Квантовый хаос

Квантовая механика
Часть серии по
$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}\|\psi (t)\rangle$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Квантовый хаос - это область физики, которая пытается соединить теории квантовой механики и классической механики . На рисунке показаны основные идеи, развивающиеся в каждом направлении.

Квантовый хаос - это раздел физики, изучающий, как хаотические классические динамические системы могут быть описаны в терминах квантовой теории. Основной вопрос, на который пытается ответить квантовый хаос: «Какая связь между квантовой механикой и классическим хаосом ?» Принцип соответствия гласит, что классическая механика - это классический предел квантовой механики, особенно в пределе отношения постоянной Планка к действиюсистемы стремится к нулю. Если это правда, то должны быть квантовые механизмы, лежащие в основе классического хаоса (хотя это может быть неэффективным способом изучения классического хаоса). Если квантовая механика не демонстрирует экспоненциальную чувствительность к начальным условиям, как может экспоненциальная чувствительность к начальным условиям возникнуть в классическом хаосе, который должен быть пределом принципа соответствия квантовой механики? ^[1]^[2]

В поисках решения основного вопроса о квантовом хаосе было использовано несколько подходов:

Разработка методов решения квантовых задач, в которых возмущение нельзя считать малым в теории возмущений и где квантовые числа велики.
Сопоставление статистических описаний собственных значений (уровней энергии) с классическим поведением того же гамильтониана (системы).
Квазиклассические методы, такие как теория периодических орбит, связывающая классические траектории динамической системы с квантовыми характеристиками.
Прямое применение принципа соответствия.

История [ править ]

Экспериментальные спектры повторяемости лития в электрическом поле, показывающие рождение квантовых повторений, соответствующих бифуркациям классических орбит. ^[3]

В течение первой половины двадцатого века хаотическое поведение в механике было признано (как в задаче трех тел в небесной механике ), но до конца не изучено. В этот период были заложены основы современной квантовой механики, по сути оставив в стороне вопрос о квантово-классическом соответствии в системах, классический предел которых демонстрирует хаос.

Подходы [ править ]

Сравнение экспериментальных и теоретических спектров повторяемости лития в электрическом поле при приведенной энергии . ^[4]

\epsilon =-3.0

Вопросы , связанные с принципом соответствия возникают во многих различных областях физики, начиная от атомного до атомного , молекулярной и физики твердого тела , и даже акустика , микроволновых печи и оптику . Однако классико-квантовое соответствие в теории хаоса не всегда возможно. Таким образом, некоторые версии классического эффекта бабочки не имеют аналогов в квантовой механике. ^[5]

Важные наблюдения, часто связанные с классическими хаотическими квантовыми системами, включают отталкивание спектральных уровней , динамическую локализацию во времени (например, скорости ионизации атомов) и повышенную интенсивность стационарных волн в областях пространства, где классическая динамика демонстрирует только нестабильные траектории (как при рассеянии ). В полуклассическом подходе квантового хаоса явления в спектроскопии идентифицируются путем анализа статистического распределения спектральных линий и соединения спектральных периодичностей с классическими орбитами. Другие явления проявляются во времени.квантовой системы или в ее реакции на различные типы внешних сил. В некоторых контекстах, таких как акустика или микроволны, волновые структуры наблюдаются напрямую и демонстрируют нерегулярное распределение амплитуд .

Квантовый хаос обычно имеет дело с системами, свойства которых необходимо вычислить с помощью численных методов или схем аппроксимации (см., Например, ряд Дайсона ). Простые и точные решения исключаются из-за того, что компоненты системы либо влияют друг на друга сложным образом, либо зависят от меняющихся во времени внешних сил.

Квантовая механика в непертурбативных режимах [ править ]

Вычислены регулярные (не хаотические) спектры энергетических уровней ридберговских атомов водорода в электрическом поле вблизи n = 15. Обратите внимание, что уровни энергии могут пересекаться из-за симметрии динамического движения. ^[4]

Расчетные спектры уровней энергии хаотических ридберговских атомов лития в электрическом поле вблизи n = 15. Обратите внимание, что уровни энергии не могут пересекаться из-за нарушения симметрии динамического движения ионным остовом (и возникающим в результате квантовым дефектом). ^[4]

Для консервативных систем цель квантовой механики в непертурбативных режимах - найти собственные значения и собственные векторы гамильтониана вида

