- Оператор переноса отличается от гомоморфизма переноса .
В математике , то оператор передачи кодирует информацию о итерированной карте и часто используется для изучения поведения динамических систем , статистической механики , квантового хаоса и фрактал . Во всех обычных случаях наибольшее собственное значение равно 1, а соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой системы.
Оператор переноса иногда называют оператором Рюэля в честь Дэвида Рюэля или оператором Рюэля-Перрона-Фробениуса в связи с применимостью теоремы Перрона-Фробениуса к определению собственных значений оператора.
Определение [ править ]
Итерируемая функция, которую необходимо изучить, представляет собой карту для произвольного множества .
Оператор переноса определяется как оператор, действующий в пространстве функций как
где - вспомогательная оценочная функция. Когда есть детерминант Якоби , то обычно считается .
Можно показать, что приведенное выше определение оператора переноса является пределом точечного набора теоретико- мерного продвижения функции g : по сути, оператор переноса является функтором прямого изображения в категории измеримых пространств . Левым сопряженным оператором Фробениуса – Перрона является оператор Купмана или оператор композиции . Общая установка обеспечивается функциональным исчислением Бореля .
Как правило, оператор переноса обычно можно интерпретировать как оператор сдвига (влево), действующий в пространстве сдвига . Чаще всего изучаются сдвиги конечного типа . Сопряжение с оператором передачи также обычно можно интерпретировать как сдвиг вправо. К особенно хорошо изученным сдвигам вправо относятся оператор Якоби и матрица Хессенберга , оба из которых генерируют системы ортогональных многочленов посредством сдвига вправо.
Приложения [ править ]
В то время как итерация функции естественным образом приводит к изучению орбит точек X при итерации (изучение динамики точки ), оператор переноса определяет, как (гладкие) карты развиваются при итерации. Таким образом, операторы переноса обычно появляются в физических задачах, таких как квантовый хаос и статистическая механика , где внимание сосредоточено на временной эволюции гладких функций. В свою очередь, это имеет медицинские приложения для рационального дизайна лекарств в области молекулярной динамики .
Часто бывает, что передаточный оператор является положительным, имеет дискретные положительные действительные собственные значения , причем наибольшее собственное значение равно единице. По этой причине оператор переноса иногда называют оператором Фробениуса – Перрона.
Собственные функции передаточного оператора обычно фракталы. Когда логарифм передаточного оператора соответствует квантовому гамильтониану , собственные значения обычно будут очень близко расположены, и, таким образом, даже очень узкий и тщательно подобранный ансамбль квантовых состояний будет охватывать большое количество очень разных фрактальных собственных состояний с ненулевой опорой. по всему объему. Это может быть использовано для объяснения многих результатов классической статистической механики, включая необратимость времени и увеличение энтропии .
Оператор переноса отображения Бернулли точно разрешим и является классическим примером детерминированного хаоса ; дискретные собственные значения соответствуют полиномам Бернулли . Этот оператор также имеет непрерывный спектр, состоящий из дзета-функции Гурвица .
Оператор переноса отображения Гаусса называется оператором Гаусса – Кузмина – Вирсинга (GKW) и из-за его необычайной сложности не решен полностью. Теория GKW восходит к гипотезе Гаусса о непрерывных дробях и тесно связана с дзета-функцией Римана .
См. Также [ править ]
- Схема Бернулли
- Сдвиг конечного типа
- Теорема Крейна – Рутмана.
Ссылки [ править ]
- Пьер Гаспар (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета .
- Дэвид Рюэлль (1978). Термодинамический формализм: математические структуры классической равновесной статистической механики . Эддисон-Уэсли, Ридинг. ISBN 0-201-13504-3.
- Дитер Х. Майер (1978). Оператор переноса Рюэля-Араки в классической статистической механике . Springer-Verlag. ISBN 0-387-09990-5.
- Дэвид Рюэль, Динамические дзета-функции и операторы переноса , (2002) препринт Института высших научных исследований IHES / M / 02/66. (Предоставляет вводный обзор).
- Майкл С. Макки, Стрела времени, Истоки термодинамического поведения , Springer-Verlag, 1992