Топологическая сопряженность

В математике , две функции называются топологически сопряжены друг с другом , если существует на гомеоморфизм , который будет Проспрягайте один в другой. Топологическая сопряженность важна при изучении повторяющихся функций и в более общем плане динамических систем , поскольку, если динамика одной повторяющейся функции может быть решена, то для любой топологически сопряженной функции следуют тривиально.

Чтобы проиллюстрировать это напрямую: предположим, что и - повторяющиеся функции, и существует такой гомеоморфизм , что ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h,}

так что и топологически сопряжены. Тогда нужно иметь ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$

{\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h,}

следовательно, итерированные системы также топологически сопряжены. Здесь обозначает композицию функций . ${\ displaystyle \ circ}$

Определение [ править ]

${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to X, g \ двоеточие Y \ to Y}$ , и - непрерывные функции на топологических пространствах , и . ${\ Displaystyle ч \ двоеточие от Y \ до X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle f}$ будучи топологически полусопряженным со средствами, по определению, это сюръекция такая, что . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ Displaystyle F \ CIRC H = H \ CIRC G}$

${\ displaystyle f}$ и будучи топологически сопряженные средства, по определению, что они являются топологически полусопряжено и , кроме того , инъективны , то биективен , и его обратным является непрерывной слишком; т.е. является гомеоморфизмом ; далее, называется топологическим сопряжением между и . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$

Потоки [ править ]

Аналогично, on и on - это потоки , with и как указано выше. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X, Y}$ ${\ Displaystyle ч \ двоеточие от Y \ до X}$

${\ displaystyle \ phi}$ будучи топологический полусопряжено с помощью, по определению, что является сюръекция таким образом, что для каждого , . ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle \ phi (час (y), t) = час \ circ \ psi (y, t)}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ phi}$ а то , что они топологически сопряжены , по определению означает, что они топологически полусопряжены и $h$ является гомеоморфизмом. ${\ displaystyle \ psi}$

Примеры [ править ]

Логистическая карта и карта палатки топологически сопряжены. ^[1]
Логистическая карта единичной высоты и карта Бернулли топологически сопряжены. ^{[ необходима цитата ]}
Для определенных значений в пространстве параметров отображение Энона, когда оно ограничено своим множеством Жюлиа, топологически сопряжено или полусопряжено с отображением сдвига в пространстве двусторонних последовательностей из двух символов. ^[2]

Обсуждение [ править ]

Топологическое сопряжение - в отличие от полусопряжения - определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства самому себе, объявляя и связанными, если они топологически сопряжены. Это отношение эквивалентности очень полезно в теории динамических систем , поскольку каждый класс содержит все функции, которые разделяют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например, орбиты из сопоставляются гомеоморфными орбиты через сопряжение. Запись делает этот факт очевидным: . Неформально говоря, топологическое сопряжение - это «смена координат» в топологическом смысле. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h}$ ${\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h}$

Однако аналогичное определение потоков носит несколько ограничительный характер. Фактически, мы требуем, чтобы отображения и были топологически сопряженными для каждого , что требует большего, чем просто отображение орбит на орбиты гомеоморфизма. Это мотивирует определение топологической эквивалентности , которое также разделяет множество всех потоков на классы потоков, разделяющих одну и ту же динамику, опять же с топологической точки зрения. ${\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, т)}$ ${\ displaystyle \ psi (\ cdot, t)}$ $t$ $\phi$ $\psi$ $X$

Топологическая эквивалентность [ править ]

Мы говорим , что два потока и являются топологически эквивалентными , если существует гомеоморфизм , отображение орбит на орбиты гомеоморфно и сохранения ориентации орбит. Другими словами, обозначая орбиту, мы имеем $\phi$ $\psi$ $h:Y\to X$ $\psi$ $\phi$ ${\mathcal {O}}$

h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )

для каждого . Кроме того, необходимо выстроить течение времени: для каждого существует такое, что если и если $s$ таково, что , то . $y\in Y$ $y\in Y$ $\delta >0$ $0<\vert s\vert <t<\delta$ $\phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)$ $s>0$

В целом, топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая сопряженность, поскольку не требует, чтобы временной член отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически сопряженной системы может быть негиперболический класс двумерных систем дифференциальных уравнений, имеющих замкнутые орбиты. В то время как орбиты могут быть преобразованы друг в друга для перекрытия в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть сопоставлены аналогичным образом, таким образом не удовлетворяя критерию топологической сопряженности при удовлетворении критерия топологической эквивалентности.

