показатель Ляпунова

В математике показатель Ляпунова или характеристический показатель Ляпунова динамической системы — величина, характеризующая скорость разделения бесконечно малых траекторий . Количественно две траектории в фазовом пространстве с начальным вектором разделения расходятся (при условии, что расходимость может быть рассмотрена в рамках линеаризованного приближения) со скоростью, определяемой выражением${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

где – показатель Ляпунова.${\displaystyle \lambda }$

Скорость разделения может быть разной для разных ориентаций начального вектора разделения. Таким образом, имеется спектр показателей Ляпунова — число, равное размерности фазового пространства. Обычно наибольшую из них называют максимальным показателем Ляпунова (MLE), потому что он определяет понятие предсказуемости для динамической системы. Положительный MLE обычно считается признаком того, что система хаотична .(при соблюдении некоторых других условий, например компактности фазового пространства). Обратите внимание, что произвольный начальный вектор разделения обычно будет содержать некоторый компонент в направлении, связанном с MLE, и из-за экспоненциальной скорости роста влияние других показателей со временем будет стираться.

Предел обеспечивает справедливость линейного приближения в любой момент времени. ^[1]${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}$

Для системы дискретного времени (карты или итерации с фиксированной точкой) для орбиты, начинающейся с этого, переводится как:${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$${\displaystyle x_{0}}$

Для динамической системы с эволюционным уравнением в n - мерном фазовом пространстве спектр показателей Ляпунова${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)}$

Объяснения показателя Ляпунова

Ведущий вектор Ляпунова.

Точки внутри и снаружи множества Мандельброта раскрашены по показателю Ляпунова.