольшой толчок каждый раз вокруг орбиты , подобный удару ротора , например, в петле фазовой автоподстройки частоты .

Движение частиц в кольце в дискретном времени можно аппроксимировать отображением Пуанкаре . Карта эффективно предоставляет матрицу переноса системы. Собственный вектор, связанный с наибольшим собственным значением матрицы, - это собственный вектор Фробениуса – Перрона , который также является инвариантной мерой , то есть фактической плотностью частиц в кольце. Все остальные собственные векторы передаточной матрицы имеют меньшие собственные значения и соответствуют затухающим модам.

Определение [ править ]

Ниже дается определение для случая системы, которая является либо повторяющейся функцией, либо имеет динамику с дискретным временем. Аналогичные понятия применимы к системам, эволюция которых во времени задается потоком .

Пусть будет топологическое пространство , и гомеоморфизм . Если - фиксированная точка для , устойчивое множество определяется формулой${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle W ^ {s} (f, p) = \ {q \ in X: f ^ {n} (q) \ to p {\ mbox {as}} n \ to \ infty \}}$

а неустойчивое множество${\ displaystyle p}$ определяется формулой

${\ displaystyle W ^ {u} (f, p) = \ {q \ in X: f ^ {- n} (q) \ to p {\ mbox {as}} n \ to \ infty \}.}$

Здесь, означает обратную функцию , т. Е. Где - тождественное отображение на .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ f = id_ {X}}$${\ displaystyle id_ {X}}$${\ displaystyle X}$

Если - периодическая точка наименьшего периода , то это фиксированная точка , а устойчивые и неустойчивые множества определяются формулой${\ displaystyle p}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f ^ {k}}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle W ^ {s} (f, p) = W ^ {s} (f ^ {k}, p)}$

а также

${\ displaystyle W ^ {u} (f, p) = W ^ {u} (f ^ {k}, p).}$

Учитывая соседство с , в локальных устойчивых и неустойчивых наборов из определяются${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ for each }}n\geq 0\}}$

а также

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).}$

Если является метризуемым , мы можем определить устойчивые и неустойчивые множества для любой точки с помощью${\displaystyle X}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \}}$

а также

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

где - метрика для . Это определение явно совпадает с предыдущим, когда - периодическая точка.${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$

Предположим теперь , что это компактное гладкое многообразие , и является диффеоморфизмом , . Если гиперболическая периодическая точка, то устойчивое многообразие теоремы гарантирует , что для некоторых окрестностей из , местных устойчивых и неустойчивых множеств вложенных дисков, у которых касательных пространства на это , и (устойчивых и неустойчивые пространства ), соответственно; более того, они непрерывно (в определенном смысле) меняются в окрестности точки в топологии (пространства всех диффеоморфизмов из в себя). Наконец, устойчивые и неустойчивые множества равны${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E^{s}}$${\displaystyle E^{u}}$${\displaystyle Df(p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$инъективно погруженные диски. Вот почему их принято называть устойчивыми и неустойчивыми многообразиями . Этот результат также верен для непериодических точек, если они лежат в некотором гиперболическом множестве (теорема о стабильном многообразии для гиперболических множеств).

Замечание [ править ]

Если является (конечномерным) векторным пространством и изоморфизмом, его стабильное и неустойчивое множества называются стабильным пространством и нестабильным пространством соответственно.${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

См. Также [ править ]

• Инвариантное многообразие
• Центральный коллектор
• Предел установлен
• Юля набор
• Медленный коллектор
• Инерционный коллектор
• Нормально гиперболическое инвариантное многообразие
• Лагранжева когерентная структура

Ссылки [ править ]

• Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Месса для чтения: Бенджамин / Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X.
• Ирвин, Майкл С. (2001). «Устойчивые многообразия» . Гладкие динамические системы . World Scientific. С. 143–160. ISBN 981-02-4599-8.
• Шритаран, СС (1990). Теория инвариантных многообразий для гидродинамического перехода . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-582-06781-2.

Эта статья включает в себя материалы из Stable Manifold на PlanetMath , которые находятся под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .