В математике , микширование является абстрактным понятием , происходящее из физики : попытка описать необратимый термодинамический процесс в смешивании в повседневном мире: смешивании красок, смешивание напитков, промышленное смешивание , и т.д. .
Это понятие появляется в эргодической теории - изучении случайных процессов и динамических систем, сохраняющих меру . Существует несколько различных определений перемешивания, включая сильное перемешивание , слабое перемешивание и топологическое перемешивание , причем последнее не требует определения меры . Некоторые из различных определений микширования можно расположить в иерархическом порядке; таким образом, сильное перемешивание означает слабое перемешивание. Более того, слабое перемешивание (и, следовательно, также сильное перемешивание) подразумевает эргодичность : то есть каждая система, которая слабо перемешивает, также является эргодической (и поэтому говорят, что перемешивание является «более сильным» понятием, чем эргодичность).
Неформальное объяснение
Математическое определение смешивания направлено на то, чтобы отразить обычный повседневный процесс смешивания, такой как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание в промышленных процессах , дым в задымленном помещении и так далее. Для обеспечения математической строгости такие описания начинаются с определения сохраняющей меру динамической системы , записанной как.
Набор понимается как общее пространство , чтобы быть заполнены: смесительная чаша, дым заполненные комнаты, и т.д. The меры понимается как определение естественного объема пространства и его подпространств. Набор подпространств обозначается, и размер любого заданного подмножества является ; размер - это его объем. Наивно можно было представитьбыть булеан из; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (известный парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условносостоит из измеримых подмножеств - подмножеств, имеющих объем. Всегда считается борелевским множеством - набором подмножеств, которые можно построить, взяв пересечения , объединения и дополнения множеств ; их всегда можно считать измеримыми.
Временная эволюция системы описывается картой . Учитывая некоторое подмножество, его карта в общем будет деформированной версией - его раздавливают или растягивают, складывают или разрезают на части. Математические примеры включают в карту хлебопекарной и карту подковы , как вдохновленный хлеб -Изготовление. Набор должен иметь такой же объем, как ; сжатие / растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система «сохраняет меру» (сохраняет площадь, сохраняет объем).
Формальная трудность возникает, когда кто-то пытается согласовать объем множеств с необходимостью сохранить их размер под картой. Проблема возникает из-за того, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с участием . Хуже того, одна точкане имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратной картой.; он отобразит любое заданное подмножество к деталям, которые были собраны, чтобы сделать это: эти части . У него есть важное свойство - не сбиваться с пути к тому, откуда все взялось. Более того, он обладает тем важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение является инверсией некоторого отображения . Правильным определением карты, сохраняющей объем, является определение, для которого так как описывает все части-части, которые пришли из.
Теперь каждый заинтересован в изучении эволюции системы во времени. Если набор в конце концов посещает все в течение длительного периода времени (то есть, если подходит ко всем для больших ) система называется эргодической . Если каждый наборведет себя таким образом, система представляет собой консервативную систему , в отличие от диссипативной системы , в которой некоторые подмножества блуждать , чтобы никогда не вернуться. Примером может служить вода, текущая под гору - как только она стечет, она больше никогда не вернется. Однако озеро, которое образуется на дне этой реки, может быть хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что любую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную и диссипативную.
Смешение - более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя наборами., а не только между набором а также . То есть, учитывая любые два набора, система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число такое, что для всех а также , у одного есть это . Здесь,обозначает пересечение множеств иэто пустое множество .
Приведенного выше определения топологического перемешивания должно быть достаточно, чтобы дать неформальное представление о перемешивании (оно эквивалентно формальному определению, приведенному ниже). Однако в нем не упоминается объем а также , и, действительно, есть другое определение, которое явно работает с объемом. На самом деле несколько; у одного есть как сильное перемешивание, так и слабое перемешивание; они неэквивалентны, хотя сильная система перемешивания всегда плохо перемешивает. Определения, основанные на мере, несовместимы с определением топологического перемешивания: есть системы, которые являются одними, но не являются другими. Общая ситуация остается туманной: например, учитывая три набора, можно определить 3-перемешивание. По состоянию на 2020 год неизвестно, подразумевает ли 2-смешивание 3-смешивание. (Если рассматривать эргодичность как «1-смешивание», то становится ясно, что 1-смешивание не подразумевает 2-смешивание; есть системы, которые являются эргодическими, но не смешиваются.)
Понятие сильного перемешивания относится к объему пары наборов. Рассмотрим, например, наборцветного красителя, который смешивается с чашкой какой-то липкой жидкости, скажем, кукурузного сиропа, шампуня и т.п. Практический опыт показывает, что смешивание липких жидкостей может быть довольно трудным: обычно есть какой-то угол емкости, в который трудно смешать краситель. Выбрать как наборэтот труднодоступный угол. Тогда возникает вопрос о смешивании: может ли, по прошествии достаточно длительного времени не только проникают в но также заполнить в той же пропорции, что и в других местах?
