В комплексном анализе , функционального анализа и теории операторов , Bergman пространство является пространство функций из голоморфных функций в области D на комплексной плоскости , которые достаточно хорошо вели себя на границе , что они абсолютно интегрируемой . В частности, при 0 < p <∞ пространство Бергмана A p ( D ) - это пространство всех голоморфных функцийв D, для которого p-норма конечна:
Количество называется нормой функции f ; это истинная норма, если. Таким образом, A p ( D ) - подпространство голоморфных функций, находящихся в пространстве L p ( D ) . Пространства Бергмана являются банаховыми пространствами , что является следствием оценки, справедливой на компактных подмножествах K в D :
( 1 )
Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L p ( D ) влечет также компактную сходимость , и поэтому предельная функция также голоморфна.
Если p = 2 , то A p ( D ) - гильбертово пространство с воспроизводящим ядром , ядро которого задается ядром Бергмана .
Частные случаи и обобщения
Если область D является ограниченным , то норма часто задается
где является нормированной мерой Лебега комплексной плоскости, т. е. dA = dz / Area ( D ) . В качестве альтернативы дА = дг / π используется, независимо от области D . Пространство Бергмана обычно определяется на открытом единичном диске комплексной плоскости, и в этом случае . В случае гильбертова пространства, учитывая, у нас есть
то есть A 2 изометрически изоморфно весовому ℓ p (1 / (n + 1)) пространству . [1] В частности, полиномы могут плотно в А 2 . Аналогично, если D = ℂ + , правая (или верхняя) комплексная полуплоскость, то
где , То есть, 2 (ℂ + ) изометрически изоморфно взвешенному L р 1 / т (0, ∞) пространство ( с помощью преобразования Лапласа ). [2] [3]
Весовое пространство Бергмана A p ( D ) определяется аналогичным образом [1], т.е.
при условии, что w : D → [0, ∞) выбрано таким образом, чтоявляется банаховым пространством (или гильбертовым пространством , если p = 2 ). В случае, если, весовым пространством Бергмана В [4] мы имеем в виду пространство всех аналитических функций f таких, что
и аналогично в правой полуплоскости (т.е. ) имеем [5]
и это пространство изометрически изоморфно через преобразование Лапласа пространству , [6] [7] где
(здесь Γ обозначает гамма-функцию ).
Иногда рассматриваются дополнительные обобщения, например обозначает весовое пространство Бергмана (часто называемое пространством Дзен [3] ) относительно трансляционно-инвариантной положительной регулярной борелевской меры на замкнутой правой комплексной полуплоскости , это
Воспроизведение ядер
Воспроизводящее ядро из A 2 в точкедается [1]
и аналогично для у нас есть [5]
- .
В общем, если отображает домен конформно на область , затем [1]
В взвешенном случае имеем [4]
и [5]
Рекомендации
- ^ a b c d Duren, Peter L .; Шустер, Александр (2004), пространства Бергмана , математические серии и монографии, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0810-8
- ^ Дурен, Питер Л. (1969), Расширение теоремы Карлесона (PDF) , 75 , Бюллетень Американского математического общества, стр. 143–146.
- ^ а б Иаков, Бригитта; Партингтон, Джонатан Р .; Потт, Сандра (01.02.2013). «О теоремах вложения Лапласа-Карлесона». Журнал функционального анализа . 264 (3): 783–814. arXiv : 1201.1021 . DOI : 10.1016 / j.jfa.2012.11.016 . S2CID 7770226 .
- ^ а б Коуэн, Карл; Макклуер, Барбара (1995-04-27), Операторы композиции в пространствах аналитических функций , Исследования по высшей математике, CRC Press, стр. 27, ISBN 9780849384929
- ^ а б в Эллиотт, Сэм Дж .; Винн, Эндрю (2011), Операторы композиции на взвешенных пространствах Бергмана полуплоскости , 54 , Труды Эдинбургского математического общества, стр. 374–379
- ^ Duren, Peter L .; Gallardo-Gutiérez, Eva A .; Монтес-Родригес, Альфонсо (2007-06-03), Теорема Пэли-Винера для пространств Бергмана с применением к инвариантным подпространствам , 39 , Бюллетень Лондонского математического общества, стр. 459–466, архивировано с оригинала на 2015-12 гг. -24
- ^ Gallrado-Gutiérez, Eva A .; Партингтон, Джонатан Р .; Сегура, Долорес (2009), Циклические векторы и инвариантные подпространства для сдвигов Бергмана и Дирихле (PDF) , 62 , Журнал теории операторов, стр. 199–214
дальнейшее чтение
- Бергман, Стефан (1970), функция ядра и конформное отображение , Mathematical Surveys, 5 (2-е изд.), Американское математическое общество
- Hedenmalm, H .; Коренблюм, Б .; Чжу, К. (2000), Теория пространств Бергмана , Springer, ISBN 978-0-387-98791-0
- Рихтер, Стефан (2001) [1994], "Пространства Бергмана" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Смотрите также
- Ядро Бергмана
- Банахово пространство
- Гильбертово пространство
- Воспроизведение ядра гильбертова пространства
- Харди космос
- Пространство Дирихле