Показатель Ляпунова

В математике ляпуновские или Ляпунова характеристический показатель из динамической системы является величиной , которая характеризует скорость разделения , бесконечно близких траекторий . Количественно две траектории в фазовом пространстве с начальным вектором разделения расходятся (при условии, что расхождение можно рассматривать в рамках линеаризованного приближения) со скоростью, определяемой ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {Z} _ {0}}$

{\ displaystyle | \ delta \ mathbf {Z} (t) | \ приблизительно e ^ {\ lambda t} | \ delta \ mathbf {Z} _ {0} |}

где - показатель Ляпунова. $\lambda$

Скорость отрыва может быть разной для разных ориентаций вектора начального отрыва. Таким образом, имеется спектр показателей Ляпунова, равный по численности размерности фазового пространства. Самый большой показатель принято называть максимальным показателем Ляпунова (MLE), поскольку он определяет понятие предсказуемости динамической системы. Положительный MLE обычно считается признаком хаотичности системы.(при соблюдении других условий, например компактности фазового пространства). Обратите внимание, что произвольный начальный вектор разделения обычно будет содержать некоторую компоненту в направлении, связанном с MLE, и из-за экспоненциальной скорости роста влияние других экспонент со временем будет стираться.

Экспонента названа в честь Александра Ляпунова .

Определение максимального показателя Ляпунова [ править ]

Максимальный показатель Ляпунова можно определить следующим образом:

\lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{|\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}

Предел гарантирует справедливость линейного приближения в любое время. ^[1] $|\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0$

Для системы с дискретным временем (карты или итерации с фиксированной точкой) для орбиты, начинающейся с этого, это означает: $x_{n+1}=f(x_{n})$ $x_{0}$

\lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|

Определение спектра Ляпунова [ править ]

Для динамической системы с уравнением эволюции в n -мерном фазовом пространстве спектр показателей Ляпунова ${\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)$

\{\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\}\,,

в общем, зависит от отправной точки . Однако нас обычно интересует аттрактор (или аттракторы) динамической системы, и обычно с каждым аттрактором связан один набор показателей. Выбор отправной точки может определить, на каком аттракторе окажется система, если их больше одного. (Для гамильтоновых систем, не имеющих аттракторов, это не проблема.) Показатели Ляпунова описывают поведение векторов в касательном пространстве фазового пространства и определяются из матрицы Якоби $x_{0}$

J_{ij}(t)=\left.{\frac {df_{i}(x)}{dx_{j}}}\right|_{x(t)}

этот якобиан определяет эволюцию касательных векторов, заданных матрицей , через уравнение $Y$

{\dot {Y}}=JY

с начальным условием . Матрица описывает, как небольшое изменение в точке распространяется до конечной точки . Лимит $Y_{ij}(0)=\delta _{ij}$ $Y$ $x(0)$ $x(t)$

\Lambda =\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{2t}}\log(Y(t)Y^{T}(t))

определяет матрицу (условия существования предела даются теоремой Оселедца ). Показатели Ляпунова определяются собственными значениями . $\Lambda$ $\lambda _{i}$ $\Lambda$

Набор показателей Ляпунова будет одинаковым почти для всех начальных точек эргодической компоненты динамической системы.

Показатель Ляпунова для нестационарной линеаризации [ править ]

Чтобы ввести показатель Ляпунова, рассмотрим фундаментальную матрицу (например, для линеаризации вдоль стационарного решения в непрерывной системе фундаментальная матрица состоит из линейно независимых решений первого приближения системы. Сингулярные значения матрицы равны квадратные корни из собственных значений матрицы.Наибольший показатель Ляпунова имеет вид ^[2] $X(t)$ $x_{0}$ $\exp \left(\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}t\right)$ $\{\alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}\}_{1}^{n}$ $X(t)$ $X(t)^{*}X(t)$ $\lambda _{\mathrm {max} }$

\lambda _{\mathrm {max} }=\max \limits _{j}\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}.

А. М. Ляпунов доказал, что если система первого приближения регулярна (например, все системы с постоянными и периодическими коэффициентами регулярны) и ее наибольший показатель Ляпунова отрицателен, то решение исходной системы является асимптотически устойчивым по Ляпунову . Позднее О. Перрон заявил, что требование регулярности первого приближения является существенным.