H=H_{s}+\varepsilon H_{ns},\,

где разделимо в некоторой системе координат, неотделимо в системе координат, в которой разделено, и является параметром, который нельзя считать малым. Исторически физики подходили к проблемам такого рода, пытаясь найти систему координат, в которой неразделимый гамильтониан является наименьшим, а затем рассматривая неразрывный гамильтониан как возмущение. $H_{s}$ $H_{ns}$ $H_{s}$ $\epsilon$

Нахождение констант движения, позволяющих выполнить это разделение, может быть сложной (иногда невозможной) аналитической задачей. Решение классической проблемы может дать ценное понимание решения квантовой проблемы. Если существуют регулярные классические решения одного и того же гамильтониана, то существуют (по крайней мере) приблизительные постоянные движения, и, решая классическую задачу, мы получаем подсказки, как их найти.

В последние годы были разработаны и другие подходы. Один состоит в том, чтобы выразить гамильтониан в различных системах координат в разных областях пространства, минимизируя неотделимую часть гамильтониана в каждой области. В этих областях получаются волновые функции, а собственные значения получаются путем согласования граничных условий.

Другой подход - численная диагонализация матрицы. Если матрица гамильтониана вычисляется в любом полном базисе, собственные значения и собственные векторы получаются путем диагонализации матрицы. Однако все полные базисные наборы бесконечны, и нам нужно усечь базис, чтобы получить точные результаты. Эти методы сводятся к выбору усеченного базиса, на основе которого могут быть построены точные волновые функции. Вычислительное время, необходимое для диагонализации матрицы, масштабируется как , где $N^{3}$ $N$ - размер матрицы, поэтому важно выбрать наименьший возможный базис, на основе которого могут быть построены соответствующие волновые функции. Также удобно выбрать базис, в котором матрица является разреженной и / или матричные элементы задаются простыми алгебраическими выражениями, потому что вычисление матричных элементов также может быть вычислительной нагрузкой.

Данный гамильтониан имеет одинаковые константы движения как для классической, так и для квантовой динамики. Квантовые системы также могут иметь дополнительные квантовые числа, соответствующие дискретным симметриям (таким как сохранение четности из симметрии отражения). Однако, если мы просто находим квантовые решения гамильтониана, недоступного для теории возмущений, мы можем многое узнать о квантовых решениях, но мало узнали о квантовом хаосе. Тем не менее, изучение того, как решать такие квантовые проблемы, является важной частью ответа на вопрос о квантовом хаосе.

Корреляция статистических описаний квантовой механики с классическим поведением [ править ]

Распределение ближайших соседей для спектров энергетических уровней ридберговских атомов в электрическом поле в виде квантового дефекта увеличено с 0,04 (а) до 0,32 (з). Система становится более хаотичной, поскольку динамические симметрии нарушаются из-за увеличения квантового дефекта; следовательно, распределение эволюционирует от почти пуассоновского (а) к предположению Вигнера (h).

Статистические меры квантового хаоса родились из желания количественно оценить спектральные характеристики сложных систем. Теория случайных матриц была разработана с целью охарактеризовать спектры сложных ядер. Замечательный результат заключается в том, что статистические свойства многих систем с неизвестными гамильтонианами могут быть предсказаны с использованием случайных матриц соответствующего класса симметрии. Кроме того, теория случайных матриц также правильно предсказывает статистические свойства собственных значений многих хаотических систем с известными гамильтонианами. Это делает его полезным в качестве инструмента для характеристики спектров, для вычисления которых требуются большие численные усилия.

Для простой количественной оценки спектральных характеристик доступен ряд статистических показателей. Очень интересно, существует ли универсальное статистическое поведение классически хаотических систем. Упомянутые здесь статистические тесты универсальны, по крайней мере, для систем с несколькими степенями свободы ( Берри и Табор ^[6] выдвинули веские аргументы в пользу распределения Пуассона в случае регулярного движения, а Хейслер и др. ^[7] представили полуклассический анализ. объяснение так называемой гипотезы Бохигаса – Джаннони – Шмита, утверждающей универсальность спектральных флуктуаций в хаотической динамике). Распределение ближайших соседей (NND) уровней энергии относительно просто интерпретировать, и оно широко используется для описания квантового хаоса.

