Матрица Гессенберга

В линейной алгебре , А матрица хессенбергова является особым видом квадратной матрицы , один , что «почти» треугольный . Чтобы быть точным, верхняя матрица Хессенберга имеет нулевые элементы ниже первой поддиагонали , а нижняя матрица Хессенберга имеет нулевые элементы над первой наддиагональю . ^[1] Они названы в честь Карла Хессенберга . ^[2]

Определения [ править ]

Верхняя матрица Хессенберга [ править ]

Квадратная матрица называется верхней формой Хессенберга или верхней матрицей Хессенберга, если для всех с .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{i,j}=0}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle i>j+1}$

Верхняя матрица Хессенберга называется неприведенной, если все субдиагональные элементы отличны от нуля, т. Е. Если для всех . ^[3]${\displaystyle a_{i+1,i}\neq 0}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

Нижняя матрица Гессенберга [ править ]

Квадратная матрица называется нижней матрицей Хессенберга или нижней матрицей Хессенберга, если ее транспонированная матрица является верхней матрицей Хессенберга, или, что эквивалентно, если для всех с .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{i,j}=0}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle j>i+1}$

Нижняя матрица Хессенберга называется неприведенной, если все наддиагональные элементы ненулевые, т. Е. Если для всех .${\displaystyle a_{i,i+1}\neq 0}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n-1\}}$

Примеры [ править ]

Рассмотрим следующие матрицы.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4&2&3\\3&4&1&7\\0&2&3&4\\0&0&1&3\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&3&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2&0&0\\5&2&0&0\\3&4&3&7\\5&6&1&1\\\end{bmatrix}}}$

Матрица - это верхняя нередуцированная матрица Хессенберга, нижняя нередуцированная матрица Хессенберга и нижняя матрица Хессенберга, но она не является нередуцированной.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Компьютерное программирование [ править ]

Многие алгоритмы линейной алгебры требуют значительно меньших вычислительных затрат при применении к треугольным матрицам , и это улучшение часто распространяется и на матрицы Хессенберга. Если ограничения задачи линейной алгебры не позволяют удобно привести общую матрицу к треугольной, приведение к форме Хессенберга часто является лучшим выходом. Фактически, приведение любой матрицы к форме Хессенберга может быть достигнуто за конечное число шагов (например, с помощью преобразования Хаусхолдера унитарных преобразований подобия). Последующее сокращение матрицы Хессенберга до треугольной может быть достигнуто с помощью итерационных процедур, таких как сдвинутая QR- факторизация. ВИспользуя алгоритмы собственных значений , матрица Хессенберга может быть дополнительно уменьшена до треугольной матрицы с помощью сдвинутой QR-факторизации в сочетании с шагами дефляции. Сведение общей матрицы к матрице Хессенберга, а затем дальнейшее сокращение до треугольной матрицы, вместо прямого сведения общей матрицы к треугольной матрице, часто экономит арифметику, используемую в QR-алгоритме для задач на собственные значения.

Свойства [ править ]

Для , это бессодержательно верно , что каждая матрица является одновременно верхней хессенбергова и опустите Хессенберга. ^[4]${\displaystyle n\in \{1,2\}}$${\displaystyle n\times n}$

Произведение матрицы Хессенберга на треугольную матрицу снова является Хессенбергом. Точнее, если верхний Гессенберг и верхнетреугольный, то и верхний Гессенберг.${\displaystyle A}$${\displaystyle T}$${\displaystyle AT}$${\displaystyle TA}$

Матрица, которая является одновременно верхним и нижним Гессенбергом, является трехдиагональной матрицей , важными примерами которой являются симметричные или эрмитовы матрицы Хессенберга. Эрмитова матрица может быть сведена к трехдиагональным вещественным симметричным матрицам. ^[5]

Оператор Гессенберга [ править ]

Оператор Хессенберга - это бесконечномерная матрица Хессенберга. Обычно это происходит как обобщение оператора Якоби на систему ортогональных многочленов для пространства голоморфных функций, интегрируемых с квадратом, над некоторой областью, то есть пространством Бергмана . В этом случае оператор Хессенберга является оператором правого сдвига , задаваемым формулой ${\displaystyle S}$

${\displaystyle [Sf](z)=zf(z)}$.

Собственные значения каждой главной подматрицы оператора Хессенберга задаются характеристическим полиномом для этой подматрицы. Эти многочлены называются многочленами Бергмана и обеспечивают ортогональный полиномиальный базис для пространства Бергмана.

См. Также [ править ]

• Сорт Гессенберг

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Стоер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95452-3.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 11.6.2. Приведение к форме Хессенберга» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки [ править ]

• Матрица Хессенберга в MathWorld.
• Матрица Хессенберга в PlanetMath .
• Высокопроизводительные алгоритмы приведения к сжатой (по Гессенбергу, трехдиагональной, двухдиагональной) форме