Отбитый ротатор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Источники:  "Kicked rotator"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Фазовые портреты (p против x) классического ротора с ударной нагрузкой при разной силе удара. В верхнем ряду слева направо показаны K = 0,5, 0,971635, 1,3. В нижнем ряду слева направо показаны K = 2,1, 5,0, 10,0. Фазовый портрет на хаотической границе - это верхний средний график с K _C = 0,971635. При K _C и выше появляются области однородных, зернистых, квазислучайных траекторий, которые в конечном итоге поглощают весь график, указывая на хаос.

Пнул ротатор , также пишется , как пнул ротора , модель прототипа для хаоса и квантового хаоса исследований. Он описывает частицу, которая вынуждена двигаться по кольцу (эквивалентно вращающейся палке). Частица периодически толкается однородным полем (эквивалентно: гравитация включается периодически короткими импульсами). Модель описывается гамильтонианом

${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,x,t)={\frac {1}{2}}p^{2}+K\cos(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n)}$

Где - дельта-функция Дирака , - угловое положение (например, на кольце), взятое по модулю , - это импульс и - сила удара. Его динамика описывается стандартной картой${\displaystyle \textstyle \delta }$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle 2\pi }$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle K}$

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(x_{n}),\;\;x_{n+1}=x_{n}+p_{n+1}}$

С оговоркой, что это не периодичность, как на стандартной карте.${\displaystyle \textstyle p}$

Основные свойства (классика) [ править ]

В классическом анализе, если толчки достаточно сильные, система хаотична и имеет положительный максимальный показатель Ляпунова (MLE) .${\displaystyle K>K_{c}\approx 0.971635\dots }$

Усредненная диффузия квадрата импульса является полезным параметром для характеристики делокализации близлежащих траекторий. Индуктивный результат стандартного отображения дает следующее уравнение для импульса ^[1]

${\displaystyle p(n)=p(0)+K\sum _{i=0}^{n-1}\sin(x(i))}$

Воспроизвести медиа

Анимация фазового портрета кикер-ротора

Затем диффузию можно рассчитать, возведя в квадрат разность импульса после толчка и начального импульса, а затем усреднив, получив${\displaystyle {n}^{th}}$

${\displaystyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle =\left\langle {(p(n)-p(0))}^{2}\right\rangle =K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}(x(i))\right\rangle +K^{2}\sum _{i\neq j}^{}\left\langle \sin(x(i))\sin(x(j))\right\rangle }$

В хаотической области импульсы в разные моменты времени могут быть от совершенно некоррелированных до сильно коррелированных. Если они предполагаются некоррелированными из-за квазислучайного поведения, суммой, включающей перекрестные члены , пренебрегают. В этом пределе, поскольку первый член представляет собой сумму всех равных членов, диффузия импульса становится равной . Однако, если предполагается, что импульсы в разные моменты времени сильно коррелированы, суммой, включающей перекрестные члены, не пренебрегают, и поэтому она способствует большему количеству уравнивающих членов . В общем , есть условия для суммирования, во всей форме . Это дает верхнюю границу диффузии импульса . Следовательно, в хаотической области диффузия импульса находится между${\displaystyle \textstyle i\neq j}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \textstyle n^{2}}$${\displaystyle \textstyle \sim \left\langle {\sin }^{2}x\right\rangle ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}K^{2}n\leq \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle \leq {\frac {1}{2}}K^{2}n^{2}}$

То есть диффузия импульса в хаотической области имеет где-то между линейной и квадратичной зависимостью от количества толчков. Точное выражение для в принципе может быть получено путем явного вычисления сумм для ансамбля траекторий.${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle }$

Основные свойства (квантовые) [ править ]

В квантовом анализе гамильтониан сначала нужно переписать в операторной форме, используя замену, чтобы дать (в безразмерной форме)….${\displaystyle \textstyle p=i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

${\displaystyle H(x,t)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+K\cos(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n)}$

Затем волновая функция может быть решена с использованием уравнения Шредингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t)}$

где здесь масштабируется в соответствии с периодом между толчками, и волновым вектором управляющего потенциала , как${\displaystyle \textstyle \hbar }$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle k_{0}}$

${\displaystyle \hbar \rightarrow \hbar {{k}_{0}}^{2}T/m}$

Волновая функция в толчке может быть разложена по собственным состояниям импульса , как${\displaystyle \textstyle n^{th}}$${\displaystyle \textstyle |l\rangle }$

${\displaystyle \psi (t_{n})=\sum _{l=-\infty }^{\infty }a_{l}(t_{n})|l\rangle }$

Можно показать, что коэффициенты рекурсивно задаются формулой ^[2]

${\displaystyle a_{m}({t}_{n+1})=\exp[-im^{2}\hbar /2]\sum _{l=-\infty }^{\infty }{(-i)}^{l-m}{J}_{l-m}(K/\hbar )a_{l}(t_{n})}$

Где это функция Бесселя порядка .${\displaystyle \textstyle {J}_{\alpha }}$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Учитывая некоторый набор начальных условий, относительно просто численно решить приведенное выше рекурсивное уравнение для всех времен и подставить рассчитанные коэффициенты обратно в разложение по собственному состоянию импульса, чтобы найти полную волновую функцию. Возведение в квадрат дает эволюцию распределения вероятностей во времени, обеспечивая полное квантово-механическое описание.

