Арцела теорема является фундаментальным результатом математического анализа дает необходимые и достаточные условия , чтобы решить , будет ли каждая последовательность данного семейства вещественных значных непрерывных функций , определенных на замкнутом и ограниченном интервале имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность . Главное условие - равностепенная непрерывность семейства функций. Теорема является основой многих доказательств в математике, в том числе теоремы существования Пеано в теории обыкновенных дифференциальных уравнений , теоремы Монтеля.в комплексном анализе , теорема Питера – Вейля в гармоническом анализе и различные результаты о компактности интегральных операторов.
Понятие равностепенной непрерывности было введено в конце 19 века итальянскими математиками Чезаре Арцела и Джулио Асколи . Слабая форма теоремы была доказана Асколи (1883–1884) , который установил достаточное условие компактности, и Арзела (1895) , который установил необходимое условие и дал первое ясное изложение результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906) на множество вещественнозначных непрерывных функций с областью определения компактного метрического пространства ( Данфорд и Шварц, 1958 , стр. 382). Современные формулировки теоремы допускают, чтобы область была компактной по Хаусдорфу, а область значений - произвольным метрическим пространством. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство функций из компактно порожденного хаусдорфова пространства в равномерное пространство было компактным в компактно-открытой топологии ; см. Kelley (1991 , стр. 234).
Заявление и первые последствия
По определению, последовательность { е п } п ∈ N из непрерывных функций на интервале I = [ , Ь ] будет равномерно ограничена , если существует число М такое , что
для любой функции f n, принадлежащей последовательности, и любого x ∈ [ a , b ] . (Здесь M не должно зависеть от n и x .)
Последовательность называется равномерно равностепенно непрерывной, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что
всякий раз, когда | х - у | < δ для всех функций f n в последовательности. (Здесь δ может зависеть от ε , но не от x , y или n .)
Один из вариантов теоремы можно сформулировать следующим образом:
- Рассмотрим последовательность из вещественных непрерывных функций { е п } п ∈ N , определенных на закрытом и ограниченном интервале [ , Ь ] на вещественной оси . Если эта последовательность равномерно ограничена и равномерно равностепенно непрерывна , то существует подпоследовательность { f n k } k ∈ N, которая сходится равномерно .
- Обратное также верно в том смысле, что если каждая подпоследовательность { f n } сама имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, то { f n } равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.
Доказательство по существу основано на аргументе диагонализации . Самый простой случай - это вещественные функции на замкнутом и ограниченном интервале:
- Пусть I = [ a , b ] ⊂ R - замкнутый и ограниченный интервал. Если Р бесконечное множество функций F : I → R , равномерно ограниченных и эквинепрерывных, то существует последовательность е п элементов F , таких , что ф п сходится равномерно на I .
Закрепить перечисление { х я } я ∈ N из рациональных чисел в I . Поскольку F равномерно ограничен, множество точек { f ( x 1 )} f ∈ F ограничено, и, следовательно, по теореме Больцано – Вейерштрасса существует последовательность { f n 1 } различных функций из F такая, что { f n 1 ( x 1 )} сходится. Повторяя те же рассуждения для последовательности точек { f n 1 ( x 2 )}, существует подпоследовательность { f n 2 } из { f n 1 } такая, что { f n 2 ( x 2 )} сходится.
По индукции этот процесс может продолжаться бесконечно, поэтому существует цепочка подпоследовательностей
такая, что для каждого k = 1, 2, 3, ... подпоследовательность { f n k } сходится в x 1 , ..., x k . Теперь сформируем диагональную подпоследовательность { f} у которого m- й член f m является m- м членом в m- й подпоследовательности { f n m }. По построению, ф т сходится в каждой рациональной точке из I .
Следовательно, для любого ε > 0 и рационального x k в I существует целое число N = N ( ε , x k ) такое, что
Поскольку семейство F равностепенно непрерывно, для этого фиксированного ε и любого x из I существует открытый интервал U x, содержащий x такой, что
для всех f ∈ F и всех s , t в I таких, что s , t ∈ U x .