Гладкая и орбитальная эквивалентность [ править ]

Дополнительные критерии эквивалентности могут быть изучены, если потоки, и возникают из дифференциальных уравнений. $\phi$ $\psi$

Две динамические системы определяются дифференциальными уравнениями, и , как говорят, гладко эквивалентными , если существует диффеоморфизм , такой , что ${\dot {x}}=f(x)$ ${\dot {y}}=g(y)$ $h:X\to Y$

f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.

В этом случае, динамические системы могут быть преобразованы друг в друга с помощью преобразования координат, . $y=h(x)$

Две динамические системы на одном и том же пространстве состояний, определенные с помощью и , называются орбитально эквивалентными, если существует положительная функция , такая, что . Орбитально эквивалентные системы отличаются только временной параметризацией. ${\dot {x}}=f(x)$ ${\dot {x}}=g(x)$ $\mu :X\to \mathbb {R}$ $g(x)=\mu (x)f(x)$

Системы, которые гладко эквивалентны или орбитально эквивалентны, также топологически эквивалентны. Однако обратное неверно. Например, рассмотрим линейные системы в двух измерениях формы . Если матрица имеет два положительных действительных собственных значения, система имеет неустойчивый узел; если матрица имеет два комплексных собственных значения с положительной действительной частью, система имеет неустойчивый фокус (или спираль). Узлы и фокусы топологически эквивалентны, но не орбитально эквивалентны или гладко эквивалентны ^[3], потому что их собственные значения различны (обратите внимание, что якобианы двух локально гладко эквивалентных систем должны быть подобны , поэтому их собственные значения, а также алгебраическая и геометрическая кратности должны быть равным). ${\dot {x}}=Ax$ $A$

Обобщения динамической топологической сопряженности [ править ]

Сообщается о двух расширениях концепции динамической топологической сопряженности:

Аналогичные системы, определяемые как изоморфные динамические системы
Присоединенные динамические системы, определенные через присоединенные функторы и естественные эквивалентности в категориальной динамике. ^[4]^[5]

См. Также [ править ]

Коммутативная диаграмма

Ссылки [ править ]

^ Alligood, КТ, Sauer, Т., и Йорк, JA (1997). Хаос: Введение в динамические системы . Springer. С. 114–124. ISBN 0-387-94677-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Devaney, R .; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона» . Comm. Математика. Phys . 67 (2): 137–146. Bibcode : 1979CMaPh..67..137D . DOI : 10.1007 / bf01221362 . Проверено 2 сентября 2016 года .
↑ Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
^ «Сложность и категориальная динамика» . Архивировано из оригинального 19 августа 2009 года.
^ "Аналогичные системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы" . Архивировано из оригинала на 2015-02-25.

Эта статья включает материал топологического сопряжения на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[Alli97-1] Alligood, КТ, Sauer, Т., и Йорк, JA (1997). Хаос: Введение в динамические системы . Springer. С. 114–124. ISBN 0-387-94677-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Devan79-2] Devaney, R .; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона» . Comm. Математика. Phys . 67 (2): 137–146. Bibcode : 1979CMaPh..67..137D . DOI : 10.1007 / bf01221362 . Проверено 2 сентября 2016 года .

[3] Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.

[4] «Сложность и категориальная динамика» . Архивировано из оригинального 19 августа 2009 года.

[5] "Аналогичные системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы" . Архивировано из оригинала на 2015-02-25.

[1]