Качественные наблюдения за отталкиванием уровней могут быть количественно определены и связаны с классической динамикой с помощью NND, который считается важным признаком классической динамики в квантовых системах. Считается, что регулярная классическая динамика проявляется в распределении уровней энергии Пуассона :

P(s)=e^{-s}.\

Кроме того, ожидается, что системы, демонстрирующие хаотическое классическое движение, будут характеризоваться статистикой ансамблей случайных матричных собственных значений. Было показано, что для систем, инвариантных относительно обращения времени, статистика уровней энергии ряда хаотических систем хорошо согласуется с предсказаниями гауссовского ортогонального ансамбля (GOE) случайных матриц, и было высказано предположение, что это явление является общий для всех хаотических систем с этой симметрией. Если нормализованное расстояние между двумя уровнями энергии равно , нормализованное распределение расстояний хорошо аппроксимируется выражением $s$

P(s)={\frac {\pi }{2}}se^{-\pi s^{2}/4}.

Было обнаружено, что многие гамильтоновы системы, которые являются классически интегрируемыми (не хаотическими), имеют квантовые решения, которые дают распределения ближайших соседей, которые следуют распределениям Пуассона. Точно так же многие системы, которые демонстрируют классический хаос, были найдены с квантовыми решениями, дающими распределение Вигнера-Дайсона , таким образом поддерживая идеи выше. Заметным исключением является диамагнитный литий, который, хотя и демонстрирует классический хаос, демонстрирует вигнеровскую (хаотическую) статистику для уровней энергии с четной четностью и почти пуассоновскую (регулярную) статистику для распределения уровней энергии с нечетной четностью. ^[8]

Полуклассические методы [ править ]

Теория периодической орбиты [ править ]

Даже четность рецидивы спектр ( преобразование Фурье от плотности состояний ) диамагнитных пиков , показывающего водорода , соответствующих периодических орбит классической системы. Спектр имеет масштабированную энергию -0,6. Пики, обозначенные R и V, являются повторением замкнутой орбиты, перпендикулярной и параллельной полю, соответственно. Пики, обозначенные буквой O, соответствуют почти круговой периодической орбите, которая вращается вокруг ядра.

Относительные амплитуды повторяемости четных и нечетных повторений ближней круговой орбиты. Ромбы и знаки плюс обозначают нечетные и четные периоды соответственно. Сплошная линия - A / ch (nX / 8). Пунктирная линия - A / sinh (nX / 8), где A = 14,75 и X = 1,18.

Теория периодических орбит дает рецепт для вычисления спектров по периодическим орбитам системы. В отличие от метода квантования действия Эйнштейна-Бриллюэна-Келлера , который применяется только к интегрируемым или почти интегрируемым системам и вычисляет индивидуальные собственные значения для каждой траектории, теория периодических орбит применима как к интегрируемым, так и к неинтегрируемым системам и утверждает, что каждая Периодическая орбита вызывает синусоидальные колебания плотности состояний.

Главный результат этого развития - выражение для плотности состояний, которая является следом полуклассической функции Грина и дается формулой следа Гутцвиллера:

g_{c}(E)=\sum _{k}T_{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2\sinh {(\chi _{nk}/2)}}}\,e^{i(nS_{k}-\alpha _{nk}\pi /2)}.

Недавно было обобщение этой формулы для произвольных матричных гамильтонианов, которое включает член типа фазы Берри, происходящий от спина или других внутренних степеней свободы. ^[9] Индекс различает примитивные периодические орбиты : орбиты с наименьшим периодом для заданного набора начальных условий. - период примитивной периодической орбиты и является ее классическим действием. Каждая примитивная орбита движется в обратном направлении, приводя к новой орбите с действием и периодом, который является целым кратным первоначальному периоду. Следовательно, каждое повторение периодической орбиты является другой периодической орбитой. Эти повторы отдельно классифицируются по промежуточной сумме по показателям . $k$ $T_{k}$ $S_{k}$ $nS_{k}$ $n$ $n$ $\alpha _{nk}$ - индекс Маслова орбиты . Коэффициент амплитуды представляет собой квадратный корень из плотности соседних орбит. Соседние траектории неустойчивой периодической орбиты экспоненциально расходятся во времени от периодической орбиты. Величина характеризует нестабильность орбиты. Устойчивая орбита движется по тору в фазовом пространстве, а соседние траектории наматываются вокруг нее. Для стабильных орбит становится , где - число витков периодической орбиты. , где - количество раз, когда соседние орбиты пересекают периодическую орбиту за один период. Это представляет трудность, потому что при классической бифуркации $1/\sinh {(\chi _{nk}/2)}$ $\chi _{nk}$ $\sinh {(\chi _{nk}/2)}$ $\sin {(\chi _{nk}/2)}$ $\chi _{nk}$ $\chi _{nk}=2\pi m$ $m$ $\sin {(\chi _{nk}/2)}=0$ . Это приводит к тому, что вклад этой орбиты в плотность энергии расходится. Это также происходит в контексте спектра фотоабсорбции .

Использование формулы следа для вычисления спектра требует суммирования по всем периодическим орбитам системы. Это создает несколько трудностей для хаотических систем: 1) Число периодических орбит увеличивается экспоненциально в зависимости от действия. 2) Существует бесконечное число периодических орбит, и свойства сходимости теории периодических орбит неизвестны. Эта трудность также присутствует при применении теории периодических орбит к регулярным системам. 3) Длиннопериодические орбиты сложно вычислить, поскольку большинство траекторий нестабильны и чувствительны к ошибкам округления и деталям численного интегрирования.

Гуцвиллер применил формулу следа для полуклассического подхода к анизотропной задаче Кеплера (отдельная частица в потенциале с анизотропным тензором масс ). Он обнаружил согласие с квантовыми вычислениями для низколежащих (до ) состояний для малых анизотропий, используя только небольшой набор легко вычисляемых периодических орбит, но согласие было плохим для больших анизотропий. $1/r$ $n=6$

На рисунках выше используется перевернутый подход к проверке теории периодических орбит. Формула следа утверждает, что каждая периодическая орбита вносит синусоидальный член в спектр. Вместо того, чтобы решать вычислительные трудности, связанные с долгопериодическими орбитами, чтобы попытаться найти плотность состояний (уровни энергии), можно использовать стандартную квантово-механическую теорию возмущений для вычисления собственных значений (уровней энергии) и использовать преобразование Фурье для поиска периодических модуляции спектра, которые являются сигнатурой периодических орбит. Тогда интерпретация спектра сводится к нахождению орбит, соответствующих пикам в преобразовании Фурье.

Примерный набросок того, как прийти к формуле следа Гуцвиллера [ править ]

Начнем с полуклассического приближения зависящей от времени функции Грина (пропагатор Ван Флека).
Поймите, что для каустик описание расходится, и используйте понимание Маслова (приближенное преобразование Фурье в импульсное пространство (приближение стационарной фазы с малым параметром ha), чтобы избежать таких точек, а затем преобразование обратно в пространство позиций, может исправить такое расхождение, однако дает фазу фактор).
Преобразуйте функцию Грина в энергетическое пространство, чтобы получить зависящую от энергии функцию Грина (снова аппроксимируйте преобразование Фурье, используя приближение стационарной фазы). Могут появиться новые расхождения, которые необходимо устранить тем же методом, что и на шаге 3.
Используйте (отслеживание позиций) и снова вычислите его в приближении стационарной фазы, чтобы получить приближение для плотности состояний . $d(E)=-{\frac {1}{\pi }}\Im (\operatorname {Tr} (G(x,x^{\prime },E))$ $d(E)$

Примечание. Трассировка показывает, что вклад вносят только замкнутые орбиты, приближение стационарной фазы дает вам ограничительные условия каждый раз, когда вы это делаете. На шаге 4 он ограничивает вас орбитами, где начальный и конечный импульс одинаковы, то есть периодическими орбитами. Часто бывает полезно выбрать систему координат, параллельную направлению движения, как это делается во многих книгах.

Теория замкнутой орбиты [ править ]

Экспериментальный спектр повторяемости (кружки) сравнивается с результатами теории замкнутой орбиты Джона Делоса и Цзин Гао для ридберговских атомов лития в электрическом поле. Пики, обозначенные 1–5, представляют собой повторение орбиты электрона, параллельной полю, идущей от ядра к классической точке поворота в восходящем направлении.

Теория замкнутой орбиты была разработана Дж. Б. Делосом, М. Л. Ду, Дж. Гао и Дж. Шоу. Это похоже на теорию периодической орбиты, за исключением того, что теория замкнутой орбиты применима только к атомным и молекулярным спектрам и дает плотность силы осциллятора (наблюдаемый спектр фото-поглощения) из заданного начального состояния, тогда как теория периодической орбиты дает плотность состояния.