Эффекты Перрона инверсии знака наибольшей экспоненты Ляпунова [ править ]

В 1930 году О. Перрон построил пример системы второго порядка, в которой первое приближение имеет отрицательные показатели Ляпунова вдоль нулевого решения исходной системы, но в то же время это нулевое решение исходной нелинейной системы является неустойчивым по Ляпунову. Кроме того, в некоторой окрестности этого нулевого решения почти все решения исходной системы имеют положительные показатели Ляпунова. Кроме того, можно построить обратный пример, в котором первое приближение имеет положительные показатели Ляпунова вдоль нулевого решения исходной системы, но в то же время это нулевое решение исходной нелинейной системы устойчиво по Ляпунову. ^[3]^[4]Эффект смены знака показателей Ляпунова решений исходной системы и системы первого приближения с одинаковыми начальными данными впоследствии был назван эффектом Перрона. ^[3]^[4]

Контрпример Перрона показывает, что наибольший отрицательный показатель Ляпунова, как правило, не указывает на стабильность, а наибольший положительный показатель Ляпунова не указывает на хаос.

Таким образом, нестационарная линеаризация требует дополнительного обоснования. ^[4]

Основные свойства [ править ]

Если система консервативна (т. Е. Отсутствует диссипация ), элемент объема фазового пространства останется неизменным вдоль траектории. Таким образом, сумма всех показателей Ляпунова должна быть равна нулю. Если система диссипативна, сумма показателей Ляпунова отрицательна.

Если система является потоком и траектория не сходится к одной точке, один показатель всегда равен нулю - показатель Ляпунова, соответствующий собственному значению с собственным вектором в направлении потока. $L$

Значение спектра Ляпунова [ править ]

Спектр Ляпунова можно использовать для оценки скорости производства энтропии, фрактальной размерности и размерности Хаусдорфа рассматриваемой динамической системы . ^[5] В частности, из знания спектра Ляпунова можно получить так называемую размерность Ляпунова (или размерность Каплана – Йорка ) , которая определяется следующим образом: $D_{KY}$

D_{KY}=k+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i}}{|\lambda _{k+1}|}}

где - максимальное целое число, при котором сумма наибольших показателей все еще неотрицательна. представляет собой верхнюю границу информационного измерения системы. ^[6] Более того, сумма всех положительных показателей Ляпунова дает оценку энтропии Колмогорова – Синая согласно теореме Песина. ^[7] Наряду с широко используемыми численными методами оценки и вычисления размерности Ляпунова существует эффективный аналитический подход, основанный на прямом методе Ляпунова со специальными функциями типа Ляпунова. ^[8] Показатели Ляпунова ограниченной траектории и размерность Ляпунова. $k$ $k$ $D_{KY}$ аттрактора инвариантны относительно диффеоморфизма фазового пространства.^[9]

Мультипликативный обратная наибольшего показателя Ляпунова иногда называют в литературе как время ляпуновской , и определяет характерное электронное -folding время. Для хаотических орбит время Ляпунова будет конечным, тогда как для обычных орбит оно будет бесконечным.

Численный расчет [ править ]

Как правило, вычисление показателей Ляпунова, как определено выше, не может быть выполнено аналитически, и в большинстве случаев приходится прибегать к численным методам. Ранний пример, который также представляет собой первую демонстрацию экспоненциального расхождения хаотических траекторий, был проведен Р. Х. Миллером в 1964 году. ^[10] В настоящее время наиболее часто используемая численная процедура оценивает матрицу на основе усреднения нескольких приближений конечного времени матрицы. определение предела . $L$ $L$

Один из наиболее часто используемых и эффективных численных методов вычисления спектра Ляпунова для гладкой динамической системы основан на периодической ортонормировке Грама – Шмидта векторов Ляпунова, чтобы избежать смещения всех векторов вдоль направления максимального расширения. ^[11]^[12]^[13]^[14]

Для расчета показателей Ляпунова по ограниченным экспериментальным данным были предложены различные методы. Однако существует много трудностей с применением этих методов, и к таким проблемам следует подходить осторожно. Основная трудность состоит в том, что данные не полностью исследуют фазовое пространство, скорее, они ограничены аттрактором, который имеет очень ограниченное (если вообще есть) распространение по определенным направлениям. Эти более тонкие или более единичные направления в наборе данных связаны с более отрицательными показателями. Было показано, что использование нелинейных отображений для моделирования эволюции малых смещений от аттрактора значительно улучшает возможность восстановления спектра Ляпунова ^[15]^[16].при условии, что данные имеют очень низкий уровень шума. Также изучалась особенность данных и их связь с более отрицательными показателями. ^[17]