Набор интервалов U х , х ∈ I , образует открытое покрытие из I . Так как я это компактный , по Гейне-Бореля теоремы это покрытие допускает конечное подпокрытие U 1 , ..., U J . Там существует целое число K , такие , что каждый открытый интервал U J , 1 ≤ J ≤ J , содержит рациональную й к с 1 ≤ K ≤ K . Наконец, для любого t ∈ I существуют j и k, так что t и x k принадлежат одному интервалу U j . При таком выборе к ,
для всех n , m > N = max { N ( ε , x 1 ), ..., N ( ε , x K )}. Следовательно, последовательность { f n } равномерно коши и, следовательно, сходится к непрерывной функции, как утверждается. Это завершает доказательство.
Непосредственные примеры
Дифференцируемые функции
Из условий теоремы удовлетворяют равномерно ограниченной последовательности { ф п } из дифференцируемых функций с равномерно ограниченными производными. Действительно, равномерная ограниченность производных вытекает по теореме о среднем значении , что для всех х и у ,
где K - верхняя грань производных функций в последовательности и не зависит от n . Итак, для ε > 0 положим δ =ε/2 Кдля проверки определения равностепенной непрерывности последовательности. Это доказывает следующее следствие.
- Пусть { f n } - равномерно ограниченная последовательность действительных дифференцируемых функций на [ a , b ] такая, что производные { f n ′} равномерно ограничены. Тогда существует подпоследовательность { f n k }, сходящаяся равномерно на [ a , b ] .
Если, кроме того, последовательность вторых производных также равномерно ограничена, то производные также сходятся равномерно (с точностью до подпоследовательности) и т. Д. Другое обобщение имеет место для непрерывно дифференцируемых функций . Предположим, что функции f n непрерывно дифференцируемы с производными f ′ n . Предположим, что f n ′ равномерно равностепенно непрерывны и равномерно ограничены, а последовательность { f n } поточечно ограничена (или ограничена только в одной точке). Тогда существует подпоследовательность { f n }, равномерно сходящаяся к непрерывно дифференцируемой функции.
Аргумент диагонализации также можно использовать, чтобы показать, что семейство бесконечно дифференцируемых функций, производные каждого порядка которых равномерно ограничены, имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, все производные которой также сходятся равномерно. Это особенно важно в теории распределений.
Непрерывные функции Липшица и Гёльдера
Приведенный выше аргумент немного больше доказывает, а именно:
- Если { е п } является равномерно ограниченная последовательность вещественных функций на [ , Ь ] таким образом, что каждая F является липшицевы с той же константой Липшица К :
- для всех x , y ∈ [ a , b ] и всех f n существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на [ a , b ] .
Предельная функция также является липшицевой с тем же значением K для константы Липшица. Небольшая доработка
- Множество F функций f на [ a , b ] , которое равномерно ограничено и удовлетворяет условию Гёльдера порядка α , 0 < α ≤ 1 , с фиксированной константой M ,
- относительно компактно в C ([ a , b ]) . В частности, единичный шар пространства Гёльдера C 0, α ([ a , b ]) компактен в C ([ a , b ]) .
Это имеет место в более общем случае для скалярных функций на компактном метрическом пространстве X , удовлетворяющей условию Гельдера с относительно метрики на X .
Обобщения
Евклидовы пространства
Теорема Арцела – Асколи верна, в более общем смысле, если функции f n принимают значения в d -мерном евклидовом пространстве R d , и доказательство очень простое: просто примените R -значную версию теоремы Арцела-Асколи d раз, чтобы извлечь подпоследовательность, равномерно сходящаяся по первой координате, затем подпоследовательность, которая равномерно сходится по первым двум координатам, и так далее. Приведенные выше примеры легко обобщаются на случай функций со значениями в евклидовом пространстве.