В теории замкнутой орбиты важны только орбиты, которые начинаются и заканчиваются в ядре. Физически они связаны с выходящими волнами, которые генерируются, когда сильно связанный электрон переводится в высоколежащее состояние. Для ридберговских атомов и молекул каждая замкнутая в ядре орбита также является периодической орбитой, период которой равен либо времени закрытия, либо удвоенному времени закрытия.

Согласно теории замкнутой орбиты, средняя плотность силы осциллятора при постоянном значении задается гладким фоном и колебательной суммой вида $\epsilon$

f(w)=\sum _{k}\sum _{n=1}^{\infty }D_{\it {nk}}^{i}\sin(2\pi nw{\tilde {S_{k}}}-\phi _{\it {nk}}).

$\phi _{\it {nk}}$ - это фаза, которая зависит от индекса Маслова и других деталей орбит. - амплитуда повторения замкнутой орбиты для данного начального состояния (помечено ). Он содержит информацию об устойчивости орбиты, ее начальном и конечном направлениях, а также о матричном элементе дипольного оператора между начальным состоянием и кулоновской волной нулевой энергии. Для масштабных систем, таких как атомы Ридберга в сильных полях, преобразование Фурье спектра силы осциллятора, вычисленное при фиксированном значении как функция от , называется спектром повторения, потому что оно дает пики, которые соответствуют масштабному действию замкнутых орбит и чьи высоты соответствуют . $D_{\it {nk}}^{i}$ $i$ $\epsilon$ $w$ $D_{\it {nk}}^{i}$

Теория замкнутой орбиты нашла широкое согласие с рядом хаотических систем, включая диамагнитный водород, водород в параллельных электрическом и магнитном полях, диамагнитный литий, литий в электрическом поле, ион в скрещенных и параллельных электрических и магнитных полях, барий в электрическое поле и гелий в электрическом поле. $H^{-}$

Одномерные системы и потенциал [ править ]

Для случая одномерной системы с граничным условием плотность состояний, полученная из формулы Гутцвиллера, связана с обратной величиной потенциала классической системы следующим образом: здесь - плотность состояний, а V (x) - классический потенциал частица, полупроизводная обратного потенциала связана с плотностью состояний, как в потенциале Ву-Спрунга . $y(0)=0$ ${\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}V^{-1}(x)=2{\sqrt {\pi }}{\frac {dN(x)}{dx}}$ ${\frac {dN(x)}{dx}}$

Последние направления [ править ]

Остается открытым вопрос о понимании квантового хаоса в системах, которые имеют конечномерные локальные гильбертовы пространства, для которых стандартные квазиклассические ограничения не применяются. Недавние работы позволили аналитически изучить такие квантовые системы многих тел . ^[10]^[11]

Традиционные темы квантового хаоса касаются спектральной статистики (универсальные и неуниверсальные свойства) и исследования собственных функций ( квантовая эргодичность , шрамы ) различных хаотических гамильтонианов . $H(x,p;R)$

Дальнейшие исследования касаются параметрической ( ) зависимости гамильтониана, как отражено, например, в статистике избегаемых пересечений, и связанного с ней перемешивания, как отражено в (параметрической) локальной плотности состояний (LDOS). Существует обширная литература по динамике волновых пакетов, включая изучение флуктуаций, повторений, вопросов квантовой необратимости и т. Д. Особое место отведено изучению динамики квантованных отображений: стандартное отображение и вращающийся ротатор считаются прототипами проблем. $R$

Работы также сосредоточены на изучении управляемых хаотических систем ^[12], где гамильтониан зависит от времени, в частности, в адиабатическом и линейном режимах отклика. Также значительные усилия сосредоточены на формулировании идей квантового хаоса для сильно взаимодействующих квантовых систем многих тел, далеких от полуклассических режимов. $H(x,p;R(t))$

Гипотеза Берри – Табора [ править ]

В 1977 году Берри и Табор выдвинули все еще открытую «общую» математическую гипотезу, которая, грубо говоря, такова: в «общем» случае квантовой динамики геодезического потока на компактной римановой поверхности собственные значения квантовой энергии ведут себя как последовательность независимых случайных величин при условии, что лежащая в основе классическая динамика полностью интегрируема . ^[13]^[14]^[15]

См. Также [ править ]

Шрам (физика)

Ссылки [ править ]

