Сохраняющая меру динамическая система

В математике , А сохраняющее меру динамическая система является объектом исследования в абстрактной формулировке динамических систем и эргодической теории , в частности. Сохраняющие меру системы подчиняются теореме Пуанкаре о возвращении и являются частным случаем консервативных систем . Они обеспечивают формальную математическую основу для широкого круга физических систем и, в частности, многих систем из классической механики (в частности, большинства недиссипативных систем), а также систем, находящихся в термодинамическом равновесии .

Определение [ править ]

Сохраняющая меру динамическая система определяется как вероятностное пространство и сохраняющее меру преобразование на нем. Более подробно это система

{\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}}, \ mu, T)}

со следующей структурой:

${\ displaystyle X}$ это набор,
${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ является σ-алгеброй над , ${\ displaystyle X}$
$\mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]$ является вероятностной мерой , так что , и , $\mu (X)=1$ $\mu (\varnothing )=0$
$T:X\rightarrow X$ является измеримым преобразованием , которое сохраняет меру , то есть . $\mu$ $\forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)$

Обсуждение [ править ]

Может возникнуть вопрос, почему преобразование, сохраняющее меру, определяется в терминах обратного, а не прямого преобразования . Это можно понять довольно просто. Рассмотрим отображение из множества мощности : $\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)$ $\mu (T(A))=\mu (A)$ ${\mathcal {T}}$

{\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)

Рассмотрим теперь частный случай отображений, которые сохраняют пересечения, объединения и дополнения (так что это отображение борелевских множеств ), а также отправляет в (потому что мы хотим, чтобы оно было консервативным ). Каждое такое консервативное, сохраняющее Бореля отображение может быть задано некоторым сюръективным отображением путем записи . Конечно, можно было и определить , но этого недостаточно, чтобы указать все такие возможные карты . То есть консервативные, сохраняющие Бореля карты , вообще говоря, не могут быть записаны в виде Очевидно! можно сказать; рассмотрим, например, отображение единичного интервала, заданное этим, - это отображение Бернулли . ${\mathcal {T}}$ $X$ $X$ $T:X\to X$ ${\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)$ ${\mathcal {T}}(A)=T(A)$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}$ ${\mathcal {T}}(A)=T(A).$ $T:[0,1)\to [0,1)$ $x\mapsto 2x\mod 1;$

Обратите внимание, что это имеет форму pushforward , тогда как обычно называется откатом . Почти все свойства и поведение динамических систем определены в терминах продвижения вперед. Например, оператор переноса определяется в терминах продвижения карты преобразования ; теперь меру можно понимать как инвариантную меру ; это просто собственный вектор Фробениуса – Перрона передаточного оператора (напомним, что собственный вектор FP - это наибольший собственный вектор матрицы; в этом случае это собственный вектор, который имеет собственное значение: инвариантная мера). $\mu (T^{-1}(A))$ $\mu (T(A))$ $T$ $\mu$

Интересны две проблемы классификации. Один, обсуждаемый ниже, исправляет и задает вопросы о классах изоморфизма преобразования преобразования . Другой, обсуждается в операторе переноса , исправление и , и спрашивает о картах , которые являются мера типа. Подобны мере, в том, что они сохраняют борелевские свойства, но больше не являются инвариантными; в целом они диссипативны и, таким образом, дают представление о диссипативных системах и пути к равновесию. $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ $T$ $(X,{\mathcal {B}})$ $T$ $\mu$

С точки зрения физики динамическая система, сохраняющая меру, часто описывает физическую систему, которая находится в равновесии, например, термодинамическое равновесие . Кто-то может спросить: как это случилось? Часто ответ заключается в перемешивании, перемешивании , турбулентности , термализации или других подобных процессах. Если карта трансформации описывает это перемешивание, перемешивание и т. Д., То система - это все, что остается после того, как все переходные режимы исчезли. Переходные режимы - это как раз те собственные векторы передаточного оператора, у которых собственное значение меньше единицы; инвариантная мера $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ $T$ $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ $\mu$ это единственная мода, которая не исчезает. Скорость затухания переходных режимов определяется (логарифмом) их собственными значениями; собственное значение соответствует бесконечному периоду полураспада.

