В математике , то мультипликативная эргодическая теорема , или ОСЕЛЕДЕЦ теорема дает теоретическую основу для расчета показателей Ляпунова в виде нелинейной динамической системы . Это было доказано Валерием Оселедцем (также называемым «Оселедец») в 1965 году и доложено на Международном математическом конгрессе в Москве в 1966 году. Концептуально иное доказательство мультипликативной эргодической теоремы было найдено М.С. Рагхунатаном . [ необходимая цитата ] Теорема была распространена на полупростые группы ЛиВ.А. Каймановича и обобщены в работах Давида Рюэля , Григория Маргулиса , Андерса Карлссона и Франсуа Ледрапье . [ необходима цитата ]
Коциклы
Мультипликативная эргодическая теорема сформулирована в терминах матричных коциклов динамической системы. Теорема формулирует условия существования определяющих пределов и описывает показатели Ляпунова. Это не касается скорости конвергенции.
Коцикл автономной динамической системы X является отображением С : Х × T → R N × N , удовлетворяющих
где X и T (при T = Z⁺ или T = R⁺ ) - фазовое пространство и временной диапазон, соответственно, динамической системы, а I n - n -мерная единичная матрица. Размерности п матриц С не связан с фазовым пространством X .
Примеры
- Ярким примером коцикла является матрица J t в теории показателей Ляпунова. В этом частном случае, размерность п матриц такого же , как размерность многообразия X .
- Для любой коциклической С , тем определитель Det С ( х , т ) является одномерным коциклом.
Формулировка теоремы
Пусть μ - эргодическая инвариантная мера на X, а C - коцикл динамической системы, такой что для каждого t ∈ T отображения а также являются L 1 интегрируема по отношению к М . Тогда для μ - почти всех х , и каждый ненулевой вектор у ∈ R п предел
существует и принимает, в зависимости от u, но не от x , до n различных значений. Это показатели Ляпунова.
Далее, если λ 1 > ...> λ m - разные пределы, то существуют подпространства R n = R 1 ⊃ ... ⊃ R m ⊃ R m +1 = {0} такие, что предел равен λ i для u ∈ R i \ R i +1 и i = 1, ..., m .
Значения показателей Ляпунова инвариантны относительно широкого диапазона преобразований координат. Предположим, что g : X → X взаимно однозначное отображение такое, чтои его обратное существует; то значения показателей Ляпунова не меняются.
Аддитивные против мультипликативных эргодических теорем
На словах эргодичность означает, что средние по времени и пространству формально равны:
где существуют интегралы и предел. Среднее по пространству (правая часть, μ - эргодическая мера на X ) - это накопление значений f ( x ), взвешенных с помощью μ ( dx ). Поскольку сложение является коммутативным, накопление значений f ( x ) μ ( dx ) может выполняться в произвольном порядке. Напротив, среднее значение по времени (слева) предполагает конкретный порядок значений f ( x ( s )) вдоль траектории.
Поскольку матричное умножение, как правило, не является коммутативным, накопление умноженных значений коцикла (и их пределов) согласно C ( x ( t 0 ), t k ) = C ( x ( t k −1 ), t k - t k −1 ) ... C ( x ( t 0 ), t 1 - t 0 ) - для больших t k и малых шагов t i - t i −1 - имеет смысл только для заданного порядка. Таким образом, среднее значение по времени может существовать (и теорема утверждает, что оно действительно существует), но не существует аналога среднего по времени. Другими словами, теорема Оселедца отличается от аддитивных эргодических теорем (таких как теоремы Г. Д. Биркгофа и Дж. Фон Неймана ) тем, что она гарантирует существование среднего по времени, но не делает никаких заявлений о среднем по пространству.
Рекомендации
- Оселедец, В. И. (1968). "Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристики Ляпунова динамических систем". Труды ММО . 19 : 179–210.
- Руэлль, Д. (1979). «Эргодическая теория дифференцируемых динамических систем» (PDF) . IHES Publ. Математика . 50 (1): 27–58. DOI : 10.1007 / BF02684768 .
Внешние ссылки
- В. И. Оселедец, Теорема Оселедца в Scholarpedia