Компактные метрические пространства и компактные хаусдорфовы пространства
Определения ограниченности и равностепенной непрерывности можно обобщить на случай произвольных компактных метрических пространств и, в более общем смысле, компактных хаусдорфовых пространств . Пусть X компактное хаусдорфово пространство, и пусть C ( X ) пространство вещественных непрерывных функций на X . Подмножество F ⊂ C ( X ) называется эквинепрерывно , если для каждого х ∈ X и любого е > 0 , х имеет окрестность U х таким образом, что
Множество F ⊂ C ( X , R ) называется точечно ограничено , если для каждого х ∈ Х ,
Версия теоремы верна также в пространстве C ( X ) вещественнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X ( Dunford & Schwartz 1958 , §IV.6.7):
- Пусть X - компактное хаусдорфово пространство. Тогда подмножество F в C ( X ) относительно компактно в топологии, индуцированной равномерной нормой, тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и поточечно ограничено.
Теорема Арцела – Асколи, таким образом, является фундаментальным результатом при изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве .
Возможны различные обобщения приведенного выше результата. Например, функции могут принимать значения в метрическом пространстве или (Хаусдорфовом) топологическом векторном пространстве с минимальными изменениями в формулировке (см., Например, Kelley & Namioka (1982 , §8), Kelley (1991 , Chapter 7)). :
- Пусть X - компактное хаусдорфово пространство, а Y - метрическое пространство. Тогда F ⊂ C ( X , Y ) компактно в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно , точечно относительно компактно и замкнуто.
Здесь точечно относительно компактные означает , что для каждого х ∈ X , множество Р х = { F ( х ): ф ∈ F } относительно компактно в Y .
Приведенное доказательство может быть обобщено таким образом, чтобы не полагаться на отделимость области. На компактном хаусдорфовом пространстве X , например, равностепенная непрерывность используется для выделения для каждого ε = 1 / n конечного открытого покрытия X такого, что колебание любой функции в семействе меньше ε на каждом открытом множестве в крышка. Тогда роль рациональных чисел может играть набор точек, взятых из каждого открытого множества в каждом из счетного множества покрытий, полученных таким образом, и основная часть доказательства проходит точно так же, как указано выше.
Непрерывные функции
Решения численных схем для параболических уравнений обычно кусочно постоянны и, следовательно, не непрерывны во времени. Поскольку их прыжки, тем не менее, имеют тенденцию становиться небольшими по мере того, как временной шаг приближается к, можно установить свойства равномерной во времени сходимости, используя обобщение классической теоремы Арзела – Асколи на прерывистые функции (см., например, Droniou & Eymard (2016 , Приложение)).
Обозначим через пространство функций из к наделенный единой метрикой
Тогда имеем следующее:
- Позволять - компактное метрическое пространство и полное метрическое пространство. Позволять быть последовательностью в такая, что существует функция и последовательность удовлетворение
- Предположим также, что для всех , относительно компактен в . потом относительно компактен в , и любой предел в этом пространстве находится в .
Необходимость
В то время как большинство формулировок теоремы Арцела – Асколи утверждают достаточные условия для (относительно) компактности семейства функций в некоторой топологии, эти условия обычно также необходимы. Например, если множество F компактно в C ( X ), банаховом пространстве вещественнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве относительно его равномерной нормы, то оно ограничено в равномерной норме на C ( X ) и в частности поточечно ограничен. Пусть N ( ε , U ) - множество всех функций из F , колебания которых над открытым подмножеством U ⊂ X меньше ε :
При фиксированных x ∈ X и ε множества N ( ε , U ) образуют открытое покрытие F, поскольку U меняется по всем открытым окрестностям x . Выбор конечного подпокрытия обеспечивает равностепенную непрерывность.
Дальнейшие примеры
- Каждой функции g, которая является p -интегрируемой на [0, 1] , с 1 < p ≤ ∞ , сопоставим функцию G, определенную на [0, 1], следующим образом:
- Пусть F - множество функций G, соответствующих функциям g в единичном шаре пространства L p ([0, 1]) . Если q - гёльдерово сопряжение p , определенное формулой 1/п + 1/q= 1 , то из неравенства Гёльдера следует, что все функции из F удовлетворяют условию Гёльдера с α = 1/qи постоянная M = 1 .
