Стандартная карта

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Стандартная карта»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Воспроизвести медиа

Фазовое пространство стандартной карты с изменением параметра от 0 до 5,19 ( по оси y, по оси x). Обратите внимание на появление «пунктирной» зоны - признак хаотичного поведения .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle \ theta _ {n}}$

Орбиты стандартной карты при K  = 0,6.

Орбиты стандартной карты для K  = 0,971635.

Орбиты стандартного отображения при K  = 1.2.

Орбиты стандартной карты для K  = 2.0. Большая зеленая область - это основная хаотическая область на карте.

Единая орбита стандартной карты для K = 2.0. Увеличенный крупным планом с центром в точке , р  = 0,666, от общего ширина / высота 0,02. Обратите внимание на чрезвычайно равномерное распределение орбиты.${\ displaystyle \ theta = 0,282}$

Стандартное отображение (также известный как карта Чириков-Тейлора , или в качестве стандартного отображения Чирикова ) представляет собой область , сохраняющих хаотично карту из квадрата со стороной на себя. ^[1] Он построен по поверхности Пуанкаре раздела на Kicked ротатора , и определяется по формуле:${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\ displaystyle p_ {n + 1} = p_ {n} + K \ sin (\ theta _ {n})}$

${\ Displaystyle \ тета _ {п + 1} = \ тета _ {п} + р_ {п + 1}}$

где и берутся по модулю .${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle \ theta _ {n}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Свойства хаоса стандартной карты были установлены Борисом Чириковым в 1969 году.

Физическая модель [ править ]

Эта карта описывает поверхность Пуанкаре сечения движения простой механической системы, известной как вращающий механизм с толчком . Ротатор с ударным толчком состоит из палки, на которую не действует сила тяжести, которая может вращаться без трения в плоскости вокруг оси, расположенной на одном из ее концов, и которую периодически ударяют по другому наконечнику.

Стандартная карта - это поверхность сечения, нанесенная с помощью стробоскопической проекции на переменные вращающего устройства с толчком. ^[1] Переменные и соответственно определяют угловое положение ручки и ее угловой момент после n-го удара. Константа K измеряет интенсивность толчков вращателя с толчком.${\ displaystyle \ theta _ {n}}$${\ displaystyle p_ {n}}$

Пнул ротатор аппроксимирует системы изученные в области механики частиц, физики ускорителей , физики плазмы и физики твердого тела . Например, круговые ускорители частиц ускорять частицы, применяя периодические удары, как они циркулируют в трубке пучок. Таким образом, структура балки может быть аппроксимирована ударным ротором. Однако эта карта интересна с фундаментальной точки зрения физики и математики, потому что это очень простая модель консервативной системы, отображающая гамильтонов хаос . Поэтому полезно изучить развитие хаоса в такой системе.

Основные свойства [ править ]

Поскольку отображение линейное и возможны только периодические и квазипериодические орбиты . При построении в фазовом пространстве ( плоскость θ– p ) периодические орбиты выглядят как замкнутые кривые, а квазипериодические орбиты - как ожерелья замкнутых кривых, центры которых лежат на другой более крупной замкнутой кривой. Наблюдаемый тип орбиты зависит от начальных условий карты.${\ displaystyle K = 0}$

Нелинейность карты увеличивается с увеличением K , а вместе с ней и возможность наблюдать хаотическую динамику при соответствующих начальных условиях. Это проиллюстрировано на рисунке, который отображает набор различных орбит, разрешенных стандартной картой для различных значений . Все показанные орбиты являются периодическими или квазипериодическими, за исключением зеленой, которая хаотична и развивается в большой области фазового пространства как очевидно случайный набор точек. Особенно примечательна чрезвычайная однородность распределения в хаотической области, хотя это может быть обманчивым: даже внутри хаотических областей существует бесконечное количество уменьшающихся малых островов, которые никогда не посещаются во время итерации, как показано на крупном плане.${\ displaystyle K> 0}$

Карта круга [ править ]

Стандартная карта связана с картой круга , которая имеет одно аналогичное повторяющееся уравнение:

${\ displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + \ Omega -K \ sin (\ theta _ {n})}$

по сравнению с

${\ displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + p_ {n} + K \ sin (\ theta _ {n})}$

${\ displaystyle p_ {n + 1} = \ theta _ {n + 1} - \ theta _ {n}}$

для стандартной карты уравнения переупорядочены, чтобы подчеркнуть сходство. По сути, карта круга заставляет импульс быть постоянным.

См. Также [ править ]

• Теорема Ушики

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности . Препринт N 267, Институт ядерной физики, Новосибирск (1969) [англ. Пер., CERN Trans. 71-40, Женева, октябрь (1971 г.), Пер. С. А.Т. Сандерса]. связь
• Чириков Б.В. Универсальная неустойчивость многомерных осцилляторных систем . Phys. Реп. V.52. с.263 (1979) Эльсвир, Амстердам.
• Лихтенберг, AJ и Либерман, Массачусетс (1992). Регулярная и хаотическая динамика . Спрингер, Берлин. ISBN 978-0-387-97745-4. Ссылка Springer
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. ISBN 0-521-01084-5.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850840-9.

Внешние ссылки [ править ]

• Стандартная карта в MathWorld
• Стандартная карта Чирикова в Scholarpedia
• Сайт, посвященный Борису Чирикову
• Интерактивный Java-апплет, визуализирующий орбиты стандартной карты , от Ахима Луна
• Приложение для Mac для стандартной карты , Джеймс Мейсс
• Стандартная карта интерактивного апплета Javascript на сайте experience.math.cnrs.fr