Обычно гиперболическое инвариантное многообразие (Nhim) является естественным обобщением гиперболического фиксированной точки и гиперболическое множество . Эвристически разницу можно описать следующим образом: Для многообразия чтобы быть обычно гиперболическим, мы можем предположить, что динамика сам по себе нейтрален по сравнению с динамикой поблизости, что недопустимо для гиперболического набора. NHIMs были введены Нилом Фенихелем в 1972 году. [1] В этой и последующих статьях [2] [3] Фенихель доказывает, что NHIMs обладают стабильными и неустойчивыми многообразиями и, что более важно, NHIMs и их стабильные и неустойчивые многообразия сохраняются при малых возмущениях. Таким образом, в задачах, связанных с теорией возмущений, существуют инвариантные многообразия с определенными свойствами гиперболичности, которые, в свою очередь, можно использовать для получения качественной информации о динамической системе. [4]
Определение
Пусть M является компактным гладким многообразием , F : M → M Диффеоморфизм и Df : TM → TM дифференциал от е . Е -инвариантное Подмногообразие Λ из М называется быть нормально гиперболическим инвариантным многообразием , если сужение на Л касательного расслоения М допускает разбиение на сумму три Df -инвариантных подрасслоений, один из которых касательного расслоения, остальные являются стабильным расслоением и нестабильным расслоением и обозначаются E s и E u соответственно. Что касается некоторой римановой метрики на M , ограничение Df на E s должно быть сжатием, а ограничение Df на E u должно быть расширением и должно быть относительно нейтральным на. Таким образом, существуют постоянныеи c > 0 такие, что
а также
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Фенихель N (1972). «Постоянство и гладкость инвариантных многообразий для потоков» . Индиана Univ. Математика. Дж . 21 (3): 193–226. DOI : 10.1512 / iumj.1971.21.21017 .
- ^ Фенихель Н. (1974). «Асимптотическая устойчивость с условиями скорости» . Индиана Univ. Математика. Дж . 23 (12): 1109–1137. DOI : 10.1512 / iumj.1974.23.23090 .
- ^ Фенихель, Н. (1977). «Асимптотическая устойчивость со скоростными условиями II» . Индиана Univ. Математика. Дж . 26 (1): 81–93. DOI : 10.1512 / iumj.1977.26.26006 .
- ^ А. Каток и Б. Хассельблатт Введение в современную теорию динамических систем , Cambridge University Press (1996), ISBN 978-0521575577
- MW Hirsch, CC Pugh и M. Shub Инвариантные многообразия , Springer-Verlag (1977), ISBN 978-3540081487 ‹См. Tfd› doi : 10.1007 / BFb0092042