- Отсюда следует, что F компактно в C ([0, 1]) . Это означает, что соответствие g → G определяет компактный линейный оператор T между банаховыми пространствами L p ([0, 1]) и C ([0, 1]) . Составив инъекцию C ([0, 1]) в L p ([0, 1]) , можно увидеть, что T действует компактно из L p ([0, 1]) в себя. Случай p = 2 можно рассматривать как простой пример того факта, что инъекция из пространства Соболевав L 2 (Ω) , для Ω ограниченное открытое множество в R d компактно.
- Когда T - компактный линейный оператор из банахова пространства X в банахово пространство Y , его транспонированный оператор T ∗ компактен от (непрерывного) двойственного Y ∗ к X ∗ . Это можно проверить с помощью теоремы Арцела – Асколи.
- Действительно, образ Т ( Б ) замкнутый единичный шар B из X содержится в компактном подмножестве K из Y . Единичный шар B ∗ в Y ∗ определяет, ограничивая Y до K , множество F (линейных) непрерывных функций на K, которое является ограниченным и равностепенно непрерывным. По Арцела – Асколи для каждой последовательности { y∗
n} в B ∗ существует подпоследовательность, равномерно сходящаяся на K , и отсюда следует, что образ этой подпоследовательности является Коши в X ∗ .
- При F является голоморфным в открытом диске D 1 = B ( г 0 , г ) , с модулем ограниченного М , то (например , с помощью формулы Кошей ) его производная F ' имеет модуль , ограниченный 2 млн/рв меньшем диске D 2 = B ( z 0 , р/2). Если семейство голоморфных функций на D 1 ограничено M на D 1 , то семейство F ограничений на D 2 равностепенно непрерывно на D 2 . Следовательно, последовательность, сходящаяся равномерно на D 2, может быть извлечена. Это первый шаг в направлении теоремы Монтеля .
- Позволять быть наделенным равномерной метрикой Предположить, что представляет собой последовательность решений некоторого дифференциального уравнения в частных производных (PDE), где PDE обеспечивает следующие априорные оценки: равностепенно непрерывно для всех , справедливо для всех , и для всех и все , достаточно мал, когда достаточно мала. Тогда по теореме Фреше – Колмогорова можно заключить, что относительно компактен в . Следовательно, с помощью (обобщения) теоремы Арцела – Асколи мы можем заключить, что относительно компактен в
Смотрите также
- Теорема выбора Хелли
- Теорема Фреше – Колмогорова.
Рекомендации
- Арсела, Чезаре (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Sci. Ist. Болонья Cl. Sci. Fis. Мат. , 5 (5): 55–74.
- Арзела, Чезаре (1882–1883), "Un'osservazione intorno all serie di funzioni", Rend. Dell 'Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna : 142–159.
- Асколи, Г. (1883–1884), «Le curve limit di una varietà data di curve», Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Мат. Nat. , 18 (3): 521–586.
- Бурбаки, Николас (1998), Общая топология. Главы 5–10 , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872.
- Дьедонне, Жан (1988), Основы современного анализа , Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
- Дрониу, Жером; Эймар, Роберт (2016), "Равномерная во времени сходимость численных методов для нелинейных вырожденных параболических уравнений", Numer. Математика. , 132 (4): 721–766.
- Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том 1 , Wiley-Interscience.
- Фреше, Морис (1906), "Sur quelques points du Calcul fonctionnel" (PDF) , Rend. Circ. Мат. Палермо , 22 : 1-74, DOI : 10.1007 / BF03018603 , ЛВП : 10338.dmlcz / 100655.
- Теорема Арсела-Асколи в энциклопедии математики
- Келли, JL (1991), Общая топология , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1
- Келли, JL; Намиока И. (1982), Линейные топологические пространства , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
- Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8
Эта статья включает в себя материал из теоремы Асколи – Арзела о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .