Оператор Якоби

Якоби оператор , также известный как матрица Якоби , является симметричным линейным оператором , действующее на последовательностях которая задается бесконечной трехдиагональная матрица . Он обычно используется для определения систем ортонормированных многочленов над конечной положительной борелевской мерой . Этот оператор назван в честь Карла Густава Якоба Якоби .

Название происходит от теоремы Якоби, датированной 1848 годом, о том, что каждая симметричная матрица в области главных идеалов конгруэнтна трехдиагональной матрице.

Самосопряженные операторы Якоби [ править ]

Наиболее важным случаем является случай самосопряженных операторов Якоби, действующих в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом последовательностей над натуральными числами . В этом случае это дается${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {N})}$

${\ displaystyle Jf_ {0} = a_ {0} f_ {1} + b_ {0} f_ {0}, \ quad Jf_ {n} = a_ {n} f_ {n + 1} + b_ {n} f_ { n} + a_ {n-1} f_ {n-1}, \ quad n> 0,}$

где предполагается, что коэффициенты удовлетворяют

${\ displaystyle a_ {n}> 0, \ quad b_ {n} \ in \ mathbb {R}.}$

Оператор будет ограниченным тогда и только тогда, когда ограничены коэффициенты.

Имеются тесные связи с теорией ортогональных многочленов . В самом деле, решение о рекуррентном соотношении${\ Displaystyle p_ {п} (х)}$

${\ displaystyle J \, p_ {n} (x) = x \, p_ {n} (x), \ qquad p_ {0} (x) = 1 {\ text {and}} p _ {- 1} (x ) = 0,}$

является многочленом степени n, и эти многочлены ортонормированы относительно спектральной меры, соответствующей первому базисному вектору .${\ displaystyle \ delta _ {1, n}}$

Это рекуррентное соотношение также обычно записывается как

${\ Displaystyle xp_ {n} (x) = a_ {n + 1} p_ {n + 1} (x) + b_ {n} p_ {n} (x) + a_ {n} p_ {n-1} ( Икс)}$

Приложения [ править ]

Он возникает во многих областях математики и физики. Случай a ( n ) = 1 известен как дискретный одномерный оператор Шредингера . Он также возникает в:

• Лаксово в Тода .
• Трехчленное рекуррентное соотношение ортогональных многочленов , ортогональных над положительной и конечной борелевской мерой .
• Алгоритмы, разработанные для вычисления квадратурных правил Гаусса , полученных из систем ортогональных многочленов. ^[1]

Обобщения [ править ]

Если рассматривать пространство Бергмана , а именно пространство интегрируемых с квадратом голоморфных функций над некоторой областью, то при общих обстоятельствах можно дать этому пространству базис ортогональных многочленов, многочленов Бергмана . В этом случае аналогом трехдиагонального оператора Якоби является оператор Хессенберга - бесконечномерная матрица Хессенберга . Система ортогональных многочленов задается формулой

${\ displaystyle zp_ {n} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} D_ {kn} p_ {k} (z)}$

и . Здесь D - оператор Хессенберга, обобщающий трехдиагональный оператор Якоби J для этой ситуации. ^{[2] [3] [4]} Обратите внимание, что D - оператор правого сдвига в пространстве Бергмана: то есть он задается формулой${\ displaystyle p_ {0} (z) = 1}$

${\displaystyle [Df](z)=zf(z)}$

Нули Бергмана многочлена соответствуют собственным значениям по принципу подматрицы D . То есть полиномы Бергмана являются характеристическими полиномами для основных подматриц оператора сдвига.${\displaystyle p_{n}(z)}$${\displaystyle n\times n}$

Ссылки [ править ]

• Тешл, Джеральд (2000), Операторы Якоби и полностью интегрируемые нелинейные решетки , Providence: Amer. Математика. Soc., ISBN 0-8218-1940-2 CS1 maint: discouraged parameter (link)

Внешние ссылки [ править ]

• "Матрица Якоби" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]