Местный показатель Ляпунова [ править ]

В то время как (глобальный) показатель Ляпунова дает меру общей предсказуемости системы, иногда представляет интерес оценить локальную предсказуемость вокруг точки x ₀ в фазовом пространстве. Это может быть сделано через собственные значения в якобиевой матрице J ⁰ ( х ₀ ). Эти собственные значения также называются локальными показателями Ляпунова. ^[18] (Предупреждение: в отличие от глобальных показателей, эти локальные показатели не инвариантны относительно нелинейного изменения координат).

Условная экспонента Ляпунова [ править ]

Этот термин обычно используется в отношении синхронизации хаоса , в которой две системы связаны, обычно однонаправленно, так что существует система привода (или ведущая) и система ответа (или ведомая). Условные показатели - это показатели системы отклика с системой привода, рассматриваемой просто как источник (хаотического) сигнала возбуждения. Синхронизация происходит, когда все условные показатели отрицательны. ^[19]

См. Также [ править ]

Хаотическое перемешивание для альтернативного вывода
Гипотеза Идена о ляпуновской размерности
Теория Флоке
Теорема Лиувилля (гамильтониан)
Ляпуновское измерение
Ляпуновское время
Количественный анализ повторяемости

Ссылки [ править ]

^ Cencini, M .; и другие. (2010). Мировой научный (ред.). Хаос от простых моделей до сложных систем . ISBN 978-981-4277-65-5.
^ Temam, Р. (1988). Бесконечномерные динамические системы в механике и физике . Кембридж: Springer-Verlag.
^ a b Н.В. Кузнецов; Г.А. Леонов (2005). Об устойчивости по первому приближению для дискретных систем (PDF) . 2005 Международная конференция по физике и управлению, PhysCon 2005 . Proceedings Volume 2005. pp. 596–599. DOI : 10,1109 / PHYCON.2005.1514053 . ISBN 978-0-7803-9235-9. S2CID 31746738 .
^ а б в Г.А. Леонов; Н.В. Кузнецов (2007). «Неустойчивая линеаризация и эффекты Перрона» (PDF) . Международный журнал бифуркаций и хаоса . 17 (4): 1079–1107. Bibcode : 2007IJBC ... 17.1079L . CiteSeerX 10.1.1.660.43 . DOI : 10.1142 / S0218127407017732 .
^ Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттракторов для динамических систем: теория и вычисления . Чам: Спрингер.
Перейти ↑ Kaplan, J. & Yorke, J. (1979). «Хаотическое поведение многомерных разностных уравнений». В Peitgen, HO и Walther, HO (ред.). Функционально-дифференциальные уравнения и приближение неподвижных точек . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-3-540-09518-7.
^ Pesin, YB (1977). "Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория". Русская математика. Обзоры . 32 (4): 55–114. Bibcode : 1977RuMaS..32 ... 55P . DOI : 10.1070 / RM1977v032n04ABEH001639 .
^ Кузнецов, Н.В. (2016). «Ляпуновская размерность и ее оценка методом Леонова». Физика Буквы A . 380 (25–26): 2142–2149. arXiv : 1602.05410 . Bibcode : 2016PhLA..380.2142K . DOI : 10.1016 / j.physleta.2016.04.036 . S2CID 118467839 .
^ Кузнецов, Н.В.; Алексеева Т.А. Леонов, Г.А. (2016). «Инвариантность показателей Ляпунова и размерность Ляпунова для регулярных и нерегулярных линеаризаций». Нелинейная динамика . 85 (1): 195–201. arXiv : 1410.2016 . DOI : 10.1007 / s11071-016-2678-4 . S2CID 119650438 .
^ Миллер, RH (1964). «Необратимость в малых звездных динамических системах». Астрофизический журнал . 140 : 250. Bibcode : 1964ApJ ... 140..250M . DOI : 10,1086 / 147911 .
^ Benettin, G .; Galgani, L .; Giorgilli, A .; Strelcyn, JM (1980). «Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; метод их вычисления. Часть 1: Теория». Meccanica . 15 : 9–20. DOI : 10.1007 / BF02128236 . S2CID 123085922 .
^ Benettin, G .; Galgani, L .; Giorgilli, A .; Strelcyn, JM (1980). "Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; метод их вычисления. Часть 2: Численное приложение". Meccanica . 15 : 21–30. DOI : 10.1007 / BF02128237 . S2CID 117095512 .
^ Шимада, I .; Нагашима, Т. (1979). "Численный подход к эргодической проблеме диссипативных динамических систем" . Успехи теоретической физики . 61 (6): 1605–1616. Bibcode : 1979PThPh..61.1605S . DOI : 10.1143 / PTP.61.1605 .
^ Eckmann, J. -P .; Рюэль, Д. (1985). «Эргодическая теория хаоса и странных аттракторов» . Обзоры современной физики . 57 (3): 617–656. Bibcode : 1985RvMP ... 57..617E . DOI : 10.1103 / RevModPhys.57.617 . S2CID 18330392 .
^ Bryant, P .; Brown, R .; Абарбанель, Х. (1990). «Показатели Ляпунова из наблюдаемых временных рядов». Письма с физическим обзором . 65 (13): 1523–1526. Bibcode : 1990PhRvL..65.1523B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.65.1523 . PMID 10042292 .
^ Браун, R .; Bryant, P .; Абарбанель, Х. (1991). «Вычисление спектра Ляпунова динамической системы из наблюдаемого временного ряда». Physical Review . 43 (6): 2787–2806. Bibcode : 1991PhRvA..43.2787B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.43.2787 . PMID 9905344 .
Перейти ↑ Bryant, PH (1993). «Размеры экстенсиональной особенности для странных аттракторов». Физика Буквы A . 179 (3): 186–190. Bibcode : 1993PhLA..179..186B . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (93) 91136-S .
^ Абарбанель, HDI; Brown, R .; Питомник, МБ (1992). «Локальные показатели Ляпунова, вычисленные по данным наблюдений». Журнал нелинейной науки . 2 (3): 343–365. Bibcode : 1992JNS ..... 2..343A . DOI : 10.1007 / BF01208929 . S2CID 122542761 .
^ См., Например, Pecora, LM; Кэрролл, TL; Джонсон, Джорджия; Мар, диджей; Хеги, Дж. Ф. (1997). «Основы синхронизации в хаотических системах, понятиях и приложениях». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 7 (4): 520–543. Bibcode : 1997Chaos ... 7..520P . DOI : 10.1063 / 1.166278 . PMID 12779679 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттракторов для динамических систем: теория и вычисления . Чам: Спрингер.

М.-Ф. Данка и Н.В. Кузнецовы (2018). "Код Matlab для показателей Ляпунова систем дробного порядка". Международный журнал бифуркаций и хаоса . 25 (5): ст. число 1850067. arXiv : 1804.01143 . DOI : 10.1142 / S0218127418500670 .

Цвитанович П., Артузо Р., Майнери Р., Таннер Г. и Ваттай Г. Хаос: классический и квантовый институт Нильса Бора, Копенгаген, 2005 г. - учебник по хаосу доступен под лицензией свободной документации
Фредди Кристиансен и Ханс Хенрик Ру (1997). «Вычисление спектров Ляпунова с непрерывной ортонормировкой Грама – Шмидта» . Нелинейность . 10 (5): 1063–1072. arXiv : chao-dyn / 9611014 . Bibcode : 1997Nonli..10.1063C . DOI : 10.1088 / 0951-7715 / 10/5/004 . S2CID 122976405 . Архивировано из оригинала на 2006-04-25.

Салман Хабиб и Роберт Д. Райн (1995). «Симплектическое вычисление показателей Ляпунова». Письма с физическим обзором . 74 (1): 70–73. arXiv : chao-dyn / 9406010 . Bibcode : 1995PhRvL..74 ... 70H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.74.70 . PMID 10057701 . S2CID 19203665 .

Говиндан Рангараджан; Салман Хабиб и Роберт Д. Райн (1998). «Показатели Ляпунова без изменения масштаба и реортогонализации». Письма с физическим обзором . 80 (17): 3747–3750. arXiv : chao-dyn / 9803017 . Bibcode : 1998PhRvL..80.3747R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.80.3747 . S2CID 14483592 .

X. Zeng; Р. Эйкхольт и Р. А. Пильке (1991). «Оценка спектра показателей Ляпунова по коротким временным рядам низкой точности». Письма с физическим обзором . 66 (25): 3229–3232. Bibcode : 1991PhRvL..66.3229Z . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.66.3229 . PMID 10043734 .

E Aurell; Дж. Боффетта; Crisanti; G Паладин; А Вульпиани (1997). «Предсказуемость в целом: расширение концепции показателя Ляпунова». J. Phys. A: Математика. Gen . 30 (1): 1-26. arXiv : chao-dyn / 9606014 . Bibcode : 1997JPhA ... 30 .... 1A . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 30/1/003 . S2CID 54697488 .

Ф. Джинелли; P Poggi; Турчи; H Chaté; Р Ливи; Политика (2007). "Описание динамики ковариантными векторами Ляпунова" (PDF) . Письма с физическим обзором . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Bibcode : 2007PhRvL..99m0601G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.99.130601 . ЛВП : 2158/253565 . PMID 17930570 . S2CID 21992110 . Архивировано из оригинального (PDF) 31 октября 2008 года.

Программное обеспечение [ править ]

[1] Р. Хеггер, Х. Канц и Т. Шрайбер, Нелинейный анализ временных рядов, TISEAN 3.0.1 (март 2007 г.).
[2] Продукт Scientio ChaosKit вычисляет показатели Ляпунова среди других мер Хаоса. Доступ предоставляется онлайн через веб-службу и демонстрацию Silverlight.
[3] ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} Лаборатория программного обеспечения для математических воссозданий доктора Рональда Джо Рекорда включает графический клиент X11, lyap, для графического исследования показателей Ляпунова принудительной логистической карты и других карт единичного интервала. На содержание и страницы руководства ^{[ постоянная ссылка мертвых ]} о mathrec лаборатории программного обеспечения также доступны.
[4]Программное обеспечение на этой странице было разработано специально для эффективного и точного расчета полного спектра показателей. Это включает LyapOde для случаев, когда уравнения движения известны, а также Lyap для случаев, связанных с данными экспериментальных временных рядов. LyapOde, который включает исходный код, написанный на "C", также может вычислять условные показатели Ляпунова для связанных идентичных систем. Он предназначен для того, чтобы позволить пользователю предоставить свой собственный набор уравнений модели или использовать одно из включенных. Нет никаких внутренних ограничений на количество переменных, параметров и т. Д. Lyap, который включает исходный код, написанный на Fortran, также может вычислять векторы направления Ляпунова и может характеризовать особенность аттрактора,что является основной причиной трудностей при вычислении более отрицательных показателей на основе данных временных рядов. В обоих случаях есть обширная документация и образцы входных файлов. Программное обеспечение может быть скомпилировано для работы в системах Windows, Mac или Linux / Unix. Программное обеспечение работает в текстовом окне и не имеет графических возможностей, но может генерировать выходные файлы, которые можно легко построить с помощью такой программы, как Excel.

Внешние ссылки [ править ]

Эффекты Перрона инверсии знака показателя Ляпунова

[cencini-1] Cencini, M .; и другие. (2010). Мировой научный (ред.). Хаос от простых моделей до сложных систем . ISBN 978-981-4277-65-5.

[2] Temam, Р. (1988). Бесконечномерные динамические системы в механике и физике . Кембридж: Springer-Verlag.

[2005-IEEE-Discrete-system-stability-Lyapunov-exponent-3] Н.В. Кузнецов; Г.А. Леонов (2005). Об устойчивости по первому приближению для дискретных систем (PDF) . 2005 Международная конференция по физике и управлению, PhysCon 2005 . Proceedings Volume 2005. pp. 596–599. DOI : 10,1109 / PHYCON.2005.1514053 . ISBN 978-0-7803-9235-9. S2CID 31746738 .

[2007-IJBC-Lyapunov-exponent-4] а б в Г.А. Леонов; Н.В. Кузнецов (2007). «Неустойчивая линеаризация и эффекты Перрона» (PDF) . Международный журнал бифуркаций и хаоса . 17 (4): 1079–1107. Bibcode : 2007IJBC ... 17.1079L . CiteSeerX 10.1.1.660.43 . DOI : 10.1142 / S0218127407017732 .

[2020-KuznetsovR-5] Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттракторов для динамических систем: теория и вычисления . Чам: Спрингер.

