Консервативная система

В математике , А консервативная система представляет собой динамическую систему , которая выступает в отличие от диссипативной системы . Грубо говоря, в таких системах нет трения или другого механизма рассеивания динамики, и, таким образом, их фазовое пространство не сжимается со временем. Точнее говоря, это те динамические системы, которые имеют нулевое блуждающее множество : при временной эволюции ни одна часть фазового пространства никогда не «блуждает», чтобы никогда не возвращаться или повторно посещаться. С другой стороны, консервативные системы - это те, к которым применима теорема Пуанкаре о возвращении . Важным частным случаем консервативных систем являютсясохраняющие меру динамические системы .

Неформальное введение [ править ]

Неформально динамические системы описывают временную эволюцию фазового пространства некоторой механической системы. Обычно такая эволюция задается некоторыми дифференциальными уравнениями или довольно часто дискретными временными шагами. Однако в данном случае вместо того, чтобы сосредоточиться на временной эволюции дискретных точек, мы обращаем внимание на временную эволюцию совокупностей точек. Одним из таких примеров могут быть кольца Сатурна.: вместо того, чтобы отслеживать эволюцию во времени отдельных песчинок в кольцах, вместо этого интересует эволюция во времени плотности колец: как плотность истончается, распространяется или становится концентрированной. В коротких временных масштабах (сотни тысяч лет) кольца Сатурна стабильны и, таким образом, являются разумным примером консервативной системы, а точнее, динамической системы, сохраняющей меру. Он сохраняет меру, поскольку количество частиц в кольцах не меняется, и, согласно ньютоновской орбитальной механике, фазовое пространство несжимаемо: его можно растягивать или сжимать, но не сжимать (это содержание теоремы Лиувилля ) .

Формально понятие плотности улавливается понятием меры . Чтобы правильно определить меру, нужна сигма-алгебра . Сигма-алгебры являются частным случаем топологии и, таким образом, позволяют определять такие понятия, как непрерывные и дифференцируемые функции. Это основные составляющие динамической системы: фазовое пространство, топология (сигма-алгебра) на этом пространстве, мера и обратимая функция, обеспечивающая эволюцию во времени. Консервативные системы - это те системы, которые не сжимают свое фазовое пространство со временем.

Формальное определение [ править ]

Формально динамическая система консервативна тогда и только тогда, когда она неособая и не имеет блуждающих множеств. ^[1]

Динамическая система ( X , Σ, μ , τ ) является борелевское пространство ( X , Σ) , снабженный сигма-конечной мерой ц и преобразования т . Здесь X - множество , а Σ - сигма-алгебра на X , так что пара ( X , Σ) - измеримое пространство . μ - конечная мера на сигма-алгебре, так что тройка ( X , Σ, μ ) является вероятностным пространством . Неформально пространствоX следует понимать как фазовое пространство динамической системы.

Преобразование (отображение) τ : X → X называется Σ-измеримым тогда и только тогда, когда для любого σ ∈ Σ оно имеет . Неформально преобразование следует рассматривать как единый «временной шаг» в эволюции динамической системы. Один интересуется обратимыми преобразованиями, чтобы можно было сказать, что текущее состояние динамической системы является результатом ее прошлой эволюции, то есть что текущее состояние системы «откуда-то пришло».${\ Displaystyle \ tau ^ {- 1} \ sigma \ in \ Sigma}$

Измеримая преобразование τ : X → X называется несингулярным , когда тогда и только тогда . ^[2] В этом случае система ( X , Σ, μ , τ ) называется неособой динамической системой . Неформально неособые динамические системы, подходящие для моделирования неравновесных систем. То есть, если определенная конфигурация системы невозможна (т. Е. Что ), то она остается невозможной (всегда было невозможно:${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$), но в остальном система может развиваться произвольно. Говорят, что неособые системы сохраняют незначительные множества, но не обязаны сохранять другие множества. Смысл слова сингулярный здесь такой же, как и в определении особой меры в том, что никакая часть не является сингулярной по отношению к .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu \circ \tau ^{-1}}$

Неособая динамическая система, для которой тоже есть , называется инвариантной или, чаще, динамической системой, сохраняющей меру .${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

Неособая динамическая система является консервативной, если для каждого набора положительной меры, т. Е. С , имеется такое целое число , что . Неформально это можно интерпретировать как указание на то, что текущее состояние системы пересматривается или сколь угодно близко к предыдущему состоянию; см. « Повторение Пуанкаре» для получения дополнительной информации. ${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$${\displaystyle \mu (\sigma )>0}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mu (\sigma \cap \tau ^{-n}\sigma )>0}$

