Размерность Минковского – Булиганда

Оценка размеров побережья Великобритании для подсчета ящиков

В фрактальной геометрии , то Размерность Минковского , также известный как размерности Минковского или размерности окно подсчета , является способ определения фрактальной размерности в виде множества S в евклидовом пространстве R ^п , или в более общем плане в метрическом пространстве ( X ,  г ). Он назван в честь немецкого математика Германа Минковского и французского математика Жоржа Булигана .

Чтобы вычислить это измерение для фрактала S , представьте этот фрактал, лежащий на равномерно распределенной сетке, и посчитайте, сколько ящиков требуется, чтобы покрыть множество. Измерение подсчета ящиков рассчитывается, наблюдая, как это число изменяется по мере того, как мы делаем сетку более тонкой, применяя алгоритм подсчета ящиков .

Предположим, что N ( ε ) - количество ящиков со стороной ε, необходимое для покрытия множества. Тогда размер подсчета коробок определяется как:

${\displaystyle \dim _{\rm {box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.}$

Грубо говоря, это означает, что размерность - это показатель степени d такой, что N (1 / n ) ≈ C n ^d , что можно было бы ожидать в тривиальном случае, когда S - гладкое пространство (многообразие) целочисленной размерности d.

Если вышеуказанный предел не существует, можно по-прежнему брать верхний предел и нижний предел , которые соответственно определяют размер верхнего и нижнего блока . Размер верхней коробки иногда называют энтропией размерность , размерность Колмогорова , Колмогорова емкость , предельная емкость или верхняя размерность Минковского , тогда как нижний размер коробки также называют меньшую размерность Минковского .

Размеры верхнего и нижнего ящиков тесно связаны с более популярным размером Хаусдорфа . Только в очень специальных приложениях важно различать три (см. Ниже ). Еще одна мера фрактальной размерности - это корреляционная размерность .

Альтернативные определения [ править ]

Примеры набивки шара, покрытия шара и покрытия ящика.

Можно определить размеры коробки, используя шарики, либо с номером покрытия , либо с номером упаковки. Число покрытия - это минимальное количество открытых шаров радиуса ε, необходимое для покрытия фрактала, или, другими словами, таких, что их объединение содержит фрактал. Мы можем также рассмотреть внутреннее покрытие число , которое определяется таким же образом , но с дополнительным требованием , что центры открытых шаров лежат внутри множества S . Число упаковки - это максимальное количество непересекающихся открытых шаров радиуса ε, которые можно расположить так, чтобы их центры находились внутри фрактала. Пока N${\displaystyle N_{\rm {covering}}(\varepsilon )}$${\displaystyle N'_{\rm {covering}}(\varepsilon )}$${\displaystyle N_{\rm {packing}}(\varepsilon )}$, N _{покрытие} , N ' _{покрытие} и N _{упаковка} не совсем идентичны, они тесно связаны и приводят к идентичным определениям размеров верхнего и нижнего ящика. Это легко доказать, если доказать следующие неравенства:

${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2).\,}$

Они, в свою очередь, с небольшим усилием вытекают из неравенства треугольника .

Преимущество использования шаров вместо квадратов состоит в том, что это определение распространяется на любое метрическое пространство . Другими словами, определение блока является внешним - предполагается, что фрактальное пространство S содержится в евклидовом пространстве , и блоки определяются в соответствии с внешней геометрией содержащего пространства. Однако размер S должен быть внутренним , независимым от среды, в которую помещается S , и определение шара может быть сформулировано внутренне. Один определяет внутренний шар как все точки S на определенном расстоянии от выбранного центра, и один считает такие шары, чтобы получить размер. (Точнее, Nопределение _{покрытия} является внешним, но два других являются внутренними.)

Преимущество использования ящиков состоит в том, что во многих случаях N ( ε ) можно легко вычислить в явном виде, а для ящиков номера покрытия и упаковки (определенные эквивалентным образом) равны.

