В математике компактная сходимость (или равномерная сходимость на компактах ) - это тип сходимости, который обобщает идею равномерной сходимости . Это связано с компактно-открытой топологией .
Определение
Позволять быть топологическим пространством и- метрическое пространство . Последовательность функций
- ,
Говорят, что компактно сходится как к какой-то функции если для каждого компакта ,
равномерно на в виде . Это означает, что для всех компактных,
Примеры
- Если а также с их обычными топологиями, с , тогда компактно сходится к постоянной функции со значением 0, но не равномерно.
- Если , а также , тогда сходится поточечно к функции, равной нулю на и один в , но последовательность не сходится компактно.
- Очень мощный инструмент для демонстрации компактной сходимости - теорема Арцела – Асколи . Существует несколько версий этой теоремы, грубо говоря, она утверждает, что каждая последовательность равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных отображений имеет подпоследовательность, которая компактно сходится к некоторому непрерывному отображению.
Характеристики
- Если равномерно, то компактно.
- Если это компактное пространство и компактно, то равномерно.
- Если является локально компактным , то компактно тогда и только тогда, когда локально равномерно.
- Если это компактно порожденное пространство , компактно, и каждый является непрерывной , то непрерывно.
Смотрите также
Рекомендации
- Р. Реммерт Теория комплексных функций (Спрингер, 1991) с. 95