Неособое преобразование τ : X → X является несжимаема , если всякий раз, когда один есть , то .${\displaystyle \tau ^{-1}\sigma \subset \sigma }$${\displaystyle \mu (\sigma \smallsetminus \tau ^{-1}\sigma )=0}$

Свойства [ править ]

Для неособого преобразования τ : X → X следующие утверждения эквивалентны: ^{[1] [3] [4]}

• τ консервативен.
• τ несжимаем.
• Каждый блуждающий набор из т равно нуль.
• Для всех множеств σ положительной меры .${\displaystyle \mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$

Из сказанного следует, что все динамические системы, сохраняющие меру, консервативны. По сути, это современная формулировка теоремы Пуанкаре о возвращении . Набросок доказательства эквивалентности этих четырех дан в разложении Хопфа # Теорема о возвращении .

Разложение Хопфа [ править ]

В разложения Хопфа утверждает , что каждая мера пространства с невырожденной преобразования можно разложить на инвариантного множества консервативных и блуждающего (диссипативной) множества. Обычным неформальным примером разложения Хопфа является смешивание двух жидкостей (в некоторых учебниках упоминается ром и кокс): исходное состояние, когда две жидкости еще не смешаны, никогда не может повториться снова после смешивания; это часть диссипативного множества. Аналогично любому из частично смешанных состояний. Результат после смешивания ( куб. Либрв каноническом примере), стабильна и образует консервативное множество; дальнейшее перемешивание не меняет его. В этом примере консервативный набор также эргодичен: если добавить еще одну каплю жидкости (скажем, лимонного сока), она не останется в одном месте, а смешается повсюду. Одно предостережение по поводу этого примера: хотя системы смешивания эргодичны, эргодические системы не являются общими системами смешивания! Смешение подразумевает взаимодействие, которого может не быть. Каноническим примером эргодической системы, которая не смешивается, является процесс Бернулли : это множество всех возможных бесконечных последовательностей подбрасываний монеты (эквивалентно, множество бесконечных цепочек нулей и единиц); каждый отдельный подбрасывание монеты не зависит от других.${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

Эргодическое разложение [ править ]

Теорема об эргодическом разложении , грубо говоря, утверждает, что любую консервативную систему можно разбить на компоненты, каждый из которых индивидуально эргодичен.. Неформальным примером этого может быть ванна с перегородкой посередине, в которой жидкость заполняет каждое отделение. Жидкость с одной стороны может смешиваться сама с собой, как и другая, но из-за перегородки обе стороны не могут взаимодействовать. Ясно, что это можно рассматривать как две независимые системы; утечкой между двумя сторонами нулевой меры можно пренебречь. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что все консервативные системы могут быть разбиты на такие независимые части, и что это расщепление уникально (с точностью до разностей нулевой меры). Таким образом, по соглашению изучение консервативных систем превращается в изучение их эргодических компонентов.

Формально любая эргодическая система консервативна. Напомним, что инвариантное множество σ ∈ Σ - это такое, для которого τ ( σ ) = σ . Для эргодической системы единственными инвариантными множествами являются множества с нулевой мерой или с полной мерой ( нулевые или конульские ); то, что они консервативны, тривиально следует из этого.

Когда τ эргодично, следующие утверждения эквивалентны: ^[1]

• τ консервативен и эргодичен
• Для всех измеримых множеств сг , ; то есть, σ «заметает» все X .${\displaystyle \mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$
• Для всех множеств σ положительной меры и почти для каждого существует натуральное число n такое, что .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \tau ^{n}x\in \sigma }$
• Для всех множеств и положительной меры, существует положительное целое число п такое , что${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0}$
• Если , то либо или дополнение имеет нулевую меру: .${\displaystyle \tau ^{-1}\sigma \subset \sigma }$${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\sigma ^{c})=0}$

См. Также [ править ]

• Состояние KMS , описание термодинамического равновесия в квантово-механических системах; двойственные модулярным теориям для алгебр фон Неймана.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Даниленко, Александр I .; Сильва, Сезар Э. (2009). «Эргодическая теория: неособые преобразования». Энциклопедия сложности и системологии . Springer. arXiv : 0803.2424 . DOI : 10.1007 / 978-0-387-30440-3_183 .
• Кренгель, Ульрих (1985). Эргодические теоремы . Де Грюйтер изучает математику. 6 . де Грюйтер. ISBN 3-11-008478-3.
• Сариг, Омри (8 марта 2020 г.). «Конспект лекций по эргодической теории» (PDF) . Главная | Омри Сариг . Институт Вейцмана.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Николс, Питер Дж. (1989). Эргодическая теория дискретных групп . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37674-2.
• Уилкинсон, Эйм (2008). "Гладкая эргодическая теория" (PDF) . arXiv : 0804.0167 [ math.DS ].