Можно сформулировать определение сильного перемешивания как требование, чтобы
Параметр времени служит для разделения а также вовремя, так что один смешивает удерживая тестовый объем фиксированный. Продуктнемного более тонкий. Представьте себе, что объем составляет 10% от общего объема, и что объем красителя также будет 10% от общей суммы. Если равномерно распределен, то занимает 10% , что само по себе составляет 10% от общего количества, а значит, в конечном итоге, после смешивания, часть это в составляет 1% от общего объема. Это,Это произведение объемов имеет более чем мимолетное сходство с теоремой Байеса о вероятностях; это не случайность, а скорее следствие того, что теория меры и теория вероятностей - одна и та же теория: они разделяют одни и те же аксиомы ( аксиомы Колмогорова ), даже если они используют разные обозначения.
Причина использования вместо в определении немного тонко, но по тем же причинам следует, почему был использован для определения концепции сохраняющей меру карты. Глядя на то, сколько красителя замешано в углу, хочется посмотреть, откуда «взялась» эта краска (предположительно, она была залита сверху, когда-то в прошлом). Надо быть уверенным, что каждое место, откуда оно могло "прийти", в конечном итоге смешалось с.
Смешивание в динамических системах
Позволять - динамическая система , сохраняющая меру , где T - оператор временной эволюции или сдвига . Система называется сильным перемешиванием, если для любого, надо
Для сдвигов, параметризованных непрерывной переменной вместо дискретного целого числа n , применяется то же определение, с заменен на где g является параметром непрерывного времени.
Динамическая система называется слабым перемешиванием, если
Другими словами, сильное перемешивание, если в обычном смысле слабое перемешивание, если
в смысле Чезаро , и эргодический, еслив смысле Чезаро. Следовательно, сильное перемешивание означает слабое перемешивание, что означает эргодичность. Однако обратное неверно: существуют эргодические динамические системы, которые не являются слабо перемешивающими, и слабо перемешивающие динамические системы, которые не являются сильно перемешивающими. Система Chacon исторически была первым примером системы со слабым, но не сильным перемешиванием. [1]
формулировка
Свойства эргодичности, слабого перемешивания и сильного перемешивания динамической системы, сохраняющей меру, также могут быть охарактеризованы средним значением наблюдаемых. По эргодической теореме фон Неймана эргодичность динамической системы эквивалентно тому свойству, что для любой функции , последовательность сильно сходится и в смысле Чезаро к , т.е.
Динамическая система является слабо перемешивающим, если для любых функций а также
Динамическая система сильно перемешивает, если для любой функции последовательность слабо сходится к т.е. для любой функции
Поскольку предполагается, что система сохраняет меру, эта последняя строка эквивалентна утверждению, что ковариация так что случайные величины а также становятся ортогональными как растет. Собственно, поскольку это работает для любой функции можно неофициально рассматривать смешивание как свойство случайных величин а также стать независимым как растет.
Продукты динамических систем
Учитывая две измеряемые динамические системы а также можно построить динамическую систему на декартовом произведении путем определения Тогда у нас есть следующие характеристики слабого перемешивания:
- Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающим тогда и только тогда, когда для любой эргодической динамической системы , система также эргодичен.
- Предложение. Динамическая система слабо перемешивает тогда и только тогда, когда также эргодичен. Если это так, то тоже слабо перемешивает.
Обобщения
Приведенное выше определение иногда называют сильным 2-перемешиванием , чтобы отличить его от смешивания более высоких порядков. Сильная система 3-смешивания может быть определена как система , для которой
имеет место для всех измеримых множеств , B , C . Аналогично можно определить сильное k-перемешивание . Система , которая является сильным к - смешивание для всех к = 2,3,4, ... называется смешением всех заказов .
Неизвестно, подразумевает ли сильное 2-перемешивание сильное 3-перемешивание. Известно, что сильное m- перемешивание предполагает эргодичность .
Примеры
Иррациональные вращения окружности и вообще неприводимые сдвиги на торе эргодичны, но не являются ни сильно, ни слабо перемешивающими относительно меры Лебега.
Многие карты рассматриваются как хаотические сильно смешивания для некоторой хорошо подобранной инвариантной меры, в том числе: в двоичную карте , кот карта Арнольда , подковы карта , Колмогоров автоморфизмы , и поток Аносова ( геодезический поток на единичной касательное расслоение из компактных многообразий с отрицательным кривизна .)
Топологическое перемешивание
Форма смешивания может быть определена без обращения к мере , используя только топологию системы. Непрерывное отображение называется топологически транзитивным, если для любой пары непустых открытых множеств , существует такое целое число n , что
где является п - й итерации из F . В теории операторов топологически транзитивный ограниченный линейный оператор (непрерывное линейное отображение в топологическом векторном пространстве ) обычно называют гиперциклическим оператором . Связанная с этим идея выражается странствующим множеством .