^ Quantum Signatures of Chaos , Fritz Haake, Edition: 2, Springer, 2001, ISBN 3-540-67723-2 , ISBN 978-3-540-67723-9 .
^ Майкл Берри , «Quantum Chaology», стр 104-5 из Quantum: руководство для недоумевают по Аль-Халили ( Вейденфельд и Николсон 2003), http://www.physics.bristol.ac.uk/people/berry_mv /the_papers/Berry358.pdf Архивировано 8 марта 2013 г. в Wayback Machine .
^ Закрытые бифуркации орбиты в спектрах Штарка континуума, М. Кортни, Х. Цзяо, Н. Спеллмейер, Д. Клеппнер, Дж. Гао, Дж. Б. Делос, Phys. Rev. Lett. 27, 1538 (1995).
^ a b c Классическая, полуклассическая и квантовая динамика лития в электрическом поле, М. Кортни, Н. Спеллмейер, Х. Цзяо, Д. Клеппнер, Phys Rev A 51, 3604 (1995).
^ Ян, Бен; Синицын, Николай А. (2020). «Восстановление поврежденной информации и несвоевременные корреляторы». Письма с физическим обзором . 125 (4): 040605. arXiv : 2003.07267 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.125.040605 . PMID 32794812 . S2CID 212725801 .
↑ М. В. Берри, М. Табор, Proc. Рой. Soc. Лондон A 356, 375, 1977
^ Хейслер, С., С. Мюллер, А. Альтланд, П. Браун и Ф. Хааке, 2007, Phys. Rev. Lett. 98, 044103
^ Кортни, М., Клеппнер, Д. [1] , Хаос, индуцированный ядром в диамагнитном литии, PRA 53, 178, 1996
^ Vogl, M .; Панкратов, О .; Шеллкросс, С. (27.07.2017). «Полуклассика для матричных гамильтонианов: формула следа Гутцвиллера с приложениями к системам типа графена» . Physical Review B . 96 (3): 035442. arXiv : 1611.08879 . Bibcode : 2017PhRvB..96c5442V . DOI : 10.1103 / PhysRevB.96.035442 .
^ Кос, Павел; Люботина, Марко; Просен, Томаж (2018-06-08). «Многотельный квантовый хаос: аналитическая связь с теорией случайных матриц» . Physical Review X . 8 (2): 021062. DOI : 10,1103 / PhysRevX.8.021062 .
^ Чан, Амос; Де Лука, Андреа; Чалкер, Дж. Т. (8 ноября 2018 г.). «Решение минимальной модели квантового хаоса многих тел» . Physical Review X . 8 (4): 041019. DOI : 10,1103 / PhysRevX.8.041019 . ISSN 2160-3308 .
^ Управляемые хаотические мезоскопические системы, диссипация и декогеренция , в Трудах 38-й Зимней школы теоретической физики Карпача, под редакцией П. Гарбачевского и Р. Олькевича (Springer, 2002). https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403061
^ Марклоф, Йенс , Гипотеза Берри – Табора (PDF)
^ Барба, JC; и другие. (2008). «Гипотеза Берри – Табора для спиновых цепочек типа Холдейна – Шастри». EPL . 83 . arXiv : 0804.3685 . Bibcode : 2008EL ..... 8327005B . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 83/27005 .
^ Радник, Z. (январь 2008). "Что такое квантовый хаос?" (PDF) . Уведомления AMS . 55 (1): 32–34.

Дополнительные ресурсы [ править ]

Мартин К. Гуцвиллер (1971). «Периодические орбиты и классические условия квантования». Журнал математической физики . 12 (3): 343. Bibcode : 1971JMP .... 12..343G . DOI : 10.1063 / 1.1665596 .
Мартин К. Гуцвиллер, Хаос в классической и квантовой механике , (1990) Springer-Verlag , New York ISBN 0-387-97173-4 .
Ханс-Юрген Штёкманн , Квантовый хаос: введение , (1999) ISBN издательства Кембриджского университета 0-521-59284-4 .
Юджин Поль Вигнер ; Дирак, РАМ (1951). «О статистическом распределении ширин и расстояний ядерных резонансных уровней». Математические труды Кембриджского философского общества . 47 (4): 790. Bibcode : 1951PCPS ... 47..790W . DOI : 10.1017 / S0305004100027237 .
Фриц Хааке, Квантовые сигнатуры хаоса, 2-е изд., (2001) Springer-Verlag, New York ISBN 3-540-67723-2 .
Карл-Фредрик Берггрен и Свен Аберг, "Труды Нобелевского симпозиума 116 квантового хаоса 2000 года" (2001) ISBN 978-981-02-4711-9
Л. Е. Райхль , "Переход к хаосу: в консервативных классических системах: квантовые проявления", Springer (2004), ISBN 978-0387987880

