Карта Хенона , которую иногда называют Хенон-Помо аттрактор / картой , [1] является дискретным время системы динамической . Это один из наиболее изученных примеров динамических систем , демонстрирующих хаотическое поведение . Карта Энона берет точку ( x n , y n ) на плоскости и отображает ее в новую точку
Карта зависит от двух параметров, a и b , которые для классического отображения Энона имеют значения a = 1,4 и b = 0,3. Для классических значений отображение Энона хаотично. Для других значений a и b карта может быть хаотичной, прерывистой или сходиться к периодической орбите . Обзор типа поведения карты при различных значениях параметров может быть получен из ее орбитальной диаграммы .
Карта была введена Мишель Hénon в качестве упрощенной модели сечения Пуанкаре в модели Лоренца . Для классической карты начальная точка плоскости будет либо приближаться к набору точек, известному как странный аттрактор Энона , либо расходиться до бесконечности. Аттрактор Энона - это фрактал , гладкий в одном направлении и набор Кантора в другом. Численные оценки дают корреляционную размерность 1,25 ± 0,02 [2] и размерность Хаусдорфа 1,261 ± 0,003 [3] для аттрактора классического отображения.
Аттрактор
Карта Энона отображает две точки в себя: это инвариантные точки. Для классических значений a и b отображения Энона одна из этих точек находится на аттракторе:
Эта точка нестабильна. Точки, близкие к этой фиксированной точке и вдоль склона 1,924, будут приближаться к фиксированной точке, а точки на склоне -0,156 будут перемещаться от фиксированной точки. Эти наклоны возникают из-за линеаризации устойчивого многообразия и неустойчивого многообразия неподвижной точки. Неустойчивое многообразие неподвижной точки в аттракторе содержится в странном аттракторе отображения Энона.
У отображения Энона нет странного аттрактора для всех значений параметров a и b . Например, если оставить b фиксированным на уровне 0,3, бифуркационная диаграмма показывает, что при a = 1,25 отображение Энона имеет стабильную периодическую орбиту в качестве аттрактора.
Цвитанович и др. показали, как структуру странного аттрактора Энона можно понять в терминах неустойчивых периодических орбит внутри аттрактора.
Разложение
Карту Энона можно разложить на изгиб, сохраняющий площадь:
- ,
сокращение в направлении x :
- ,
и отражение в линии y = x :
- .
Одномерное разложение
Карта Энона также может быть разложена на одномерную карту, определенную аналогично последовательности Фибоначчи .
Особые случаи и низкопериодические орбиты
Если решить одномерную карту Хенона для особого случая:
Приходим к простой квадратике:
Или же
В квадратичной формуле дает:
В частном случае b = 1 это упрощается до
Если, кроме того, a находится в виде формула дополнительно упрощается до
На практике начальная точка (X, X) будет следовать четырехточечной петле в двух измерениях, проходящей через все квадранты.
История
В 1976 году во Франции аттрактор Лоренца проанализировал физик Ив Помо, который провел серию численных расчетов с Дж. Л. Ибанезом. [4] Анализ представляет собой своего рода дополнение к работе Рюэля (и Лэнфорда), представленной в 1975 году. Их интересует аттрактор Лоренца, то есть тот, который соответствует исходным дифференциальным уравнениям, и его геометрическая структура. . Помо и Ибанез комбинируют свои численные расчеты с результатами математического анализа, основанного на использовании сечений Пуанкаре. Растяжение, сворачивание, чувствительность к начальным условиям естественным образом связываются в этом контексте с аттрактором Лоренца. Если анализ, в конечном счете, очень математический, Помо и Ибанез следуют в некотором смысле физическому подходу, экспериментируя с системой Лоренца численно.
Эти переживания открывают две возможности. Они позволяют выделить сингулярное поведение системы Лоренца: существует переход, характеризующийся критическим значением параметров системы, при котором система переключается из положения странного аттрактора в конфигурацию в предельном цикле. Важность этого будет раскрыта самим Помо (и соавтором Полем Манневиллем) через «сценарий» перемежаемости , предложенный в 1979 году.
Второй путь, предложенный Помо и Ибанесом, - это идея реализации динамических систем, даже более простых, чем у Лоренца, но имеющих аналогичные характеристики, и которые позволят более четко доказать «свидетельства», обнаруженные с помощью численных расчетов. Поскольку рассуждения основаны на разделе Пуанкаре, он предлагает создать приложение плоскости самой по себе, а не дифференциальное уравнение, имитируя поведение Лоренца и его странный аттрактор. Он строит ее специальным образом, что позволяет ему лучше обосновывать свои рассуждения.
В январе 1976 года Помо представил свою работу во время семинара в обсерватории Лазурного берега, на котором присутствовал Мишель Энон. Мишель Энон использует предложение Помо для получения простой системы со странным аттрактором. [5] [6]
Смотрите также
Заметки
- ^ Раздел 13.3.2; Сюй, Чие Су. Отображение от ячейки к ячейке: метод глобального анализа нелинейных систем . Vol. 64. Springer Science & Business Media, 2013.
- ^ П. Грассбергер; И. Прокачча (1983). «Измерение странностей странных аттракторов». Physica . 9D (1-2): 189-208. Bibcode : 1983PhyD .... 9..189G . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1 .
- ^ Д.А. Рассел; JD Hanson; Э. Отт (1980). «Размерность странных аттракторов». Письма с физическим обзором . 45 (14): 1175. Bibcode : 1980PhRvL..45.1175R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.1175 .
- ^ «Помо_Ибанез 1976» .
- ^ "L'attracteur de Hénon" .
- ^ «Два французских образца: Ив Помо и Мишель Энон» .
Рекомендации
- М. Энон (1976). «Двумерное отображение со странным аттрактором». Сообщения по математической физике . 50 (1): 69–77. Bibcode : 1976CMaPh..50 ... 69H . DOI : 10.1007 / BF01608556 .
- Предраг Цвитанович; Гемуну Гунаратне; Итамар Прокачча (1988). «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Энона». Physical Review . 38 (3): 1503–1520. Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.38.1503 . PMID 9900529 .
- Карлес Симо (1979). «Об аттракторе Энона-Помо». Журнал статистической физики . 21 : 465–494.
- Мишель Энон и Ив Помо (1976). «Два странных аттрактора с простой структурой». Турбулентность и уравнения Навье-Стокса . Спрингер: 29–68.
- M. Michelitsch; О.Е. Рёсслер (1989). «Новая функция на карте Энона» . Компьютеры и графика . 13 (2): 263–265. DOI : 10.1016 / 0097-8493 (89) 90070-8 .. Перепечатано в: Хаос и фракталы, Путешествие по компьютерной графике: Десятилетний сборник передовых исследований (изд. CA Pickover). Амстердам, Нидерланды: Elsevier, стр. 69–71, 1998.
- Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттракторов для динамических систем: теория и вычисления . Чам: Спрингер.
Внешние ссылки
- Карта Интерактивная Эно и Эно аттрактор в хаотических Maps
- Еще одна интерактивная версия карты Хенона А. Луна.
- Орбитальная диаграмма карты Хенона, составленная К. Пеллисером-Лостао и Р. Лопес-Руисом после работы Эда Пегга-младшего, «Демонстрационный проект Вольфрама» .
- Код Matlab для карты Hénon, автор M.Suzen
- Моделирование карты Хенона в javascript (experience.math.cnrs.fr) от Марка Монтичелли.