В теории динамических систем говорят , что подмножество Λ гладкого многообразия M имеет гиперболическую структуру относительно гладкого отображения f, если его касательное расслоение может быть разбито на два инвариантных подрасслоения , одно из которых сжимается, а другое расширяется под действием е , относительно некоторой римановой метрики на М . Аналогичное определение применимо к случаю потоков .
В частном случае, когда все многообразие M гиперболично, отображение f называется диффеоморфизмом Аносова . Динамика f на гиперболическом множестве, или гиперболическая динамика , демонстрирует особенности локальной структурной устойчивости и была много изучена, ср. Аксиома А .
Определение
Пусть M является компактным гладким многообразием , F : M → M Диффеоморфизм и Df : TM → TM дифференциал от е . Е -инвариантное подмножество Λ из М называется гиперболическим , или иметь гиперболическую структуру , если ограничение на Л касательного расслоения М допускает расщепление в сумму Уитни два Df -инвариантных подрасслоений, называется стабильное расслоение и неустойчивый пучок и обозначены E s и E u . Относительно некоторой римановой метрики на M ограничение Df на E s должно быть сжатием, а ограничение Df на E u должно быть расширением. Таким образом, существуют такие постоянные 0 < λ <1 и c > 0, что
а также
- а также для всех
а также
- для всех а также
а также
- для всех а также .
Если Λ гиперболическая, то существует риманова метрика, для которой c = 1 - такая метрика называется адаптированной .
Примеры
- Точка гиперболического равновесия p - это фиксированная точка или точка равновесия функции f , такая, что ( Df ) p не имеет собственного значения с модулем 1. В этом случае Λ = { p }.
- В более общем случае периодическая орбита в е с периодом п является гиперболической тогда и только тогда , когда Df п в любой точке орбиты не имеет собственных значений с абсолютным значением 1, и это достаточно , чтобы проверить это условие в одной точке орбиты.
Рекомендации
- Авраам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Месса для чтения: Бенджамин / Каммингс. ISBN 0-8053-0102-X.
- Брин, Майкл; Гаррет, Штук (2002). Введение в динамические системы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80841-3.
Эта статья включает материал из Hyperbolic Set на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .