Карта Бейкера

В теории динамических систем , на карте пекарские является хаотичным отображение единичного квадрата в себя. Он назван в честь операции замешивания, которую пекари применяют к тесту: тесто разрезается пополам, две половинки складываются друг на друга и сжимаются.

Пример меры , инвариантной относительно действия (не повернутого) отображения Бейкера: инвариантная мера . Применение карты пекаря к этому изображению всегда приводит к одному и тому же изображению.

Карту Бейкера можно понять как оператор двустороннего сдвига бибесконечной модели решетки с двумя состояниями . Карта Бейкера топологически сопряжена с картой подковы . В физике цепочка связанных карт Бейкера может использоваться для моделирования детерминированной диффузии .

Как и во многих детерминированных динамических системах, отображение пекаря изучается по его действию на пространство функций, определенных на единичном квадрате. Карта пекаря определяет оператор в пространстве функций, известный как оператор переноса карты. Карта пекаря представляет собой точно решаемую модель детерминированного хаоса , в которой собственные функции и собственные значения передаточного оператора могут быть определены явно.

Есть два альтернативных определения карты пекаря, которые широко используются. Одно определение складывает или поворачивает одну из нарезанных половин перед тем, как присоединиться к ней (аналогично карте подковы ), а другое - нет.

Свернутая карта пекаря действует на единичный квадрат как

${\ displaystyle S _ {\ text {baker-folded}} (x, y) = {\ begin {cases} (2x, y / 2) & {\ text {for}} 0 \ leq x <{\ frac {1 } {2}} \\ (2-2x, 1-y / 2) & {\ text {for}} {\ frac {1} {2}} \ leq x <1. \ end {cases}}}$

Когда верхняя часть не перевернута, карта может быть записана как

${\ displaystyle S _ {\ text {baker-unfolded}} (x, y) = \ left (2x- \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor \ ,, \, {\ frac {y + \ left \ lfloor 2x \ right \ rfloor} {2}} \ right).}$

Свернутая карта пекаря представляет собой двумерный аналог карты палатки.

${\ displaystyle S _ {\ mathrm {tent}} (x) = {\ begin {cases} 2x & {\ text {for}} 0 \ leq x <{\ frac {1} {2}} \\ 2 (1- x) & {\ text {for}} {\ frac {1} {2}} \ leq x <1 \ end {cases}}}$

а развернутое отображение аналогично отображению Бернулли . Обе карты топологически сопряжены. Отображение Бернулли можно понимать как карту, которая постепенно сокращает цифры двоичного разложения x . В отличие от карты палатки, карта пекаря обратима.

Отображение пекаря сохраняет двумерную меру Лебега .

Повторное нанесение карты пекаря на точки красного и синего цвета, изначально разделенные. После нескольких итераций кажется, что красная и синяя точки полностью перемешаны.

Карта представляет собой сильное перемешивание и топологическое перемешивание .

Оператор трансфера ${\ displaystyle U}$сопоставляет функции единичного квадрата с другими функциями единичного квадрата; это дается

${\ displaystyle \ left [Uf \ right] (x, y) = (f \ circ S ^ {- 1}) (x, y).}$

"> Воспроизвести медиа

Квадрат исходной единицы находится вверху, а внизу показан результат при перемещении квадрата слева направо.