Другой способ вычисления временной эволюции - итеративное применение унитарного оператора

${\displaystyle {\hat {U}}=\exp \left[-i{\frac {1}{2\hbar }}{\hat {p}}^{2}\right]\exp \left[-i{\frac {1}{\hbar }}K\cos {\hat {x}}\right]}$

Было обнаружено ^[3], что классическая диффузия подавляется, а позже было понято ^{[4] [5] [6] [7],} что это проявление квантового эффекта динамической локализации, параллельного локализации Андерсона . Существует общий аргумент ^{[8] [9],} который приводит к следующей оценке времени разрыва диффузионного поведения

${\displaystyle t^{*}\ \approx \ D_{cl}/\hbar ^{2}}$

Где классический коэффициент диффузии. Соответственно, соответствующий масштаб локализации по импульсу равен .${\displaystyle D_{cl}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {D_{cl}t^{*}}}}$

Эффект шума и рассеивания [ править ]

Если к системе добавляется шум, динамическая локализация разрушается, и возникает диффузия. ^{[10] [11] [12]} Это несколько похоже на прыжковую проводимость. Для правильного анализа необходимо выяснить, как уменьшаются динамические корреляции, ответственные за эффект локализации.

Напомним, что коэффициент диффузии равен , потому что изменение импульса является суммой квазислучайных толчков . Точное выражение для получается вычислением «площади» корреляционной функции , а именно суммы . Обратите внимание на это . Тот же рецепт расчета справедлив и для квантово-механического случая, а также при добавлении шума.${\displaystyle D_{cl}\approx K^{2}/2}$${\displaystyle (p(t)-p(0))}$${\displaystyle K\sin(x(n))}$${\displaystyle D_{cl}}$${\displaystyle C(n)=\langle \sin(x(n))\sin(x(0))\rangle }$${\displaystyle D=K^{2}\sum C(n)}$${\displaystyle C(0)=1/2}$

В квантовом случае без шума площадь под ним равна нулю (из-за длинных отрицательных хвостов), в то время как с шумом практическое приближение - это когда время когерентности обратно пропорционально интенсивности шума. Следовательно, коэффициент диффузии, вызванной шумом, равен${\displaystyle C(n)}$${\displaystyle C(n)\mapsto C(n)e^{-t/t_{c}}}$${\displaystyle t_{c}}$

${\displaystyle D\approx D_{cl}t^{*}/t_{c}\quad [{\text{assuming }}t_{c}\gg t^{*}]}$

Также была рассмотрена проблема вращателя с квантовым толчком с диссипацией (за счет связи с термостатом). Здесь возникает проблема, как ввести взаимодействие, которое учитывает угловую периодичность координаты положения и при этом остается пространственно однородным. В первых работах ^{[13] [14]} предполагалось взаимодействие квантово-оптического типа, которое включает взаимодействие, зависящее от импульса. Позже ^[15] был разработан способ сформулировать чисто позиционно-зависимую связь, как в модели Кальдерии-Леггетта, которую можно рассматривать как более раннюю версию модели DLD .${\displaystyle x}$

Эксперименты [ править ]

Экспериментальные реализации квантового ротатора ног были достигнуты с помощью Raizen группы, ^[16] и группы Окленда, ^[17] , и стимулировал возобновление интереса к теоретическому анализу. В этом эксперименте образец холодных атомов, созданный магнитооптической ловушкой, взаимодействует с импульсной стоячей волной света. Свет расстраивается относительно атомных переходов, атомы подвергаются пространственно-периодической консервативной силе . Следовательно, угловая зависимость заменяется зависимостью от положения в экспериментальном подходе. Для получения квантовых эффектов необходимо охлаждение субмилликельвина: из-за принципа неопределенности Гейзенбергадлина волны де Бройля, то есть длина волны атома, может стать сравнимой с длиной волны света. Для получения дополнительной информации см. ^[18] Благодаря этой технике было исследовано несколько явлений, в том числе заметные:

• квантовые трещотки; ^[19]
• переход Андерсона в 3D. ^[20]

См. Также [ править ]

• Карта круга

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Запись в Scholarpedia