Неформальный пример [ править ]

Микроканоническое ансамбль из физики представляет собой неофициальный пример. Рассмотрим, например, жидкость, газ или плазму в коробке шириной, длиной и высотой, состоящей из атомов. Одиночный атом в этом ящике может быть где угодно и иметь произвольную скорость; он был бы представлен единственной точкой в . Данный набор атомов тогда был бы единственной точкой где-нибудь в пространстве . «Ансамбль» - это совокупность всех таких точек, то есть совокупность всех таких возможных коробок (из которых несчетное число). Этот ансамбль всевозможных ящиков - пространство наверху. $w\times l\times h,$ $N$ $w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.$ $N$ $(w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.$ $X$

В случае идеального газа мера дается распределением Максвелла – Больцмана . Это мера произведения в том смысле , что если вероятность того, что атом имеет положение и скорость , то для атомов вероятность является их произведением . Считается, что эта мера применяется к ансамблю. Так, например, в одном из возможных ящиков ансамбля все атомы находятся на одной стороне ящика. Вероятность этого можно вычислить в мере Максвелла – Больцмана. Он будет невероятно крошечным по порядку Из всех возможных коробок в ансамбле это смехотворно малая доля. $\mu$ $p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p$ $i$ $x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}$ $N$ $N$ ${\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).$

Единственная причина, по которой это «неформальный пример», состоит в том, что записать функцию перехода сложно, и, даже если она записана, трудно выполнять с ней практические вычисления. Трудности усугубляются, если взаимодействие не является взаимодействием типа бильярдного шара идеального газа, а является взаимодействием Ван-дер-Ваальса или каким-либо другим взаимодействием, подходящим для жидкости или плазмы; в таких случаях инвариантная мера больше не является распределением Максвелла – Больцмана. Искусство физики находит разумные приближения. $T$

Эта система действительно демонстрирует одну ключевую идею из классификации динамических систем, сохраняющих меру: два ансамбля, имеющие разные температуры, не эквивалентны. Энтропия для данного канонического ансамбля зависит от его температуры; Что касается физических систем, то «очевидно», что, когда различаются температуры, различаются и системы. В общем случае это верно: системы с разной энтропией не изоморфны.

Примеры [ править ]

Пример сохраняющего ( меру Лебега ) отображения: T : [0,1) → [0,1),

x\mapsto 2x\mod 1.

В отличие от неформального примера, приведенного выше, приведенные ниже примеры достаточно четко определены и понятны, чтобы можно было выполнять явные формальные вычисления.

μ может быть нормированной угловой мерой dθ / 2π на единичной окружности , а T - вращением. См. Теорему о равнораспределении ;
схема Бернулли ;
интервал преобразования обмена ;
с определением подходящей меры - поддвиг конечного типа ;
базовой поток из случайной динамической системы ;
поток гамильтонова векторного поля на касательном расслоении замкнутого связного гладкого многообразия сохраняет меру (с использованием меры, индуцированной на борелевских множествах симплектической формой объема ) по теореме Лиувилля (гамильтониан) ; ^[1]
для некоторых карт и процессов Маркова , то Крылова-Боголюбова теорема устанавливает существование подходящей меры для формирования сохраняющего меру динамической системы.

Обобщение на группы и моноиды [ править ]

Определение динамической системы, сохраняющей меру, может быть обобщено на случай, когда T не является единичным преобразованием, которое повторяется для получения динамики системы, а вместо этого является моноидом (или даже группой , и в этом случае мы имеем действие группы на заданном вероятностном пространстве) преобразований Т _с : Х → Х параметризованных ев ∈ Z (или R , или N ∪ {0}, или [, + ∞)), где каждое преобразование 0 T _сек удовлетворяет те же требования, что и Т выше. ^[1] В частности, преобразования подчиняются правилам:

$T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X$ , тождественная функция на X ;
$T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}$ , когда все термины четко определены ;
$T_{s}^{-1}=T_{-s}$ , когда все термины четко определены.

Ранее, более простой случай вписывается в эти рамки, определяя T _s = T ^s для S ∈ N .

Гомоморфизмы [ править ]

Можно определить понятия гомоморфизма и изоморфизма .

Рассмотрим две динамические системы и . Тогда отображение $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)$ $(Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)$

\varphi :X\to Y

является гомоморфизмом динамических систем, если он удовлетворяет следующим трем свойствам:

Карта является измеримой . $\varphi \$
Для каждого есть . $B\in {\mathcal {B}}$ $\mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)$
Для -почти все , один есть . μ {\displaystyle \mu } $x\in X$ $\varphi (Tx)=S(\varphi x)$

Система затем называют фактором из . $(Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)$ $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T)$

Отображение является изоморфизмом динамических систем, если, кроме того, существует другое отображение $\varphi \;$

\psi :Y\to X

это также гомоморфизм, удовлетворяющий

для -почти все , есть ; $\mu$ $x\in X$ $x=\psi (\varphi x)$
для -почти все , есть . $\nu$ $y\in Y$ $y=\varphi (\psi y)$

Следовательно, можно сформировать категорию динамических систем и их гомоморфизмов.

