В математике , Колмогорова автоморфизм , K -автоморфизмом , K -Shift или K -система является обратимым, сохраняющее меру автоморфизм , определенный на стандартном вероятностном пространстве , подчиняющийся нулевой один закон Колмогорова . [1] Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами (говорят, что они обладают K -свойством ), но не наоборот. Было показано, что многие эргодические динамические системы имеют K-свойство, хотя более недавние исследования показали, что многие из них на самом деле являются автоморфизмами Бернулли.
Хотя определение K -свойства кажется достаточно общим, оно резко отличается от автоморфизма Бернулли. В частности, теорема об изоморфизме Орнштейна неприменима к K -системам, и поэтому энтропии недостаточно для классификации таких систем - существует несчетное количество неизоморфных K -систем с одинаковой энтропией. По сути, коллекция K- систем большая, беспорядочная и неклассифицированная; тогда как B -автоморфизмы «полностью» описываются теорией Орнштейна .
Формальное определение
Позволять - стандартное вероятностное пространство , и пусть- обратимое преобразование, сохраняющее меру . потомназывается K -автоморфизма, K -преобразования или K -Shift, если существует суб- сигма алгебра такие, что выполняются следующие три свойства:
Здесь символ является объединением сигма-алгебр , аэто множество пересечений . Равенство следует понимать как выполняющееся почти всюду , т. Е. Различающееся не более чем на множестве нулевой меры .
Характеристики
Предполагая, что сигма-алгебра нетривиальна, т. Е. Если , тогда Отсюда следует, что K -автоморфизмы являются сильным перемешивающим .
Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами, но не наоборот .
Рекомендации
дальнейшее чтение
- Кристофер Хоффман, " Контрпримерная машина АК ", Пер. Амер. Математика. Soc. 351 (1999), стр. 4263–4280.