В теории хаоса , то размерность корреляции (обозначим через v , ) является мерой размерности пространства , занимаемого набором случайных точек, часто называют как тип фрактальной размерности . [1] [2] [3]
Например, если мы имеем набор случайных точек на действительных чисел линии между 0 и 1, соотношение размер будет ν = 1, в то время как , если они распределены по скажем, треугольник , внедренный в трехмерном пространстве (или м - пространственное пространство), корреляционная размерность будет ν = 2. Это то, что мы интуитивно ожидаем от меры размерности. Реальная полезность корреляционной размерности заключается в определении (возможно, дробных) размерностей фрактальных объектов. Существуют и другие методы измерения размерности (например, размерность Хаусдорфа , то размерность коробчатого подсчета , а информационное измерение), но корреляционная размерность имеет то преимущество, что ее можно легко и быстро вычислить, она менее шумна, когда доступно только небольшое количество точек, и часто согласуется с другими расчетами размерности.
Для любого набора из N точек в m -мерном пространстве
![{\ vec {x}} (i) = [x_ {1} (i), x_ {2} (i), \ ldots, x_ {m} (i)], \ qquad i = 1,2, \ ldots N](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea71396198569c41d0c097d60a04269a1a1f61b3)
тогда корреляционный интеграл C ( ε ) вычисляется по формуле:
где g - общее количество пар точек, расстояние между которыми меньше расстояния ε (графическое представление таких близких пар представляет собой график повторения ). Поскольку количество точек стремится к бесконечности, а расстояние между ними стремится к нулю, корреляционный интеграл для малых значений ε примет вид:
Если количество точек достаточно велико и равномерно распределено, логарифмический график корреляционного интеграла от ε даст оценку ν . Эту идею можно качественно понять, осознав, что для объектов более высоких измерений будет больше способов для точек быть ближе друг к другу, и поэтому количество пар, близких друг к другу, будет расти быстрее для более высоких измерений.
Грассбергер и Прокаччиа ввели технику в 1983 году; [1] в статье приводятся результаты таких оценок для ряда фрактальных объектов, а также сравниваются значения с другими мерами фрактальной размерности. Этот метод можно использовать для различения (детерминированного) хаотического и действительно случайного поведения, хотя он может оказаться неэффективным при обнаружении детерминированного поведения, если детерминированный механизм генерации очень сложен. [4]
Например, в статье «Солнце во времени» [5] этот метод использовался, чтобы показать, что количество солнечных пятен на Солнце с учетом известных циклов, таких как суточный и 11-летний циклы, весьма вероятно. не случайный шум, а скорее хаотический шум с фрактальным аттрактором малой размерности.
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ a b Питер Грассбергер и Итамар Прокачча (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Physica D: нелинейные явления . 9 (1‒2): 189‒208. Bibcode : 1983PhyD .... 9..189G . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1 .
- ^ Питер Грассбергер и Итамар Прокаччиа (1983). «Характеристика странных аттракторов». Письма с физическим обзором . 50 (5): 346–349. Bibcode : 1983PhRvL..50..346G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.50.346 .
- ^ Питер Грассбергер (1983). «Обобщенные размеры странных аттракторов». Физика Буквы A . 97 (6): 227–230. Bibcode : 1983PhLA ... 97..227G . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (83) 90753-3 .
- ^ ДеКостер, Грегори П .; Митчелл, Дуглас В. (1991). «Эффективность метода измерения корреляции в обнаружении детерминизма в малых выборках». Журнал статистических вычислений и моделирования . 39 (4): 221–229. DOI : 10.1080 / 00949659108811357 .
- ^ Сонетт, К., Giampapa, М. и Мэттьюз, М. (ред.) (1992). Солнце во времени . Университет Аризоны Press . ISBN 0-8165-1297-3.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