Лемма: если X - полное метрическое пространство без изолированной точки , то f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда существует гиперциклическая точка , то есть точка x такая, что ее орбитаявляется плотным в X .
Система называется топологически перемешивающей, если для открытых множеств а также существует такое целое число N , что для всех, надо
Для системы с непрерывным временем заменяется потоком , где g является непрерывным параметром, с требованием, чтобы непустое пересечение выполнялось для всех.
Слабое перемешивание топологического является тот , который не имеет непостоянный непрерывный (по отношению к топологии) собственным функциями оператора сдвига.
Топологическое перемешивание не подразумевает и не подразумевает ни слабого, ни сильного перемешивания: есть примеры систем, которые являются слабым перемешиванием, но не перемешиваются топологически, и примеры, которые являются топологически перемешивающими, но не сильными.
Смешивание в случайных процессах
Позволять - случайный процесс на вероятностном пространстве. Пространство последовательностей, в которое отображается процесс, может быть наделено топологией, топологией продукта . В открытых множеств этой топологии называются цилиндрами множеств . Эти цилиндрические множества порождают σ-алгебру , борелевскую σ-алгебру ; это наименьшая σ-алгебра, содержащая топологию.
Определить функцию , называемый коэффициентом сильного перемешивания , так как
для всех . Символ, с участием обозначает под-σ-алгебру σ-алгебры; это набор цилиндрических наборов, которые задаются между моментами a и b , то есть σ-алгебра, порожденная.
Процесс называется сильно перемешивающим, если в виде . Другими словами, процесс сильного перемешивания таков, что однородным во все времена способом и все события, события до времени и события после времени стремятся быть независимыми как; Говоря проще, процесс в строгом смысле слова забывает свою историю.
Смешивание в марковских процессах
Предполагать были стационарным марковским процессом со стационарным распределением и разреши обозначим пространство измеримых по Борелю функций, квадратично интегрируемых по мере . Также позвольте
обозначим оператор условного ожидания на Наконец, пусть
обозначим пространство интегрируемых с квадратом функций с нулевым средним.
Коэффициенты ρ- смешения процесса { x t } равны
Процесс называется ρ- перемешиванием, если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , и « ρ- перемешиванием с экспоненциальной скоростью убывания», если ρ t < e - δt для некоторого δ > 0 . Для стационарного марковского процесса коэффициенты ρ t могут либо убывать с экспоненциальной скоростью, либо всегда быть равными единице. [2]
Коэффициенты α- смешения процесса { x t } равны
Процесс называется α -перемешиванием , если эти коэффициенты сходятся к нулю при т → ∞ , то «α-смешивании с экспоненциальной скоростью распада» , если α т < ТО - & delta ; t в течение некоторого б > 0 , и это α-смешивание с скорость субэкспоненциального убывания, если α t < ξ ( t ) для некоторой невозрастающей функции удовлетворение
в виде . [2]
Коэффициенты α- перемешивания всегда меньше, чем коэффициенты ρ- перемешивания: α t ≤ ρ t , поэтому, если процесс является ρ- перемешиванием, он обязательно будет также α- перемешиванием. Однако, когда ρ t = 1 , процесс все еще может быть α- перемешиванием с субэкспоненциальной скоростью затухания.
Коэффициенты β- смешения определяются как
Процесс называется β -перемешиванием , если эти коэффициенты сходятся к нулю при т → ∞ , то β-смешивании с экспоненциальной скоростью распада , если β т < ТО - & delta ; t в течение некоторого б > 0 , и это β-смешивание с суб -экспоненциальная скорость убывания, если β t ξ ( t ) → 0 при t → ∞ для некоторой невозрастающей функции удовлетворение
в виде . [2]
Строго стационарный марковский процесс является β- перемешивающим тогда и только тогда, когда он является апериодической рекуррентной цепью Харриса . Коэффициенты β- смешивания всегда больше, чем коэффициенты α- смешивания, поэтому, если процесс является β- смешиванием, он также будет α- смешиванием. Между β- смешиванием и ρ- смешиванием нет прямой связи : ни одно из них не подразумевает другого.
Рекомендации
- В.И. Арнольд, А. Авез, Эргодические проблемы классической механики , (1968), WA Benjamin, Inc.
- Ахим Кленке, Теория вероятностей , (2006) Springer ISBN 978-1-84800-047-6
- Чен, Сяохун; Хансен, Ларс Питер; Карраско, Марин (2010). «Нелинейность и временная зависимость». Журнал эконометрики . 155 (2): 155–169. CiteSeerX 10.1.1.597.8777 . DOI : 10.1016 / j.jeconom.2009.10.001 . S2CID 10567129 .
- ^ Мэтью Никол и Карл Петерсен, (2009) « Эргодическая теория: основные примеры и конструкции », Энциклопедия сложности и системологии , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
- ^ a b c Чен, Хансен и Карраско (2010)