Логарифм из упаковки и покрывающих чисел иногда называют энтропийные числами , и несколько аналогичных понятия термодинамической энтропии и теоретико-информационной энтропии , в том , что они измеряют количество «расстройства» в метрическом пространстве или фрактальные в масштабе ε , а также измерить, сколько битов или цифр необходимо для определения точки пространства с точностью ε .

Другое эквивалентное (внешнее) определение измерения подсчета ящиков дается формулой:

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$

где для каждого r  > 0 набор определяется как r -окрестность S , то есть множество всех точек, в которых расстояние меньше r от S (или, что то же самое, является объединением всех открытых шаров радиуса r с центром в точке  S ).${\displaystyle S_{r}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle S_{r}}$

Свойства [ править ]

Оба размера ящика конечно аддитивны, т. Е. Если { A ₁ , .... A _n } - конечный набор множеств, то

${\displaystyle \dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots ,\dim A_{n}\}.\,}$

Однако они не являются счетно аддитивными, т. Е. Это равенство не выполняется для бесконечной последовательности множеств. Например, размер ячейки одной точки равен 0, но размер ячейки набора рациональных чисел в интервале [0, 1] имеет размерность 1. По сравнению с этим мера Хаусдорфа является счетно-аддитивной.

Интересным свойством размера верхнего ящика, не имеющего общего ни с размером нижнего ящика, ни с измерением Хаусдорфа, является соединение для добавления набора. Если A и B - два множества в евклидовом пространстве, то A + B формируется путем взятия всех пар точек a, b, где a из A, а b из B, и добавления a + b . Надо

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$

Связь с размерностью Хаусдорфа [ править ]

Измерение подсчета ящиков - одно из множества определений измерения, которое может быть применено к фракталам. Для многих фракталов с хорошим поведением все эти измерения равны; в частности, эти измерения совпадают, когда фрактал удовлетворяет условию открытого множества (OSC) . ^[1] Например, размерность Хаусдорфа, размерность нижнего ящика и размерность верхнего ящика канторовского множества равны log (2) / log (3). Однако определения не эквивалентны.

Размеры ящика и размерность Хаусдорфа связаны неравенством

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }\leq \dim _{\operatorname {lowerbox} }\leq \dim _{\operatorname {upperbox} }.}$

В целом оба неравенства могут быть строгими . Размер верхнего ящика может быть больше, чем размер нижнего ящика, если фрактал ведет себя по-разному в разных масштабах. Например, рассмотрим набор чисел в интервале [0,1], удовлетворяющий условию

для любого n все цифры между 2 ^{2 n-й} цифрой и (2 ^{2 n +1-1}  ) -й цифрой равны нулю

Цифры в «нечетных интервалах мест», то есть между цифрами 2 ^{2 n +1} и 2 ^{2 n +2}  - 1, не ограничены и могут принимать любое значение. Этот фрактал имеет размерность верхнего ящика 2/3 и размер нижнего ящика 1/3, факт, который можно легко проверить, вычислив N ( ε ) для и отметив, что их значения ведут себя по-разному для четных и нечетных n .${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$

Еще примеры: множество рациональных чисел , счетное множество с , имеет, поскольку его замыкание , имеет размерность 1. Фактически, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }=0}$${\displaystyle \dim _{\operatorname {box} }=1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {box} }\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$

Эти примеры показывают, что добавление счетного набора может изменить размер коробки, показывая своего рода нестабильность этого измерения.

См. Также [ править ]

• Измерение корреляции
• Размер упаковки
• Показатель неопределенности
• Гипотеза Вейля – Берри
• Лакунарность

Ссылки [ править ]

• Фалконер, Кеннет (1990). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Чичестер: Джон Вили. С.  38–47 . ISBN 0-471-92287-0. Zbl  0689.28003 .
• Вайсштейн, Эрик В. "Измерение Минковского-Булиганда" . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

• FrakOut !: приложение OSS для расчета фрактальной размерности формы с использованием метода подсчета ящиков (не размещает ящики автоматически).
• FracLac: онлайн-руководство пользователя и программное обеспечение ImageJ и плагин для подсчета боксов FracLac; бесплатное удобное программное обеспечение с открытым исходным кодом для анализа цифровых изображений в биологии