[ky-6] Перейти ↑ Kaplan, J. & Yorke, J. (1979). «Хаотическое поведение многомерных разностных уравнений». В Peitgen, HO и Walther, HO (ред.). Функционально-дифференциальные уравнения и приближение неподвижных точек . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-3-540-09518-7.

[pesin-7] Pesin, YB (1977). "Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория". Русская математика. Обзоры . 32 (4): 55–114. Bibcode : 1977RuMaS..32 ... 55P . DOI : 10.1070 / RM1977v032n04ABEH001639 .

[8] Кузнецов, Н.В. (2016). «Ляпуновская размерность и ее оценка методом Леонова». Физика Буквы A . 380 (25–26): 2142–2149. arXiv : 1602.05410 . Bibcode : 2016PhLA..380.2142K . DOI : 10.1016 / j.physleta.2016.04.036 . S2CID 118467839 .

[9] Кузнецов, Н.В.; Алексеева Т.А. Леонов, Г.А. (2016). «Инвариантность показателей Ляпунова и размерность Ляпунова для регулярных и нерегулярных линеаризаций». Нелинейная динамика . 85 (1): 195–201. arXiv : 1410.2016 . DOI : 10.1007 / s11071-016-2678-4 . S2CID 119650438 .

[10] Миллер, RH (1964). «Необратимость в малых звездных динамических системах». Астрофизический журнал . 140 : 250. Bibcode : 1964ApJ ... 140..250M . DOI : 10,1086 / 147911 .

[benettin-11] Benettin, G .; Galgani, L .; Giorgilli, A .; Strelcyn, JM (1980). «Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; метод их вычисления. Часть 1: Теория». Meccanica . 15 : 9–20. DOI : 10.1007 / BF02128236 . S2CID 123085922 .

[12] Benettin, G .; Galgani, L .; Giorgilli, A .; Strelcyn, JM (1980). "Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; метод их вычисления. Часть 2: Численное приложение". Meccanica . 15 : 21–30. DOI : 10.1007 / BF02128237 . S2CID 117095512 .

[shimada-13] Шимада, I .; Нагашима, Т. (1979). "Численный подход к эргодической проблеме диссипативных динамических систем" . Успехи теоретической физики . 61 (6): 1605–1616. Bibcode : 1979PThPh..61.1605S . DOI : 10.1143 / PTP.61.1605 .

[14] Eckmann, J. -P .; Рюэль, Д. (1985). «Эргодическая теория хаоса и странных аттракторов» . Обзоры современной физики . 57 (3): 617–656. Bibcode : 1985RvMP ... 57..617E . DOI : 10.1103 / RevModPhys.57.617 . S2CID 18330392 .

[Bryant1-15] Bryant, P .; Brown, R .; Абарбанель, Х. (1990). «Показатели Ляпунова из наблюдаемых временных рядов». Письма с физическим обзором . 65 (13): 1523–1526. Bibcode : 1990PhRvL..65.1523B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.65.1523 . PMID 10042292 .

[brown-16] Браун, R .; Bryant, P .; Абарбанель, Х. (1991). «Вычисление спектра Ляпунова динамической системы из наблюдаемого временного ряда». Physical Review . 43 (6): 2787–2806. Bibcode : 1991PhRvA..43.2787B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.43.2787 . PMID 9905344 .

[bryant2-17] Перейти ↑ Bryant, PH (1993). «Размеры экстенсиональной особенности для странных аттракторов». Физика Буквы A . 179 (3): 186–190. Bibcode : 1993PhLA..179..186B . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (93) 91136-S .

[18] Абарбанель, HDI; Brown, R .; Питомник, МБ (1992). «Локальные показатели Ляпунова, вычисленные по данным наблюдений». Журнал нелинейной науки . 2 (3): 343–365. Bibcode : 1992JNS ..... 2..343A . DOI : 10.1007 / BF01208929 . S2CID 122542761 .

[19] См., Например, Pecora, LM; Кэрролл, TL; Джонсон, Джорджия; Мар, диджей; Хеги, Дж. Ф. (1997). «Основы синхронизации в хаотических системах, понятиях и приложениях». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 7 (4): 520–543. Bibcode : 1997Chaos ... 7..520P . DOI : 10.1063 / 1.166278 . PMID 12779679 .

[1]