Двоично - преобразование (также известное как диадическая карта , битовый сдвиг карта , 2 х моды 1 карта , Бернулли карта , удваивая карту или карту пилообразной [1] [2] ) является отображением (то есть, рекуррентное соотношение )
производится по правилу
- . [3]
Эквивалентно, диадическое преобразование также может быть определено как отображение повторяющейся функции кусочно-линейной функции
Карта сдвига битов имени возникает потому, что, если значение итерации записано в двоичной системе счисления, следующая итерация получается путем сдвига двоичной точки на один бит вправо, и если бит слева от новой двоичной точки является "один", заменив его нулем.
Диадическое преобразование представляет собой пример того, как простая одномерная карта может вызвать хаос . Эта карта легко обобщается на несколько других. Важным из них является бета-преобразование , определяемое как. Эта карта была тщательно изучена многими авторами. Он был введен Альфредом Реньи в 1957 году, а инвариантная мера для него была дана Александром Гельфондом в 1959 году и снова независимо Биллом Парри в 1960 году. [4] [5] [6]
Связь с процессом Бернулли
Отображение может быть получено как гомоморфизм на процессе Бернулли . Позволять - набор всех полубесконечных цепочек букв а также . Это можно понять как подбрасывание монеты, выпад орла или решки. Эквивалентно можно написатьпространство всех (полу) бесконечных строк двоичных битов. Слово «бесконечный» квалифицируется как «полу-», так как можно также определить другое пространство.состоящий из всех двойных бесконечных (двусторонних) струн; это приведет к карте Бейкера . Квалификация «полу-» опускается ниже.
Это пространство имеет естественную операцию сдвига , заданную формулой
где представляет собой бесконечную строку двоичных цифр. Учитывая такую строку, напишите
Результирующий действительное число в единичном интервале Смена индуцирует гомоморфизм , также называемый, на единичном интервале. С легко увидеть, что Для вдвойне бесконечной последовательности битов индуцированный гомоморфизм - это отображение Бейкера .
Тогда диадическая последовательность - это просто последовательность
Это,
Набор Кантора
Обратите внимание, что сумма
дает функцию Кантора , как принято определять. Это одна из причин, почему набориногда называют множеством Кантора .
Скорость потери информации и чувствительная зависимость от начальных условий
Отличительной чертой хаотической динамики является потеря информации при моделировании. Если мы начнем с информации о первых s битах начальной итерации, то после m смоделированных итераций ( m < s ) у нас останется только ( s - m ) бит информации. Таким образом, мы теряем информацию со скоростью один бит за итерацию. После s итераций наша симуляция достигла нулевой фиксированной точки, независимо от истинных значений итераций; таким образом, мы полностью потеряли информацию. Это демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий - отображение усеченного начального условия экспоненциально отклонилось от отображения истинного начального условия. А поскольку наша симуляция достигла фиксированной точки, почти для всех начальных условий она не будет качественно правильно описывать динамику как хаотическую.
Эквивалентной концепции потери информации является концепция получения информации. На практике какой-то реальный процесс может генерировать последовательность значений { x n } с течением времени, но мы можем наблюдать эти значения только в усеченной форме. Предположим, например, что x 0 = 0,1001101, но мы наблюдаем только усеченное значение 0,1001. Наш прогноз для x 1 равен 0,001. Если мы подождем, пока реальный процесс не сгенерирует истинное значение x 1 0,001101, мы сможем наблюдать усеченное значение 0,0011, которое более точно, чем наше предсказанное значение 0,001. Таким образом, мы получили информационный прирост в один бит.
Связь с картой палатки и логистической картой
Диадическое преобразование топологически полусопряжено с картой палатки единичной высоты . Напомним, что карта палатки с единичной высотой задается следующим образом:
Сопряжение явно задается формулой
чтобы
Это, Это стабильно при итерациях, так как
Это также сопряжено с хаотическим случаем r = 4 логистической карты . Г = 4 случай логистического отображения является; это связано с картой сдвига бит в переменной x следующим образом:
Существует также полусопряженность между диадическим преобразованием (здесь называется карта удвоения угла) и квадратичным многочленом . Здесь карта удваивает углы, измеренные в поворотах . То есть карта задается
Периодичность и непериодичность
Из-за простой природы динамики, когда итерации рассматриваются в двоичной системе счисления, легко классифицировать динамику на основе начального условия:
Если начальное условие иррационально (как почти все точки в единичном интервале), то динамика непериодична - это непосредственно следует из определения иррационального числа как числа с неповторяющимся двоичным разложением. Это хаотичный случай.
Если х 0 является рационально образ х 0 содержит конечное число различных значений в пределах [0, 1) и вперед орбиту из х 0 в конечном счете периодическим с периодом , равным периоду двоичного разложения х 0 . В частности, если начальным условием является рациональное число с конечным двоичным расширением k битов, то после k итераций итерации достигают фиксированной точки 0; если начальное условие - рациональное число с k- битным переходным процессом ( k ≥ 0), за которым следует q- битная последовательность ( q > 1), которая повторяется бесконечно, то после k итераций итерации достигают цикла длины q . Таким образом, возможны циклы любой длины.
Например, прямая орбита 24 ноября:
который достиг цикла периода 2. В пределах любого подинтервала [0,1), независимо от того, насколько они малы, поэтому существует бесконечное количество точек, орбиты которых в конечном итоге периодичны, и бесконечное количество точек, орбиты которых никогда не бывают периодический. Эта чувствительная зависимость от начальных условий характерна для хаотических карт .
Периодичность через битовые сдвиги
Периодические и непериодические орбиты легче понять, не работая с картой напрямую, а скорее с картой сдвига битна канторовом пространстве .
То есть гомоморфизм
по сути, это утверждение, что набор Кантора может быть отображен в вещественные числа. Это сюръекция: каждое диадическое рациональное число имеет не одно, а два различных представления в канторовом множестве. Например,
Это просто двоичная версия известной проблемы 0.999 ... = 1 . В общем случае удвоенные представления верны: для любой заданной исходной последовательности конечной длины длины , надо
Начальная последовательность соответствует непериодической части орбиты, после которой итерация устанавливается на все нули (то есть все единицы).
Выраженные в виде битовых строк, периодические орбиты карты могут быть рассмотрены рациональными числами. То есть после начальной «хаотической» последовательностипериодическая орбита превращается в повторяющуюся цепочку длины . Нетрудно увидеть, что такие повторяющиеся последовательности соответствуют рациональным числам. Письмо
тогда очевидно, что
Если взять исходную неповторяющуюся последовательность, очевидно, что у каждого есть рациональное число. Фактически, каждое рациональное число может быть выражено таким образом: начальная «случайная» последовательность, за которой следует циклический повтор. То есть периодические орбиты карты находятся во взаимно однозначном соответствии с рациональными числами.
Это явление заслуживает внимания, потому что нечто подобное происходит во многих хаотических системах. Например, геодезические на компактных многообразиях могут иметь периодические орбиты, которые ведут себя подобным образом.
Однако имейте в виду, что рациональные числа представляют собой набор нулевой меры в действительных числах. Практически все орбиты не периодические! Апериодические орбиты соответствуют иррациональным числам. Это свойство также верно в более общих настройках. Остается открытым вопрос, в какой степени поведение периодических орбит ограничивает поведение системы в целом. Такие явления, как диффузия Арнольда, предполагают, что общий ответ - «не очень много».
Состав плотности
Вместо того, чтобы смотреть на орбиты отдельных точек под действием карты, не менее целесообразно изучить, как карта влияет на плотности на единичном интервале. То есть, представьте, что на единичный интервал посыпают пылью; в одних местах он плотнее, чем в других. Что происходит с этой плотностью при повторении?
Писать как эта плотность, так что . Чтобы получить действие на этой плотности нужно найти все точки и напишите [7]
Знаменатель в приведенном выше является определителем Якоби преобразования, здесь это просто производная от и другие . Кроме того, очевидно, что в прообразе есть только две точки., эти а также Собирая все вместе, получаем
Условно такие отображения обозначаются через так что в этом случае напишите
Карта является линейным оператором , так как (очевидно) а также для всех функций на единичном интервале, а все константы .
С точки зрения линейного оператора наиболее очевидный и актуальный вопрос: каков его спектр ? Одно собственное значение очевидно: задано очевидно, есть поэтому однородная плотность инвариантна относительно преобразования. Фактически это наибольшее собственное значение оператора, это собственное значение Фробениуса – Перрона . По сути, равномерная плотность есть не что иное, как инвариантная мера диадического преобразования.
Чтобы изучить спектр более подробно, нужно сначала ограничиться подходящим пространством функций (на единичном интервале) для работы. Это может быть пространство функций , измеримых по Лебегу , или, возможно, пространство функций, суммируемых с квадратом , или, возможно, даже просто многочлены . Работать с любым из этих пространств на удивление сложно, хотя спектр можно получить. [7]
Борелевское пространство
Огромное количество результатов упрощения, если вместо этого работать с пространством Кантора. , и функции Рекомендуется соблюдать осторожность, так как карта определяется на единичном интервале от реальной числовой прямой , предполагая естественную топологию на реалов. Напротив, картаопределена на канторовом пространстве , которому по соглашению дается совсем другая топология, топология продукта . Существует потенциальное столкновение топологий; нужно соблюдать некоторую осторожность. Однако, как показано выше, существует гоморфизм множества Кантора в действительные числа; к счастью, он отображает открытые множества в открытые и, таким образом, сохраняет понятие непрерывности.
Для работы с набором Кантора для него необходимо указать топологию; условно это топология продукта . Путем присоединения дополнительных множеств его можно расширить до борелевского пространства , то есть до сигма-алгебры . Топология - это цилиндрические наборы . Набор цилиндров имеет общий вид
где битовые значения "безразлично", а представляют собой конечное число явно определенных битовых значений, разбросанных в бесконечной строке битов, не требующей внимания. Это открытые наборы топологии. Каноническая мера на этом пространстве - это мера Бернулли для справедливого подбрасывания монеты. Если в строке безразличных позиций указан только один бит, размер равен 1/2. Если указаны два бита, размер равен 1/4 и так далее. Можно получше: с учетом реального числа можно определить меру
если есть головы и хвосты в последовательности. Мера с является предпочтительным, так как он сохраняется на карте
Так, например, сопоставляется с интервалом а также сопоставляется с интервалом и оба этих интервала имеют меру 1/2. По аналогии, сопоставляется с интервалом который по-прежнему имеет меру 1/2. То есть приведенное выше вложение сохраняет меру.
Альтернатива - написать
который сохраняет меру То есть он отображает так, что мера на единичном интервале снова является мерой Лебега.
Оператор Фробениуса – Перрона
Обозначим совокупность всех открытых множеств на множестве Кантора через и рассмотрим множество всех произвольных функций Смена побуждает двигаться вперед
определяется Это снова какая-то функция Таким образом, карта вызывает другую карту на пространстве всех функций То есть, учитывая некоторые , один определяет
Этот линейный оператор называется передаточным оператором или оператором Рюэля – Фробениуса – Перрона . Наибольшее собственное значение - это собственное значение Фробениуса – Перрона , и в данном случае оно равно 1. Соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой: в данном случае это мера Бернулли . Очередной раз, когда
Спектр
Чтобы получить спектр , необходимо предоставить подходящий набор базисных функций для пространства Один из таких вариантов - ограничить к множеству всех многочленов . В этом случае оператор имеет дискретный спектр , а собственные функции (что любопытно) являются многочленами Бернулли ! [8] (Это совпадение названий, по-видимому, не было известно Бернулли.)
Действительно, легко проверить, что
где - многочлены Бернулли . Это следует потому, что многочлены Бернулли подчиняются тождеству
Обратите внимание, что
Другой базис обеспечивается базисом Хаара , а функции, покрывающие пространство, являются вейвлетами Хаара . В этом случае находится непрерывный спектр , состоящий из единичного диска на комплексной плоскости . Дано в единичном диске, так что , функции
подчиниться
для целого числа Это полная основа, в которой каждое целое число можно записать в виде Полиномы Бернулли восстанавливаются, полагая а также
Полную основу можно дать и другими способами; они могут быть записаны в терминах дзета-функции Гурвица . Еще одна полная основа - это функция Такаги . Это фрактальная функция, не дифференцируемая в никуда. Собственные функции явно имеют вид
где - треугольная волна . Опять же
Все эти различные основы могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. В этом смысле они эквивалентны.
Фрактальные собственные функции показывают явную симметрию относительно фрактальной группоиде из модульной группы ; более подробно это развито в статье о функции Такаги (кривая Бланманже). Возможно, это не сюрприз; множество Кантора имеет точно такой же набор симметрий (как и непрерывные дроби ). Это затем элегантно ведет к теории эллиптических уравнений и модулярных форм .
Смотрите также
- Процесс Бернулли
- Схема Бернулли
- Модель Гилберта – Шеннона – Ридса , случайное распределение перестановок, заданное применением карты удвоения к набору из n равномерно случайных точек на единичном интервале
Заметки
- ^ Хаотические 1D карты , Евгений Демидов
- ^ Вольф, А. «Количественная оценка Хаоса с показателями Ляпунова», в Хаосе , под редакцией А.В. Холдена, Princeton University Press, 1986.
- ^ Динамические системы и теория эргодическая - Удвоения Карта архивации 2013-02-12 в Wayback Machine , Коринна Улсиграй, Бристольский Университет
- ^ А. Реньи, «Представления для действительных чисел и их эргодические свойства», Acta Math Acad Sci Венгрия, 8, 1957, стр. 477-493.
- ↑ А.О. Гельфонд, “Общее свойство систем счисления”, Изв. АН СССР, сер. Мат., 23, 1959, с. 809–814.
- ^ W. Парри, «О β-разложении действительных чисел», Acta Math Acad Sci, Венгрия, 11, 1960, стр. 401–416.
- ^ a b Дин Дж. Дриб, Полностью хаотические карты и нарушенная симметрия времени, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Нидерланды, ISBN 0-7923-5564-4
- ^ Пьер Гаспар, " r -адические одномерные отображения и формула суммирования Эйлера", Journal of Physics A , 25 (письмо) L483-L485 (1992).
Рекомендации
- Дин Дж. Дрибе, Полностью хаотические карты и сломанная симметрия времени , (1999) Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, Нидерланды ISBN 0-7923-5564-4
- Линас Вепстас, Карта Бернулли, оператор Гаусса-Кузмина-Вирсинга и дзета Римана , (2004)