Общие точки [ править ]

Точка x ∈ X называется точкой общего положения, если орбита точки распределена равномерно по мере.

Символические имена и генераторы [ править ]

Рассмотрим динамическую систему , и пусть Q = { Q ₁ , ..., Q _к } быть разбиение из X в K измеримых попарно непересекающихся частей. Для точки x ∈ X ясно, что x принадлежит только одному из Q _i . Точно так же итерированная точка T ⁿ x также может принадлежать только одной из частей. Символическое имя из х , с относительно разбиения Q , представляет собой последовательность целых чисел { _п }, что $(X,{\mathcal {B}},T,\mu )$

T^{n}x\in Q_{a_{n}}.

Набор символических имен по отношению к разбиению называется символической динамикой динамической системы. Разбиение Q называется порождающим или порождающим, если μ-почти каждая точка x имеет уникальное символическое имя.

Операции над разделами [ править ]

Для разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и динамической системы определим T -тягивание Q как $(X,{\mathcal {B}},T,\mu )$

T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.

Далее, учитывая два разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и R = { R ₁ , ..., R _m }, определим их уточнение как

Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.

С этими двумя конструкциями уточнение повторного отката определяется как

{\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}

который играет решающую роль в построении теоретико-меры энтропии динамической системы.

Теоретико-мерная энтропия [ править ]

Энтропии разбиения определяется как ^[2]^[3] ${\mathcal {Q}}$

H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).

Теоретико-мерная энтропия динамической системы относительно разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } тогда определяется как $(X,{\mathcal {B}},T,\mu )$

h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).

Наконец, метрика Колмогорова – Синая или теоретико-мерная энтропия динамической системы определяется как $(X,{\mathcal {B}},T,\mu )$

h_{\mu }(T)=\sup _{Q}h_{\mu }(T,Q).

где супремум берется по всем конечным измеримым разбиениям. Теорема Якова Синая в 1959 году показывает, что супремум фактически получается на разбиениях, являющихся образующими. Так, например, энтропия процесса Бернулли равна log 2, поскольку почти каждое действительное число имеет уникальное двоичное расширение . То есть можно разделить единичный интервал на интервалы [0, 1/2) и [1/2, 1]. Каждое действительное число x либо меньше 1/2, либо нет; и то же самое относится к дробной части 2 ⁿ x .

Если пространство X компактно и наделено топологией или является метрическим пространством, то топологическая энтропия также может быть определена.

Классификационные и антиклассификационные теоремы [ править ]

Одним из основных направлений исследования систем, сохраняющих меру, является их классификация в соответствии с их свойствами. То есть, пусть будет пространство меры, и пусть будет множество всех систем, сохраняющих меру . Изоморфизм двух преобразований определяет отношение эквивалентности. Затем цель состоит в том, чтобы описать это отношение . Получен ряд классификационных теорем; но, что довольно интересно, также был обнаружен ряд антиклассификационных теорем. Антиклассификационные теоремы утверждают, что существует более чем счетное число классов изоморфизмов и что счетного количества информации недостаточно для классификации изоморфизмов. ^[4]^[5] $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ $U$ $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ $S\sim T$ $S,T$ ${\mathcal {R}}\subset U\times U.$ ${\mathcal {R}}$

Первая антиклассификационная теорема, принадлежащая Хьорту, утверждает, что если наделено слабой топологией , то множество не является борелевским . ^[6] Есть множество других антиклассификационных результатов. Например, заменяя изоморфизм эквивалентностью Какутани , можно показать, что существует несчетное количество не-Какутани эквивалентных эргодических сохраняющих меру преобразований каждого энтропийного типа. ^[7] $U$ ${\mathcal {R}}$

Они противоречат классификационным теоремам. Это включает:

Классифицированы эргодические преобразования с чистым точечным спектром, сохраняющие меру. ^[8]
Сдвиги Бернулли классифицируются по их метрической энтропии. ^[9]^[10]^[11] Подробнее см. Теорию Орнштейна .

См. Также [ править ]

Теорема Крылова – Боголюбова о существовании инвариантных мер.
Теорема Пуанкаре о возвращении

Ссылки [ править ]

^ a b Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer. ISBN 0-387-95152-0.
^ Синай, Я. Г. (1959). «К понятию энтропии динамической системы». Доклады Акад. АН СССР . 124 : 768–771.
^ Синай, Я. Г. (2007). «Метрическая энтропия динамической системы» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)
^ Форман, М .; Вайс, Б. (2019). «От одометров к круговым системам: теорема о глобальной структуре». Журнал современной динамики . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . DOI : 10,3934 / jmd.2019024 .
^ Форман, М .; Вайс, Б. (2017). «Сохраняющие меру диффеоморфизмы тора неклассифицируемы». arXiv : 1705.04414 . Cite journal requires |journal= (help)
^ Hjorth, G. (2001). «Об инвариантах преобразований, сохраняющих меру» (PDF) . Фонд. Математика . 169 (1): 51–84.
^ Орнштейн, Д .; Рудольф, Д .; Вайс, Б. (1982). Эквивалентность преобразований, сохраняющих меру . Mem. American Mathematical Soc. 37 . ISBN 0-8218-2262-4.
^ Halmos, P .; фон Нейман, Дж. (1942). «Операторные методы в классической механике. II». Анналы математики . (2). 43 : 332–350. DOI : 10.2307 / 1968872 .
^ Синай, Я. (1962). «Слабый изоморфизм преобразований с инвариантной мерой». Доклады Акад. АН СССР . 147 : 797–800.
^ Орнштейн, Д. (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны». Успехи в математике . 4 (3): 337–352. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 .
^ Каток, А .; Хассельблатт, Б. (1995). «Введение в современную теорию динамических систем». Энциклопедия математики и ее приложений . 54 . Издательство Кембриджского университета.

Дальнейшее чтение [ править ]

Майкл С. Кин, «Эргодическая теория и субсдвиги конечного типа», (1991), появившаяся в главе 2 в « Эргодической теории, символической динамике и гиперболических пространствах» , Тим Бедфорд, Майкл Кин и серия Кэролайн, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (Содержит пояснительное введение, упражнения и обширные ссылки.)
Лай-Санг Янг , «Энтропия в динамических системах» ( pdf ; ps ), появившаяся в главе 16 в книге «Энтропия» , Андреас Гревен, Герхард Келлер и Джеральд Варнеке, ред. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси (2003). ISBN 0-691-11338-6
T. Schürmann и I. Hoffmann, Энтропия странных биллиардов внутри n-симплексов. J. Phys. A 28 (17), page 5033, 1995. PDF-документ (дает более сложный пример динамической системы, сохраняющей меру.)

[walters2000-1] Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Springer. ISBN 0-387-95152-0.

[2] Синай, Я. Г. (1959). «К понятию энтропии динамической системы». Доклады Акад. АН СССР . 124 : 768–771.

[3] Синай, Я. Г. (2007). «Метрическая энтропия динамической системы» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)

[4] Форман, М .; Вайс, Б. (2019). «От одометров к круговым системам: теорема о глобальной структуре». Журнал современной динамики . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . DOI : 10,3934 / jmd.2019024 .

[5] Форман, М .; Вайс, Б. (2017). «Сохраняющие меру диффеоморфизмы тора неклассифицируемы». arXiv : 1705.04414 . Cite journal requires |journal= (help)

[6] Hjorth, G. (2001). «Об инвариантах преобразований, сохраняющих меру» (PDF) . Фонд. Математика . 169 (1): 51–84.

[7] Орнштейн, Д .; Рудольф, Д .; Вайс, Б. (1982). Эквивалентность преобразований, сохраняющих меру . Mem. American Mathematical Soc. 37 . ISBN 0-8218-2262-4.

[8] Halmos, P .; фон Нейман, Дж. (1942). «Операторные методы в классической механике. II». Анналы математики . (2). 43 : 332–350. DOI : 10.2307 / 1968872 .

[9] Синай, Я. (1962). «Слабый изоморфизм преобразований с инвариантной мерой». Доклады Акад. АН СССР . 147 : 797–800.

[10] Орнштейн, Д. (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны». Успехи в математике . 4 (3): 337–352. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90029-0 .

[11] Каток, А .; Хассельблатт, Б. (1995). «Введение в современную теорию динамических систем». Энциклопедия математики и ее приложений . 54 . Издательство Кембриджского университета.