Внешние ссылки [ править ]

Квантовый хаос , Мартин Гуцвиллер (1992 и 2008, Scientific American )
Квантовый хаос, Мартин Гуцвиллер, Scholarpedia 2 (12): 3146. DOI: 10.4249 / scholarpedia.3146
Категория: Академия Квантового Хаоса
Что такое ... Квантовый Хаос на Зеев Рудник (январь 2008, Извещение Американского математического общества )
Брайан Хейс, «Спектр римания»; American Scientist Том 91, номер 4, июль – август 2003 г., стр. 296–300 . Обсуждает связь с дзета-функцией Римана .
Собственные функции в хаотических квантовых системах Арнда Беккера.
ChaosBook.org

[fn_(104)-1] Quantum Signatures of Chaos , Fritz Haake, Edition: 2, Springer, 2001, ISBN 3-540-67723-2 , ISBN 978-3-540-67723-9 .

[fn_(105)-2] Майкл Берри , «Quantum Chaology», стр 104-5 из Quantum: руководство для недоумевают по Аль-Халили ( Вейденфельд и Николсон 2003), http://www.physics.bristol.ac.uk/people/berry_mv /the_papers/Berry358.pdf Архивировано 8 марта 2013 г. в Wayback Machine .

[3] Закрытые бифуркации орбиты в спектрах Штарка континуума, М. Кортни, Х. Цзяо, Н. Спеллмейер, Д. Клеппнер, Дж. Гао, Дж. Б. Делос, Phys. Rev. Lett. 27, 1538 (1995).

[courtney95a-4] Классическая, полуклассическая и квантовая динамика лития в электрическом поле, М. Кортни, Н. Спеллмейер, Х. Цзяо, Д. Клеппнер, Phys Rev A 51, 3604 (1995).

[5] Ян, Бен; Синицын, Николай А. (2020). «Восстановление поврежденной информации и несвоевременные корреляторы». Письма с физическим обзором . 125 (4): 040605. arXiv : 2003.07267 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.125.040605 . PMID 32794812 . S2CID 212725801 .

[6] М. В. Берри, М. Табор, Proc. Рой. Soc. Лондон A 356, 375, 1977

[7] Хейслер, С., С. Мюллер, А. Альтланд, П. Браун и Ф. Хааке, 2007, Phys. Rev. Lett. 98, 044103

[8] Кортни, М., Клеппнер, Д. [1] , Хаос, индуцированный ядром в диамагнитном литии, PRA 53, 178, 1996

[9] Vogl, M .; Панкратов, О .; Шеллкросс, С. (27.07.2017). «Полуклассика для матричных гамильтонианов: формула следа Гутцвиллера с приложениями к системам типа графена» . Physical Review B . 96 (3): 035442. arXiv : 1611.08879 . Bibcode : 2017PhRvB..96c5442V . DOI : 10.1103 / PhysRevB.96.035442 .

[10] Кос, Павел; Люботина, Марко; Просен, Томаж (2018-06-08). «Многотельный квантовый хаос: аналитическая связь с теорией случайных матриц» . Physical Review X . 8 (2): 021062. DOI : 10,1103 / PhysRevX.8.021062 .

[11] Чан, Амос; Де Лука, Андреа; Чалкер, Дж. Т. (8 ноября 2018 г.). «Решение минимальной модели квантового хаоса многих тел» . Physical Review X . 8 (4): 041019. DOI : 10,1103 / PhysRevX.8.041019 . ISSN 2160-3308 .

[12] Управляемые хаотические мезоскопические системы, диссипация и декогеренция , в Трудах 38-й Зимней школы теоретической физики Карпача, под редакцией П. Гарбачевского и Р. Олькевича (Springer, 2002). https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403061

[13] Марклоф, Йенс , Гипотеза Берри – Табора (PDF)

[14] Барба, JC; и другие. (2008). «Гипотеза Берри – Табора для спиновых цепочек типа Холдейна – Шастри». EPL . 83 . arXiv : 0804.3685 . Bibcode : 2008EL ..... 8327005B . DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 83/27005 .

[15] Радник, Z. (январь 2008). "Что такое квантовый хаос?" (PDF) . Уведомления AMS . 55 (1): 32–34.